Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas

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1 Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II de março de / 27

2 Sumário 1 Círculo Orientado 2 2 / 27

3 Sumário 1 Círculo Orientado 2 3 / 27

4 Círculo Orientado Um círculo pode ser percorrido em dois sentidos. Quando um deles é escolhido e denominado positivo, dizemos que o círculo está orientado. A circunferência unitária, orientada e com origem, será representada por S 1. A medida algébrica de arcos será denotada por m( AB) 4 / 27

5 Sumário 1 Círculo Orientado 2 5 / 27

6 Por enquanto, definimos relações trigonométricas nos triângulos para ângulos entre 0 0 e 90 0, ou, equivalentemente, 0rad e π 2 rad. A ideia é estender este conceito para todos (ou quase todos) os números reais que representem um ângulo. Dado um número real x, podemos associar a este número um arco sobre a circunferência unitária. Supondo x positivo, temos o arco como na figura. Fazendo as projeções do ponto P, temos as coordenadas (a, b). 6 / 27

7 Note que para cada número real x, existe um único ponto P sobre a circunferência unitária. Portanto, existe uma função E : R S 1. Vamos representar tal função da seguinte forma: E(x) = (a, b) = (cos x, senx) Assim, para cada x real, existe cos x e senx, que também são funções. Repare ainda que se x é um ângulo entre 0rad e π/2rad, esta definição coincide com as relações trigonométricas vistas para triângulos retângulos. 7 / 27

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10 Para valores de x maiores que 2πrad ou menores que zero, começa a ocorrer repetição nos valores de cos x e senx. 10 / 27

11 Quando x = 0 ou x = 2kπ, temos A = P. Daí, P tem coordenadas (1, 0). cos x = 1 senx = 0 11 / 27

12 Quando x = π ou x = (2k + 1)π, temos P como na figura, isto é, suas coordenadas são ( 1, 0). cos x = 1 senx = 0 12 / 27

13 Quando x = π/2 ou x = (4k + 1)π/2, temos P como na figura, isto é, suas coordenadas são (0, 1). cos x = 0 senx = 1 13 / 27

14 Quando x = 3π/2 ou x = (4k 1)π/2, temos P como na figura, isto é, suas coordenadas são (0, 1). cos x = 0 senx = 1 14 / 27

15 Periodicidade Dado um ângulo de x radianos, sabemos que qualquer outro ângulo da forma x + 2kπ determina o mesmo ponto no círculo unitário. Daí, sen(x + 2kπ) = senx e cos(x + 2kπ) = cos x Os ângulos x e x + 2kπ são chamados côngruos. x + 2kπ são as várias determinações do arco AP. As funções seno e cosseno são periódicas de período 2π 15 / 27

16 Periodicidade Assim, basta entender o comportamento dessas funções no intervalo [0, 2π], para sabemos como elas se comportam em toda a reta real. Basta copiar e colar a cada intervalo de comprimento 2π. 16 / 27

17 Sinal As fatias da circunferência unitária determinadas pelos eixos coordenados são chamadas quadrantes (quarta parte da circunferência). Os quadrantes são designados, no sentido anti-horário: 1 0, 2 0, 3 0 e 4 0 quadrantes. De acordo com a definição de seno e cosseno no círculo trigonométrico, temos: 1 0 quadrante: senx > 0, cos x > quadrante: senx > 0, cos x < quadrante: senx < 0, cos x < quadrante: senx < 0, cos x > 0 17 / 27

18 Imagem Na circunferência unitária (raio 1), as projeções nos eixos coordenados estão compreendidas no intervalo [-1,1]. Assim, os valores de seno e cosseno também estão nesse intervalo, isto é, 1 senx 1 senx [ 1, 1] Im(sen) = [ 1, 1] 1 cos x 1 cos x [ 1, 1] Im(cos) = [ 1, 1] 18 / 27

19 Paridade A função seno é uma função ímpar: sen( x) = senx 19 / 27

20 Paridade A função coseno é uma função par: cos( x) = cos x 20 / 27

21 Exercício Represente ( ) o ângulo ( ) e determine 7π 5π sen, cos R: 2 e 1 2 Represente o ângulo e determine seno e cosseno ( para os arcos representados por 1 ) ( 4, y 1, x 2, 1 ). 6 R: (104, 48 0 ou 255, 55 0 ) e (9, 6 0 ou 170, 4 0 ) 21 / 27

22 Relação Fundamental A relação fundamental pode também ser estendida para todo x real. Se x está no primeiro quadrante, temos a situação da figura ao lado. Pelo Teorema de Pitágoras, cos 2 x + sen 2 x = 1. Se x está em um outro quadrante, a situação é análoga. 22 / 27

23 Tangente Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. Observe que os triângulos POB e TOA são semelhantes: TA PB = AO BO = TA senx = 1 cos x Daí, TA = senx cos x O segmento TA será chamado tangente de x. 23 / 27

24 Tangente Consideremos um ângulo no segundo quadrante, temos: Os triângulos POB e TOA também são semelhantes. Consequentemente, a tangente de x, isto é, o segmento TA equivale a senx cos x 24 / 27

25 Tangente Para os demais quadrantes, O segmento TA também equivale a senx cos x 25 / 27

26 Tangente IMPORTANTE: em alguns casos não é possível definir o segmento TA, ou seja, não existe a tangente: 26 / 27

27 Tangente Desta forma, definimos a função tangente: Domínio: Qualquer número real, exceto ± π 2, ±3π 2, ±5π 2,... ou seja: Im(tg) = R tgx = senx cos x { Dom(tg) = x R ; x 2k + 1 } π 2 27 / 27