EXERCÍCIOS MATEMÁTICA 2

Transcrição

1 EXERCÍCIOS MATEMÁTICA 1. (Fgv 01) Em 1º de junho de 009, João usou R$ ,00 para comprar cotas de um fundo de investimento, pagando R$ 1,50 por cota. Três anos depois, João vendeu a totalidade de suas cotas, à taxa de R$,10 cada uma. Um apartamento que valia R$ ,00 em 1º de junho de 009 valorizou-se 90% nesse mesmo período de três anos. (Nota: a informação de que a valorização do apartamento foi de 90% nesse período de três anos deve ser usada para responder a todos os itens a seguir). a) Se, ao invés de adquirir as cotas do fundo de investimento, João tivesse investido seu dinheiro no apartamento, quanto a mais teria ganhado, em R$, no período? b) Para que, nesse período de três anos, o ganho de João tivesse sido R$ 0.000,00 maior com o fundo de investimento, na comparação com o apartamento, por quanto cada cota deveria ter sido vendida em 1º de junho de 01? c) Supondo que o regime de capitalização do fundo de investimento seja o de juros simples, quanto deveria ter sido a taxa de juros simples, ao ano, para que a rentabilidade do fundo de investimento se igualasse à do apartamento, ao final do período de três anos? Apresente uma função que relacione o valor total das cotas de João (Y) com o tempo t, em anos.. (Fuvest 01) Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ ,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo original. a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço? b) Quanto recebeu cada um deles?. (Fgv 01) Duas pessoas combinaram de se encontrar entre 1h e 14h, no exato instante em que a posição do ponteiro dos minutos do relógio coincidisse com a posição do ponteiro das horas. Dessa forma, o encontro foi marcado para as 1 horas e a) 5 minutos. 4 b) 5 minutos. 11 c) d) e) minutos minutos minutos. 4. (Fgv 01) As duas raízes da equação distintos que k pode assumir é a) 4. b). c). d) 1. e) 0. x 6x k 0 na incógnita x são números inteiros e primos. O total de valores 5. (Fuvest 014) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo.

2 A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ. 6. (Fgv 01) No círculo trigonométrico de raio unitário indicado na figura, o arco AB mede α. Assim, PM é igual a a) 1 tg α b) 1 cos α c) 1 cos α d) 1 sen α e) 1 cotg α 1 7. (Ita 01) Se cos x, então um possível valor de a). b) 1. c). d). e). cotg x 1 cossec(x π) sec( π x) é 8. (Unicamp 014) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento de 1cm e um lado com comprimento de xcm. a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a (Unicamp 01) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases a e a, respectivamente, e o ângulo CAB ˆ 0. Portanto, o comprimento do segmento CE é:

3 a) b) c) 5 a 8 a 7 a d) a 10. (Unicamp 01) Um satélite orbita a km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede km. a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( θ) / 4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.

4 Gabarito: Resposta da questão 1: a) O rendimento obtido na venda das cotas foi de (,1 1,5) R$ ,00. 1,5 Por outro lado, se João tivesse investido seu dinheiro no apartamento, seu ganho teria sido igual a 0, R$ ,00, ou seja, uma diferença de R$ ,00. b) Para que João tivesse ganhado R$ 0.000,00 a mais com o fundo de investimento, deveria ter vendido todas as cotas por ,00 R$ ,00, ou seja, cada cota por R$, c) Se a rentabilidade do apartamento foi de 90% no período, então a taxa anual de juros simples que deveria ter sido aplicada é igual a 90% 0%. A função que relaciona o valor total das cotas de João (Y) com o tempo t, em anos, é dada por: Y (10, t) t. Resposta da questão : n = número inicial de trabalhadores. Cada trabalhador deveria receber n Como três desistiram e os demais receberam cada 600 reais a mais referente ao valor que caberia aos três desistentes, temos a equação: (n ) 6.(n ) 6n 18n 4 0 n n Resolvendo a equação acima, temos: n = 9 ou n = 6 (não convém). a) Portanto, 6 (9 ) trabalhadores realizaram o serviço. b) Cada um deles recebeu reais. 6 Resposta da questão : [C] O ponteiro das horas percorre 0 em 1 hora. O ponteiro dos minutos percorre 60 em 1 hora, Considerando Sm e S h o deslocamento, em graus, dos ponteiros das horas e dos minutos, respectivamente, a partir das 1h no tempo t em horas, temos: Sm Sh t 0 0 t 0 t 0 t h minutos 5 minutos Resposta da questão 4: [D]

5 Pelas Relações de Girard, a soma das raízes da equação é igual a 6 e o produto é igual a k. Além disso, como as raízes são números primos e a soma é ímpar, segue que uma das raízes é e, portanto, a outra é Logo, k só pode ser igual a Resposta da questão 5: Considere a figura, em que P' e Q' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT, com T pertencente a L. Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo, RS ST e, portanto, RT ST. Do triângulo PRT, vem PT tg60 PT ST RT e PT ST sen60 PR PR PR 6 ST. Do triângulo PST, obtemos PT ST tgα tgα ST ST tgα. Sabendo que cossec α 1 cotg α e que α é agudo, encontramos

6 1 7 cossec α 1 senα 8 1 sen α. 14 Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem PR QR RS ST senα senθ 1 senθ 14 1 sen θ. 7 Resposta da questão 6: [C] Considere a figura. Como o menor arco AS mede 90 e AQS é um ângulo inscrito, segue-se que AQS 45. Daí, como BMQ 90, vem QPM 45 e, portanto, MQ PM. Além disso, OA OQ 1. Donde podemos concluir que OM 1 PM. Por outro lado, como AQ BM, segue que M é o ponto médio de BM. Assim, tomando a potência do ponto M em relação à circunferência de centro O, obtemos MB MN MQ MA MB PM ( PM). Adicionalmente, tem-se QOB QB 180 α. Logo, do triângulo retângulo OBM, encontramos MB sen(180 α) senα MB OB e, portanto, sen α PM ( PM) (PM 1) 1sen α (PM 1) cos α PM 1 cos α.

7 Porém, como 90 α 180 implica em cosα 0, segue-se que PM 1 cosα (pois PM 1). Resposta da questão 7: [A] cos x cos x 1 1 cotg x 1 senx senx cos x (I) cossec(x π) sec( π x) cos x senx cos x senx.cos x 1 1 cos x cos x 1 cos x cos x (II) Substituindo (II) em (I), temos: cotg x 1 = cossec(x π) sec( π x) ou cotg x 1 = cossec(x π) sec( π x). Resposta da questão 8: a) Considere a figura. Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem AC AB BC 1 1, AD AC CD 1, AE AD DE 1 4 e AF AE EF x 4 1 x 5 cm. b) É imediato que BAC 45. Do triângulo ACD, temos CD 1 tgcad CAD arctg 45. AC Do triângulo ADE, vem

8 DE 1 tgd AE D AE arctg 0. AD Do triângulo AEF, segue EF 1 tge AF E AF arctg 0. AE 4 Portanto, tem-se α BAC CAD DAE EAF Resposta da questão 9: [C] a a a No ΔCMB : cos0 x x x a a a No ΔENB : cos0 y y y CBE ˆ Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos: CE x y.x.y.cos10 4a a a a 1 CE 5a a CE 7a CE CE a. 7 Resposta da questão 10: a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra. R 1 cosα α 60 R R Portanto, o arco AB mede 10 e seu comprimento será dado por:

9 π R π π km. b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: d R (R).R.R.cos θ d 5R 4.R.(/4) d.r d R d km