Acadêmico(a) Turma: Capítulo 5: Trigonometria. Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto)

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1 1 Acadêmico(a) Turma: 5.1. Triangulo Retângulo Capítulo 5: Trigonometria Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto) Figura 1: Ângulos e catetos de um triangulo retângulo. Os catetos são denominados oposto ou adjacente, de acordo com a sua posição em relação a um dado ângulo do triângulo retângulo: se o cateto está junto ao ângulo de referência, é chamado adjacente; se está oposto a este ângulo, é chamado oposto Relações trigonométricas no triângulo retângulo: Figura. Exemplo de relações trigonométricas.

2 A divisão entre o cateto oposto de um ângulo em relação a sua hipotenusa é igual ao seno desse ângulo, logo: sen a = BC AB Equação 1 Para os demais triângulos: sen a = DE AD = FG AF Logo: BC AB = DE AD = FG AF Já a divisão do cateto adjacente de um ângulo em relação a hipotenusa é igual ao cosseno do ângulo: cos a = AC BA Equação Assim: adjacente: AC BA = AE DA = AG FA E por último, tem se a tangente que é a divisão entra o cateto oposto e o cateto tan a = BC AC Equação 3 Logo: BC CA = DE EA = FG GA

3 Demais relações: A secante de α representa o inverso do cosseno de α. sec a = 1 cos a Equação 4 A cossecante de α representa o inverso do seno de α. cossec a = 1 sen a Equação 5 A cotangente de α representa o inverso da tangente de α. cotan a = 1 tan a Equação Relações entre seno, cosseno e tangente: Sabe-se que α + β = 90ᵒ, logo: sen a = BC = cos β; AB cos a = AC = sen β; AB tan a = AB CA = 1 tan β ; tan a = Relação fundamental da trigonometria: sen a cos a sen a + cos a = 1 Lembrando que: AB = AC + BC (Teorema de Pitágoras) Ângulos notáveis: 30ᵒ 45ᵒ 60ᵒ Sen 1 Cos Tan

4 4 5.. Ciclo trigonométrico Define-se como 1 (um) grau a medida do ângulo central cujo arco correspondente representa 1 Exemplo: 360 partes da circunferência. Figura 3. Representação do clico trigonométrico. O comprimento do arco AB indica que 60 que o ângulo central corresponde a 60ᵒ. 360 partes de uma circunferência, sendo O comprimento do arco AB é igual à medida do raio da circunferência. Concluise, pela definição acima, que o ângulo central em radiano representa a razão entre o comprimento de seu arco correspondente e a medida do raio Elementos do ciclo trigonométrico: a = comp(ab) R Figura 4. Representação do ciclo trigonométrico com ângulos de 0, 90º, 180º, 70º e 360º.

5 5 1º quadrante: arcos entre 0º e 90º, 0 e π, medidos a partir da origem. º quadrante: arcos entre 90º e 180º, π e π, medidos a partir da origem. 3º Quadrante: arcos entre 180º e 70º, π e 3π, medidos a partir da origem. 4º Quadrante: arcos entre 70º e 360º, 3π e π, medidos a partir da origem Arcos côngruos: Arcos côngruos são os arcos cujas extremidades são coincidentes, quer sejam tomadas no sentido anti-horário como no sentido horário. De forma geral: x = a + kπ ; k Z Em que: x: é a medida real de qualquer uma das medidas dos arcos côngruos. : é a primeira medida não negativa dos arcos côngruos. k: é um contador inteiro de razões. r: é a razão, ou seja, a distância entre duas medidas consecutivas da sequência dos arcos côngruos.

6 6 5.3 Função Seno Define-se como seno do arco AP (indicado por sen α) a medida algébrica do segmento OP, em que P é a projeção ortogonal do ponto P no eixo vertical. O eixo vertical será chamado de eixo dos senos. Figura 5. Representação da função seno no ciclo trigonométrico. Logo: sen a = medida algébrica OP Propriedades da função seno: 1) Os valores máximo e mínimo da função seno são, respectivamente, iguais a 1 e 1. ) A função seno é positiva no 1º e º quadrante e negativa no 3º e 4º quadrante. 3) A função seno e periódica de período igual a π. Gráfico da função seno: Figura 6. Gráfico de função seno.

7 7 5.4 Função cosseno Define-se como cosseno do arco AP (indicado por cosα) a medida algébrica do segmento OP, em que P é a projeção ortogonal do P no eixo horizontal. O eixo horizontal será chamado de eixo dos cossenos. Figura 6. Representação do cosseno no ciclo trigonométrico. Logo: cos a = medida algébrica OP Propriedades da função cosseno: 1) Os valores máximo e mínimo da função cosseno são, respectivamente, 1 e 1. ) A função cosseno é positiva no 1º e 4ºquadrante e negativa no º e 3º quadrante. 3) A função cosseno é periódica de período igual a π. Gráfico da função cosseno: Figura 7. Gráfico da função cosseno.

8 8 5.5 Função tangente Define-se como tangente do arco AP (indicado por tan α) a medida algébrica do segmento AT, em que T é o ponto de intersecção da reta suporte do raio OP com a reta t. O eixo t será chamado de eixo das tangentes. Figura 8. Representação da tangente no ciclo trigonométrico Logo: tan a = medida algebrica AT. Propriedades da função tangente: 1) A tangente é positiva nos quadrantes 1º e 3º e negativa no º e 4º quadrante. ) O período da função tangente é π. 3) A imagem da função tangente é o conjunto dos reais. Gráfico da função tangente: Figura 9. Gráfico da função tangente

9 9 5.6 Redução ao 1ᵒ quadrante: Reduzir um arco do º, 3º ou 4º Quadrante ao 1º Quadrante, é obter um novo arco, entre 0º e 90º (1ºQ), que possui os mesmos valores para as funções trigonométricas que o arco dado ao mesmo sinal. Arco no segundo quadrante: Quanto falta para 180ᵒ e verificar o sinal da função. Arco no terceiro quadrante: Quanto passa de 180ᵒ e verificar o sinal da função. Arco no quarto quadrante: Quanto falta para 360ᵒ e verificar sinal.

10 Relações fundamentais auxiliares: sen x + cos x = 1 cos x = 1 sen x e sen x = 1 cos x cotan x = 1 cos x = tan x sen x sec x = 1 cos x cossec x = 1 sen x sec x = 1 tan x cossec x = 1 cotan x tan a = cotan β sec a = cossec β sen a = sen a cos a cos a = cos a sen a tan a = tan a 1 tan a cos a = 1 sen a ou cos a Soma e diferença de arcos: sen (a + β) = sen a cos β + sen β cos a sen (a β) = sen a cos β sen β cos a cos(a + β) = cos a cos β sen β sen a cos(a β) = cos a cos β + sen β sen a tan(a + β) = tan(a β) = tan a + tan β 1 tan a tan β tan a tan β 1 + tan a tan β

11 11 1. Qual o valor de x para a figura abaixo? Lista de Exercícios Trigonometria. Um observador vê um edifício, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60º. Se ele se afastar do edifício mais 30 m, passará a vê-lo sob ângulo de 45º. Qual a altura do edifício? 3. (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 10º com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60m, qual a distância, em metros, percorrida pelo barco? 4. (UFPA) Num triângulo retângulo ABC tem-se A= 90, AB=45 e BC=6. Pede-se a tangente do ângulo B. 5. (FAAP-SP) Um arame de 18 metros de comprimento é esticado do nível do solo (suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo que o ângulo formado pelo arame com o solo é de 30º, calcule a altura do poste. 6. Converta em radianos: a) 10ᵒ b) 70ᵒ c) 315ᵒ d) 330ᵒ e) 15º f) 1º

12 1 7. Represente no ciclo trigonométrico a imagem de cada número: a) 3π 4 b) 5π 4 c) 3π d) 5π 3 8. Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 1 horas e 15 minutos? 9. (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos? 10. Simplifique as expressões: a) y = tan x cos x cotan x sen x b) cos x cotan x sen x tan x 11. Qual o valor número da expressão abaixo, sabendo que x = π? y = cos 4x + sen x + tan x sec 4x 1. Reduza tan 300 º ao primeiro quadrante: 13. (UFPA) Qual a menor determinação positiva de um arco de 1000º? 14. Sendo x = π, calcule o valor da expressão: y = 3 cos x sen x + tan x tan x sen x + cos 4x