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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 9 - Seção 9.3 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 1/13

2 Números e Funções Reais As Funções Trigonométricas Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 Como vimos anteriormente, definimos a função de Euler E : R C como sendo a correspondência que associa a cada número real t o ponto E(t) = (x, y) da circunferência unitária do seguinte modo: E(0) = (1, 0); se t > 0, percorre-se a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um caminho de comprimento t, no sentido anti-horário. O Ponto final do caminho será o ponto E(t); se t < 0, E(t) será a extremidade final do caminho de comprimento t, percorrido sobre C a partir do ponto (1, 0), no sentido horário. Além disso, concluímos que se E(t) = (x, y) então E(t + π) = ( x, y), E(t + π 2 ) = ( y, x), E( t) = (x, y), E( π 2 E(π t) = ( x, y) t) = (y, x) e PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 3/13

4 Definição Definimos as funções cos : R R e sen : R R, chamadas de cosseno e seno respectivamente, pondo para cada t R: E(t) = (cos t, sen t). Segue-se da definição que cos 2 t + sen 2 t = 1. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 4/13

5 Definição 1 Uma função f : R R é chamada de periódica quando existir um número p 0 tal que f (t + p) = f (t) para todo t R. Chamamos de o período de f o menor p > 0 tal que f (t + p) = f (t) para todo t R; 2 Dizemos que a função f : R R é par quando f ( t) = f (t) para todo t R. Quando f ( t) = f (t) diremos que a função é ímpar. Exemplos: A função f (x) = x é ímpar e a função g(x) = x é par. A função h(x) = x + x 2 não é par nem ímpar (verifique!). PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 5/13

6 Para todo t R temos que e E(t) = (cos t, sen t) E( t) = (cos( t), sen ( t)). Logo, como E(t) = (x, y) E( t) = (x, y) segue-se que cos( t) = cos t e sen ( t) = sen t. Portanto a função cosseno é uma função par e a função seno é uma função ímpar. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 6/13

7 Das outras relações, isto é, de E(t + π) = ( x, y), E(t + π 2 ) = ( y, x), E( π 2 t) = (y, x) e E(π t) = ( x, y) estabelecemos que: cos(t + π) = cos t, sen (t + π) = sen t, cos(t + π 2 ) = sen t, sen (t + π ) = cos t, 2 cos( π 2 t) = sen t, sen (π t) = cos t, 2 cos(π t) = cos t, sen (π t) = sen t. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 7/13

8 As figuras abaixo mostram os gráficos das funções cosseno e seno. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 8/13

9 Observação: Dado um triângulo retângulo A OB em que O = (0, 0) R 2 e A está sobre o eixo OX, tomemos o ponto B sobre a semirreta OB tal que o segmento OB tenha comprimento OB = 1, e denotamos por A a projeção de B sobre o eixo OX, conforme a figura abaixo. Observe que os triângulos retângulos A OB e AOB são semelhantes. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 9/13

10 Logo, como B = (cos t, sen t), temos cos t = OA OB e sen t = A B OB. Desta forma, obtemos as fórmulas clássicas e cos t = sen t = cateto adjacente hipotenusa cateto oposto hipotenusa. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 10/13

11 Das funções cosseno e seno derivam as outras funções trigonométricas, a saber: tgx = sen x cos x, cotgx = cos x sen x, secx = 1 cos x e cossecx = 1 sen x. Essas funções são chamadas respectivamente de tangente, cotangente, secante e cossecante. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 11/13

12 Exercício Determine o valor de t [0, π 2 ] para o qual cos t = 1 2. Neste caso qual o valor de sen t? Solução: Observe a figura abaixo, onde B = E(t) = (cos t, sen t) = (1/2, sen t), A = (1, 0), A = (1/2, 0) e O = (0, 0). Observe que o triângulo AOB é equilátero de lado medindo 1 e portanto o ângulo t = A ÔB tem o dobro da medida do ângulo O ˆBA. Além disso, como a soma das medidas dos ângulos A ÔB e O ˆBA é, em radianos, igual a π, segue-se que esses ângulas 2 medem, respectivamente, π 3 e π 6. Logo, concluímos que t = π 3, e como cos2 t + sen 2 t = 1, segue-se que sen π 3 = 3 2. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 12/13

13 . Até breve! PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, As Funções Trigonométricas slide 13/13