1. Arcos de mais de uma volta. Vamos generalizar o conceito de arco, admitindo que este possa dar mais de uma volta completa na circunferência.

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Trigonometria II Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Trigonometria II 1.Arcos de mais de uma volta.fórmulas de adição e de subtração de arcos 3.Fórmulas do arco duplo 4.Transformação em produto 5.Funções trigonométricas 6.Inequação trigonométrica 7.Funções circulares inversas

3 1. Arcos de mais de uma volta Vamos generalizar o conceito de arco, admitindo que este possa dar mais de uma volta completa na circunferência. 3

4 1.1. Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade Seja α 0, 0 α, a medida de um arco AP 0 < π da circunferência trigonométrica. Chama-se expressão geral dos arcos que têm extremidade em P, o conjunto de todos os valores de α definidos por: α = α0 + k π ( k Z) 4

5 1.1. Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade Cada valor de α, extraído da expressão geral, é a medida de um arco com extremidade em P. Note que, na expressão, α = α0 + k π, k Z, cada valor de k define a medida de um arco que pode dar mais de uma volta completa na circunferência, mas cuja extremidade cai sempre no mesmo ponto P. 5

6 1.1. Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade Por exemplo, para k =, temos: α = α + π α = α + 4π 0 0 Nesse caso, α é a medida de um arco que dá duas voltas completas na circunferência, no sentido anti-horário, antes de parar no ponto P. 6

7 1.. Primeiras determinações de um arco Fazendo k = 0 na expressão α = α + π 0 k Obtemos α = α 0, com 0 0 <. Tal valor é denominado 1ª determinação positiva do arco. α π 7

8 1.. Primeiras determinações de um arco Fazendo k = -1, temos α = α0 π valor este chamado 1ª determinação negativa do arco. 8

9 1.. Primeiras determinações de um arco 3π Por exemplo, os valores e, isto é,, são as primeiras determinações positiva e negativa, respectivamente, dos arcos que têm extremidade no ponto B da figura. A expressão geral desses arcos é: π π α = + ( ) k π k Z π π 9

10 1.. Primeiras determinações de um arco Exercício 1: Obtenha as primeiras determinações, positiva e negativa, dos arcos de medidas: o a) 450 b) 49π 5

11 1.. Primeiras determinações de um arco Exercício : Dê a expressão geral de cada um dos arcos que satisfazem as equações: a) sen x = 1 b) cos x = 1 c) sen x = 1 d) cos x = 1

12 1.3. Expressões do tipo k π α = α0 + n Expressões α = α + π 0 k representam deslocamentos de π em π sobre a circunferência e definem sobre ela um único ponto, o qual é a extremidade de toda uma família de arcos. k π Do mesmo modo, a expressão α = α, 0 + n * onde k Z e, representa deslocamentos de n N π/n em π/n sobre a circunferência. Como π representa uma volta inteira, π/n representa a enésima parte da circunferência. Desse modo, deslocamentos de π/n em π/n dividem a circunferência em n partes iguais. 1

13 1.3. Expressões do tipo k π α = α0 + n Para k Para k k 4 3 π π Por exemplo, analisando a expressão α = +. π = 0 α0 = 4 π 1 π = 1 α1 = Para k = π π α = Para k = 3 π 3 π π α3 = + = + π

14 1.3. Expressões do tipo k π α = α0 + n Note que essa expressão define uma extremidade em π/4 (α 0 ) e a partir desse ponto ela divide a circunferência em 3 partes iguais, isto é, ela representa deslocamentos de π/3 em π/3. Observe, também, que de k = 3 em diante ela passa a repetir as extremidades já definidas para k = 0, 1 e. 14

15 1.3. Expressões do tipo α α0 k π = + n Exercício 3: Dê a solução geral de cada uma destas equações: a) sen x = 0 b) cos x = 0 c) sen x cos x = 0 d) tg x = 1 e) tg x = 3 f ) cos x = 3sen x

16 . Fórmulas de adição e de subtração de arcos Para que possamos determinar as expressões para adição e subtração de arcos, é necessário conhecer a fórmula que permite calcular a distância entre dois pontos. 16

17 .1. Distância de dois pontos Sejam A(x A, y A ) e B(x B, y B ) dois pontos quaisquer do plano cartesiano. Então, a distância de A e B (d AB ) é dada por: ( ) ( ) d = x x + y y AB A B A B 17

18 .1. Distância de dois pontos A distância entre A e B é representada na figura como a hipotenusa do triângulo retângulo ABP. As medidas dos catetos desse triângulo são: BP = (x A x B ) e AP = (y A y B ) 18

19 .1. Distância de dois pontos Então, pelo teorema de Pitágoras, ( AB) = ( BP ) + ( AP ) d = ( x x ) + ( y y ) AB A B A B ( ) ( ) d = x x + y y AB A B A B 19

20 .1. Distância de dois pontos Exercício 4: Calcule a distância de P e Q na circunferência trigonométrica abaixo.

21 .. Cosseno da diferença: cos (a-b) Sejam P e Q as extremidades dos arcos de medidas a e b. Então POQ = a b. Sendo d a distância entre P e Q, vamos expressar d com o auxílio da fórmula da distância de dois pontos, e depois com o auxílio da lei dos cossenos. Comparando os dois resultados, obteremos a fórmula procurada. 1

22 .. Cosseno da diferença: cos (a-b) 1) Note que as coordenadas dos pontos P e Q são: xp = cos a e yp = sen a xq = cos b e yq = sen b

23 .. Cosseno da diferença: cos (a-b) PQ ( cos cos ) ( ) d = d = a b + sen a sen b d = cos a cos a cos b + cos b + sen a sen a sen b + sen b ( ) d = sen a + cos a + sen b + cos b cos a cos b + sen a sen b 1 1 ( ) d = a b + sen a sen b cos cos (1) 3

24 .. Cosseno da diferença: cos (a-b) ) Pela lei dos cossenos, no triângulo OPQ temos: d = + a b cos ( ) d = a b cos ( ) () 4

25 .. Cosseno da diferença: cos (a-b) Da igualdade entre () e (1), teremos: cos ( a b) = ( cos a cos b + sen a sen b) cos ( a b) = ( cos a cos b + sen a sen b) cos ( a b) = cos a cos b + sen a sen b 5

26 .3. Cosseno da soma: cos (a+b) Uma vez estabelecida a fórmula para cos (a b), podemos deduzir a fórmula para cos (a + b). Para tanto, é preciso lembrar que: cos (-α) = cos (α) e sen (-α) = -sen (α) Então, temos: [ ] cos ( a + b) = cos a ( b) cos ( a + b) = cos a cos ( b) + sen a sen ( b) cos ( a + b) = cos a cos b + sen a ( sen b) cos ( a + b) = cos a cos b sen a sen b 6

27 .4. Arcos complementares: cos (π/ a) e sen (π/ - a) Vamos provar que: cos π π a = sen a e sen a = cos a Pela fórmula do cos (a b), temos: π π π cos a cos cos = a + sen sen a π cos a 0 cos a 1 sen a = + π cos a = sen a 7

28 .4. Arcos complementares: cos (π/ a) e sen (π/ - a) Pela igualdade já estabelecida, sen x π = cos x Vamos substituir x por π/ - a. Então, x x π π π sen a cos a = π π π sen a cos a = + π sen a = cos a 8

29 .4. Arcos complementares: cos (π/ a) e sen (π/ - a) π b cos α = a π cos α sen α b = sen α = a π c sen α = a π sen α cos α c = cos α = a 9

30 .4. Arcos complementares: cos (π/ a) e sen (π/ - a) Exercício 5: Se cos a = 1/13, 0 < a < π/, e cos b = -3/5, π/ < b < π, calcule sec (a + b)

31 .4. Arcos complementares: cos (π/ a) e sen (π/ - a) Exercício 6: Calcule cos 15º.

32 .4. Arcos complementares: cos (π/ a) e sen (π/ - a) Exercício 7: Calcule o valor de cada uma destas expressões: o o o o a) cos7 cos 7 + sen7 sen7 ( o o ) ( o o + + ) b) cos36 cos9 sen36 sen9

33 .4. Arcos complementares: cos (π/ a) e sen (π/ - a) Exercício 8: Simplifique as expressões abaixo: a) o o o o cos 80 cos10 + sen 80 sen10 o o o o cos 8 cos1 sen 8 sen1 o o o b) tg44 tg45 tg46

34 .5. Seno da soma e seno da diferença: sen (a+b) e sen (a-b) Para deduzir a fórmula de sen (a + b) vamos partir da igualdade sen x π = cos x π sen ( a + b) = cos ( a + b) π sen ( a + b) = cos a b π π sen ( a + b) = cos a cos b sen a sen b + sen ( a + b) = sen a cos b + cos a sen b sen ( a + b) = sen a cos b + sen b cos a 34

35 .5. Seno da soma e seno da diferença: sen (a+b) e sen (a-b) Para o seno da diferença, temos: π sen x = cos x π sen ( a b) = cos ( a b) π sen ( a b) = cos a b + π π sen ( a b) = cos a cos b sen a sen b sen ( a b) = sen a cos b cos a sen b sen ( a b) = sen a cos b sen b cos a 35

36 .5. Seno da soma e seno da diferença: sen (a+b) e sen (a-b) Exercício 9: Dados sen a = 4/5, π/ < a < π, e sen b = 4/5, 0 < b < π/, calcule cossec (a b). 36

37 .5. Seno da soma e seno da diferença: sen (a+b) e sen (a-b) Exercício 10: Se α + β = π/3, calcule o valor de: (sen α + cos β) + (sen β + cos α). 37

38 .5. Seno da soma e seno da diferença: sen (a+b) e sen (a-b) Exercício 11: Calcule sen 105º. 38

39 .5. Seno da soma e seno da diferença: sen (a+b) e sen (a-b) Exercício 1: Calcule: o o o o sen65 cos 0 sen0 cos65 o o o o cos36 cos9 sen36 sen9 39

40 .6. Tangente da soma e da diferença: tg (a+b) e tg (a-b) Partindo da definição de tangente: tg ( a + b) = tg ( a + b) = sen ( a + b) cos ( a + b) sen a cos b + sen b cos a cos a cos b sen a sen b 40

41 .6. Tangente da soma e da diferença: tg (a+b) e tg (a-b) Dividindo o numerador e o denominador da última expressão por cos a. cos b, teremos: sen a cos b + sen b cos a sen a sen b + cos a cos b cos a cos b tg ( a + b) = tg ( a + b) = cos a cos b sen a sen b sen a sen b 1 cos a cos b cos a cos b tg ( a + b) = sen a cos b cos a cos b cos a cos b cos a cos b sen b cos a + cos a cos b sen a sen b cos a cos b tg a + tg b tg ( a + b) = 1 tg a tg b 41

42 .6. Tangente da soma e da diferença: tg (a+b) e tg (a-b) De modo semelhante, obtém-se: tg a tg b tg ( a b) = 1 + tg a tg b 4

43 .6. Tangente da soma e da diferença: tg (a+b) e tg (a-b) Exercício 13: Calcule tg 75º. 43

44 .6. Tangente da soma e da diferença: tg (a+b) e tg (a-b) Exercício 14: Se tg a = 3 e tg (a b) = 5, calcule tg b. tga tgb tg( a b) = 1 + tga tgb 3 tgb 5 = 1+ 3 tgb tgb = 3 tgb 15 tgb + tgb = tgb = 8 tgb = 1 tgb = 1 8

45 .6. Tangente da soma e da diferença: tg (a+b) e tg (a-b) Exercício 15: Na figura, calcule tg β.

46 3. Fórmulas do arco duplo Para deduzir as fórmulas de sen a, cos a e tg a, basta substituir b por a nas fórmulas de sen (a + b), cos (a + b) e tg (a + b). 46

47 3.1. Seno do arco duplo sen ( a + b) = sen a cos b + sen b cos a sen ( a + a) = sen a cos a + sen a cos a sen a = sen a cos a 47

48 3.. Cosseno do arco duplo cos ( a + b) = cos a cos b sen a sen b cos ( a + a) = cos a cos a sen a sen a cos a = cos a sen a Sendo cos a = 1 - sen a e sen a = 1 - cos a, podemos escrever cos a em função somente de cos a, ou somente de sen a. 48

49 3.. Cosseno do arco duplo cos a cos a sen a = cos a = cos a (1 cos a) cos = cos 1+ cos a a a cos a cos a sen a = cos (1 ) a = sen a sen a cos = 1 a sen a sen a cos cos 1 a = a cos a = 1 sen a 49

50 3.3. Tangente do arco duplo tg a + tg b tg ( a + b) = 1 tg a tg b tg a + tg a tg ( a + a) = 1 tg a tg a tg tg a a = 1 tg a 50

51 3.3. Tangente do arco duplo Exercício 16: Dado sen a = 4/5, 0 < a < π/, calcule: a) sena b) cosa c) cossec a d) cotga 51

52 3.3. Tangente do arco duplo Exercício 17: Calcule o valor de: π π sen + cos 8 8 5

53 3.3. Tangente do arco duplo Exercício 18: Dê a solução geral de cada uma das equações abaixo: ( ) a) sen x + cos x = b) cos x sen x = c) sen x cos x sen x = 0

54 3.4. Fórmulas do arco metade Note que as fórmulas do arco duplo também podem ser interpretadas como fórmulas do arco metade. Para tanto, basta observar que: x se a = x então a = Com isso, temos: x cos a = cos a 1 cos x = cos 1 x cos a = 1 sen a cos x = 1 sen x tg tg a tg a = tg x = 1 tg a x 1 tg 54

55 3.4. Fórmulas do arco metade Exercício 19: Calcule cos (º30 ).

56 4. Transformação em produto Nas fórmulas de adição e subtração de arcos, vamos fazer a + b = p e a b = q. Resolvendo o sistema a + b = p a b = q obtém-se p + q p q a = e b = 56

57 4. Transformação em produto Por outro lado, sabemos que: sen ( a + b) = sen a cos b + sen b cos a (1) sen ( a b) = sen a cos b sen b cos a () cos ( a + b) = cos a cos b sen a sen b (3) cos ( a b) = cos a cos b + sen a sen b (4) 57

58 4. Transformação em produto Somando as igualdades (1) e (), obtemos: sen ( a + b) + sen ( a b) = sen a cos b + sen b cos a + sen a cos b sen b cos a sen ( a + b) + sen ( a b) = sen a cos b + sen a cos b sen ( a + b) + sen ( a b) = sen a cos b p + q p q p + q p q p + q p q sen + sen sen cos + = p + q p q sen p + sen q = sen cos 58

59 4. Transformação em produto Fazendo (1) - (), teremos: sen ( a + b) sen ( a b) = sen a cos b + sen b cos a sen a cos b + sen b cos sen ( a + b) sen ( a b) = sen b cos a + sen b cos a sen ( a + b) sen ( a b) = sen b cos a p + q p q p + q p q p q p + q sen + sen sen cos = a p q p + q sen p sen q = sen cos 59

60 4. Transformação em produto Fazendo (3) + (4), teremos: cos ( a + b) + cos ( a b) = cos a cos b sen a sen b + cos a cos b + sen a sen b cos ( a + b) + cos ( a b) = cos a cos b + cos a cos b cos ( a + b) + cos ( a b) = cos a cos b p + q p q p + q p q p + q p q cos + cos cos cos + = p + q p q cos p + cos q = cos cos 60

61 4. Transformação em produto Fazendo (3) - (4), teremos: cos ( a + b) cos ( a b) = cos a cos b sen a sen b cos a cos b cos ( a + b) cos ( a b) = sen a sen b sen a sen b cos ( a + b) cos ( a b) = sen a sen b p + q p q p + q p q p + q p q cos + cos sen sen = sen a sen b p + q p q cos p cos q = sen sen 61

62 4. Transformação em produto Exercício 0: Resolva estas equações para x R. a) cos3x + cos x = 0 b) sen5x sen x = 0 c) sen3x sen x + cos x = 0

63 4. Transformação em produto Exercício 1: Calcule o valor de sen 4º - sen 6º, sabendo que: sen18 o = 5 1 4

64 5. Funções trigonométricas Vamos apresentar o comportamento das funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. 64

65 5.1. Função seno Chama-se função seno a função definida de R em R por f(x) = sen x. 65

66 5.1. Função seno Para analisar o comportamento da função seno, imagine que a extremidade P de um arco, partindo da origem, percorra a circunferência trigonométrica no sentido anti-horário. 66

67 5.1. Função seno Nesse suposto deslocamento da extremidade do arco, observamos que: De 0 a π/ o seno cresce de 0 a 1. De π/ a π o seno decresce de 1 a 0. De π a 3π/ o seno decresce de 0 a -1. De 3π/ a π o seno cresce de -1 a 0. 67

68 5.1. Função seno Supondo que a extremidade P continue se deslocando indefinidamente, a cada nova volta na circunferência trigonométrica o seno assumirá, em idênticas condições, todos os seus valores da primeira volta. Numa linguagem simples, podemos dizer que a função f(x) = sen x repete-se periodicamente de π em π. 68

69 5.1. Função seno Na linguagem matemática escrevemos: = sen ( x 4 π ) = sen ( x π ) = sen ( x) = sen ( x + π ) = sen ( x + 4 π ) = ou ainda x R e k Z, sen x = sen ( x + k π ) 69

70 5.1. Função seno Então dizemos que: A função f(x) = sen (x) é uma função periódica de período igual a π. De um modo geral, uma função f é denominada periódica sempre que existe um número T > 0, tal que, para todo x do domínio de f tem-se: f ( x) = f ( x + T ) 70

71 5.1. Função seno O menor valor (positivo) de T que satisfaz essa igualdade é chamado período da função. O gráfico de sen x é chamado senóide. D( f ) = R f ( x) = sen x Im( f ) = 1;1 [ ] 71

72 5.. Função do tipo f(x) = α sen (ax) Explicaremos esse tipo de função através de exemplos: 7

73 5.. Função do tipo f(x) = α sen (ax) a) Esboçar o gráfico de f(x) = 3.sen(x) no intervalo [0; π]. 3 1 sen x sen x 3 Inicialmente note que, uma vez que sen(x) assume valores entre -1 e 1, 3.sen(x) assumirá valores entre -3 e 3. É importante observar que o período de f(x) = 3.sen(x) é igual a π. Toda função do tipo f(x) = α.sen(x), com α 0, tem período igual a π. 73

74 5.. Função do tipo f(x) = α sen (ax) b) Esboçar o gráfico de f(x) = sen(3x) no intervalo [0; π]. Quando 3x variar no intervalo de 0 a π, a função f(x) = sen(3x) terá completado um período. Porém, para que 3x varie de 0 a π, x terá que variar apenas de 0 a π/3. 3 π 0 3x π 0 x 3 Isto é, basta x assumir valores entre 0 e π/3 para que 3x assuma valores entre 0 e π, conforme mostra a 74 tabela seguinte:

75 5.. Função do tipo f(x) = α sen (ax) Assim concluímos que o período da função é igual a π/3. x 0 π/6 π/3 π/ π/3 3x 0 π/ π 3π/ π sen 3x

76 5.. Função do tipo f(x) = α sen (ax) A função f(x) = sen(3x) é um exemplo da seguinte propriedade: Se y = f(x) é uma função periódica de período T, então a função y = f(ax), a 0, é periódica de período T ' = T a 76

77 5.. Função do tipo f(x) = α sen (ax) Exercício : Determine o período de cada uma destas funções: ( x) a) y = 1+ sen 4 x b) y = 3sen ( x) c) y = + sen x π d) y = sen e) y = cos 3x + sen 3 ( ) ( x)

78 5.3. Função cosseno Assim como analisamos a função seno, vamos analisar o comportamento de f(x) = cos(x) para x variando de 0 a π. De 0 a π/ o cosseno decresce de 1 a 0. De π/ a π o cosseno decresce de 0 a -1. De π a 3π/ o cosseno cresce de -1 a 0. De 3π/ a π cresce de 0 a 1. o cosseno

79 5.3. Função cosseno Da segunda volta em diante, o cosseno passa a repetir, em idênticas condições, os valores da primeira volta. Isto é, x R e k Z, cos x = cos ( x + k π ) Então dizemos que a função f(x) = cos (x) é uma função periódica de período igual a π.

80 5.3. Função cosseno O gráfico da função cosseno é chamado cossenóide. Note, na figura, que a cossenóide nada mais é do que a senóide deslocada de π/ unidades, na direção horizontal, para a esquerda. Essa característica da cossenóide pode ser traduzida assim:

81 5.3. Função cosseno π x R, cos x = sen x + D( f ) = R f ( x) = cos x Im( f ) = 1;1 [ ]

82 5.3. Função cosseno Exercício 3: Determine os períodos das funções: a) y = cos x ( x) b) y = cos 3 x c) y = cos 4 d) y = cos x + π 5

83 5.4. Função tangente Chama-se função tangente a função definida por f ( x) = tg x, x π + kπ, k Z 83

84 5.4. Função tangente A função tangente também é periódica. Porém, enquanto as funções seno e cosseno têm períodos iguais a π, a função tangente tem período igual a π. 84

85 5.4. Função tangente Isso significa que a cada meia-volta a função tangente repete-se em idênticas condições. Isto é, π x R e k Z, x + kπ tg x = tg ( x + kπ ) 85

86 5.4. Função tangente De 0 a π/ a tangente cresce de 0 a +. De π/ a π a tangente cresce de - a 0. 86

87 5.4. Função tangente Daí em diante, a cada meia-volta, a tangente comporta-se exatamente como na primeira meia-volta. 87

88 5.4. Função tangente π D( f ) = x R / x + kπ ( k Z) f ( x) = tg x Im( f ) = R 88

89 5.4. Função tangente Exercício 4: Determine o domínio e o período de cada uma destas funções: a) f ( x) = tg x + π 6 π b) f ( x) = tg 3x 4 tg x c) f ( x) = 1 tg x

90 5.4. Função tangente Exercício 5: Dê o domínio da função abaixo: f ( x) = 1 tg x

91 5.5. Funções cotangente, secante e cossecante Por serem menos importantes que as demais funções trigonométricas, serão apresentadas de forma resumida, enfatizando-se o domínio e o conjunto-imagem das funções cotangente, secante e cossecante. 91

92 5.5. Funções cotangente, secante e cossecante P = π f ( x) { R π} D( f ) = x / x k ( k Z) = cotg x Im( f ) = R 9

93 5.5. Funções cotangente, secante e cossecante P = π π D( f ) = x R / x + kπ ( k Z) f ( x) = sec x Im( f ) = { y R / y 1 ou y 1} 93

94 5.5. Funções cotangente, secante e cossecante P = π { R π} Z { R } D( f ) = x / x k ( k ) f ( x) = cossec x Im( f ) = y / y 1 ou y 1 94

95 5.5. Funções cotangente, secante e cossecante Exercício 6: Determine m para que a igualdade sec x = m 3 seja possível.

96 6. Inequação trigonométrica Explicaremos as inequações trigonométricas por meio de exemplos: 96

97 6. Inequação trigonométrica a) Dar a solução geral da inequação sen x cos x. 1 4 Observando que sen x cos x = sen x sen x 1 1 sen x 4, temos: 97

98 6. Inequação trigonométrica Então é preciso encontrar qual é o intervalo de arcos da circunferência trigonométrica que possui seno maior ou igual a 1/. Na primeira volta, no sentido positivo, verificamos de imediato que o seno é maior ou igual a 1/ para arcos de medidas compreendidas entre π/6 e 5π/6, incluindo estes dois. Então, 98

99 6. Inequação trigonométrica sen x π + k π x π + k π π + k π x π + k π S x / π π = R + k π x + k π, k Z

100 6. Inequação trigonométrica b) Resolver em R a inequação cos x + cos x + 1 > 0. Como cos x = cos x 1, a inequação dada se transforma em: 100

101 6. Inequação trigonométrica cos x 1 + cos x + 1 cos x + cos x > 0 cos x + cos x > 0 Fazendo cos x = y, a última desigualdade se transforma em: > 0 101

102 6. Inequação trigonométrica y + y > 0 Resolvendo esta inequação, obtemos: y < 1 ou y > 0 E como y = cos x, 10

103 6. Inequação trigonométrica y y < 1 cos x < 1 (1) > 0 cos x > 0 () Observando que a desigualdade (1) é impossível, basta determinar o intervalo em que cos x > 0.

104 6. Inequação trigonométrica S x / π π = R + k π < x < + k π, k Z 104

105 6. Inequação trigonométrica c) Dar a solução geral de tg x tg π. 6 Na circunferência trigonométrica encontramos dois intervalos em que essa desigualdade se verifica. Na solução geral, esses dois intervalos podem ser representados nesta sentença. 105

106 6. Inequação trigonométrica π π + k π x < + k π 6 De fato, note que para k = 0 essa sentença equivale a π π x < 6 106

107 6. Inequação trigonométrica e para k = 1 π π x < π + π π x < π 6 6 S x / π π = R + k π x < + k π, k Z 6 107

108 6. Inequação trigonométrica Exercício 7: Nos exercícios abaixo, dê a solução geral de cada inequação. 1 a) cos x b) tg x < 1 π c) cos x + > 5 d) sen( 3x) e) 4cos x > 3

109 6. Inequação trigonométrica Exercício 7: Nos exercícios abaixo, dê a solução geral de cada inequação. tgx f ) 0 1 tg x ( ) g) sen x + cos x > 1 h) sen x senx 1> 0 i ) cos x + 3cosx + > 0

110 7. Funções circulares inversas As funções trigonométricas inversas são também conhecidas como funções arco. Nessa notação: sen -1 x = arc sen x tg -1 x = arc tg x sec -1 x = arc sec x cos -1 x = arc cos x cotg -1 x = arc cotg x cossec -1 x = arc cossec x 110

111 7.1. Função arco-seno A função de domínio R definida por f(x) = sen x não admite função inversa por não ser injetora (*). Nota: Uma função f é chamada injetora se cada elemento de seu conjuntoimagem é imagem de um único elemento do domínio. 111

112 7.1. Função arco-seno Porém, restringindo o domínio da função seno ao intervalo [- π/, π/] é possível definir sua inversa, que é chamada função arco-seno e é denotada pelo símbolo arc sen. significa: Por exemplo, a sentença π 1 = arc sen 6 π 1 é o arco cujo seno é igual a 6 11

113 7.1. Função arco-seno Definição: π π Para x [ 1; 1 ] e y ;, a função arcoseno é definida pela sentença y = arc sen x sen y = x 113

114 7.1. Função arco-seno Veja estes exemplos: π 1 π 1 a) = arc sen, pois sen 6 = 6 π π b) - = arc sen( 1), pois sen 1 = Este esquema mostra que a função arcoseno é a inversa da função seno: 114

115 7.1. Função arco-seno Gráfico de f(x) = arc sen x 115

116 7.1. Função arco-seno Se considerarmos a função seno restrita ao intervalo [-π/, π/] e com contradomínio [-1, 1], isto é, g: [-π/, π/] [-1, 1] tal que g(x) = sen x, a função g admitirá inversa e g -1 será denominada função arco-seno. Notemos que g -1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [-π/, π/] e associa a cada x [-1, 1] um y [-π/, π/] tal que y é um arco cujo seno é x (indica-se y = arc sen x). Temos, portanto, que: y = arc sen x sen y = x e -π/ y π/ 116

117 7.1. Função arco-seno 117

118 7.. Função arco-cosseno A exemplo da função seno, a função cosseno não admite inversa quando seu domínio é o conjunto R. Assim, para definir a inversa da função cosseno, vamos restringir o seu domínio ao intervalo [0; π]. 118

119 7.. Função arco-cosseno A inversa da função cosseno é chamada função arco-cosseno e é denotada por arc cos. Definição: Para [ 1; 1 ] e [ 0; ] x y π, a função arco-cosseno é definida pela sentença y = arc cos x cos y = x 119

120 7.. Função arco-cosseno Veja estes exemplos: π 3 π 3 a) = arc cos, pois cos 6 = 6 ( π ) b) π = arc cos( 1), pois cos = 1 Este esquema mostra que a função arcocosseno é a inversa da função cosseno: 10

121 7.. Função arco-cosseno Gráfico de f(x) = arc cos x 11

122 7.. Função arco-cosseno Se considerarmos a função cosseno restrita ao intervalo [0, π] e com contradomínio [-1, 1], isto é, g: [0, π] [-1, 1] tal que g(x) = cos x, a função g admitirá inversa e g -1 será denominada função arco-cosseno. Notemos que g -1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [0, π] e associa a cada x [-1, 1] um y [0, π] tal que y é um arco cujo cosseno é x (indica-se y = arc cos x). Temos, portanto, que: y = arc cos x cos y = x e 0 y π 1

123 7.. Função arco-cosseno 13

124 7.3. Função arco-tangente Para definir o inverso da função tangente, vamos restringir o inverso da mesma ao intervalo (-π/, π/). Observe o gráfico seguinte e note que, nesse intervalo, a função tangente é bijetora. 14

125 7.3. Função arco-tangente A inversa da função tangente é chamada função arco-tangente e é denotada por arc tg. Definição: π π Para x R e y ;, a função arco-tangente é definida por y = arc tg x tg y = x 15

126 7.3. Função arco-tangente Observe estes exemplos: π π a) = arc tg( 1 ), pois tg = π π b) - = arc tg( 3), pois tg 3 3 = 3 16

127 7.3. Função arco-tangente Gráfico de f(x) = arc tg x 17

128 7.3. Função arco-tangente Se considerarmos a função tangente restrita ao intervalo aberto (-π/, π/) e com contradomínio R, isto é, g: (-π/, π/) R tal que g(x) = tg x, a função g admitirá inversa e g -1 será denominada função arco-tangente. Notemos que g -1 tem domínio R, contradomínio (-π/, π/) e associa a cada x R um y (-π/, π/) tal que y é um arco cuja tangente é x (indica-se y = arc tg x). Temos, portanto, que: y = arc tg x tg y = x e -π/ < y < π/ 18

129 7.3. Função arco-tangente 19

130 7.3. Função arco-tangente Exercício 8: Calcule o valor de cada expressão abaixo: 1 a) tg arc sen 13 4 b) cos arc sen 5 3 c) sen arc cos - 5 ( ) d) tg arc tg

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