Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas

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1 Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II de janeiro de / 35

2 Sumário 1 Círculo Orientado 2 2 / 35

3 Sumário 1 Círculo Orientado 2 3 / 35

4 Círculo Orientado Um círculo pode ser percorrido em dois sentidos. 4 / 35

5 Círculo Orientado Um círculo pode ser percorrido em dois sentidos. Quando um deles é escolhido e denominado positivo, dizemos que o círculo está orientado. 4 / 35

6 Círculo Orientado Um círculo pode ser percorrido em dois sentidos. Quando um deles é escolhido e denominado positivo, dizemos que o círculo está orientado. A circunferência unitária, orientada e com origem, será representada por S 1. 4 / 35

7 Círculo Orientado Um círculo pode ser percorrido em dois sentidos. Quando um deles é escolhido e denominado positivo, dizemos que o círculo está orientado. A circunferência unitária, orientada e com origem, será representada por S 1. A medida algébrica de arcos será denotada por m( AB) 4 / 35

8 Aplicação A figura abaixo mostra um cadeado de combinação. Ele possui um disco com 40 divisões, numeradas de 0 a 39, e uma combinação de 3 números (por exemplo, ) abre o cadeado se seguirmos os passos: 5 / 35

9 Aplicação A figura abaixo mostra um cadeado de combinação. Ele possui um disco com 40 divisões, numeradas de 0 a 39, e uma combinação de 3 números (por exemplo, ) abre o cadeado se seguirmos os passos: Dê duas voltas completas no sentido horário. 5 / 35

10 Aplicação A figura abaixo mostra um cadeado de combinação. Ele possui um disco com 40 divisões, numeradas de 0 a 39, e uma combinação de 3 números (por exemplo, ) abre o cadeado se seguirmos os passos: Dê duas voltas completas no sentido horário. Continue girando no sentido horário até chegar no primeiro número da combinação. 5 / 35

11 Aplicação A figura abaixo mostra um cadeado de combinação. Ele possui um disco com 40 divisões, numeradas de 0 a 39, e uma combinação de 3 números (por exemplo, ) abre o cadeado se seguirmos os passos: Dê duas voltas completas no sentido horário. Continue girando no sentido horário até chegar no primeiro número da combinação. Dê uma volta no sentido anti-horário. 5 / 35

12 Aplicação A figura abaixo mostra um cadeado de combinação. Ele possui um disco com 40 divisões, numeradas de 0 a 39, e uma combinação de 3 números (por exemplo, ) abre o cadeado se seguirmos os passos: Dê duas voltas completas no sentido horário. Continue girando no sentido horário até chegar no primeiro número da combinação. Dê uma volta no sentido anti-horário. Continue girando no sentido anti-horário até chegar no segundo número da combinação. 5 / 35

13 Aplicação A figura abaixo mostra um cadeado de combinação. Ele possui um disco com 40 divisões, numeradas de 0 a 39, e uma combinação de 3 números (por exemplo, ) abre o cadeado se seguirmos os passos: Dê duas voltas completas no sentido horário. Continue girando no sentido horário até chegar no primeiro número da combinação. Dê uma volta no sentido anti-horário. Continue girando no sentido anti-horário até chegar no segundo número da combinação. Gire o disco no sentido horário até chegar no terceiro número. 5 / 35

14 Aplicação Supondo que a posição inicial do disco é no zero (como mostra a figura) quantos graus ao todo (sentido horário e anti-horário) o disco é girado para abrir o cadeado na combinação ? 6 / 35

15 Aplicação Supondo que a posição inicial do disco é no zero (como mostra a figura) quantos graus ao todo (sentido horário e anti-horário) o disco é girado para abrir o cadeado na combinação ? Resposta... 6 / 35

16 Aplicação Supondo que a posição inicial do disco é no zero (como mostra a figura) quantos graus ao todo (sentido horário e anti-horário) o disco é girado para abrir o cadeado na combinação ? Resposta / 35

17 Sumário 1 Círculo Orientado 2 7 / 35

18 Por enquanto, definimos relações trigonométricas nos triângulos para ângulos entre 0 0 e 90 0, ou, equivalentemente, 0rad e π 2 rad. A ideia é estender este conceito para todos (ou quase todos) os números reais que representem um ângulo. 8 / 35

19 Por enquanto, definimos relações trigonométricas nos triângulos para ângulos entre 0 0 e 90 0, ou, equivalentemente, 0rad e π 2 rad. A ideia é estender este conceito para todos (ou quase todos) os números reais que representem um ângulo. Dado um número real x, podemos associar a este número um arco sobre a circunferência unitária. 8 / 35

20 Por enquanto, definimos relações trigonométricas nos triângulos para ângulos entre 0 0 e 90 0, ou, equivalentemente, 0rad e π 2 rad. A ideia é estender este conceito para todos (ou quase todos) os números reais que representem um ângulo. Dado um número real x, podemos associar a este número um arco sobre a circunferência unitária. Supondo x positivo, temos o arco como na figura. 8 / 35

21 Por enquanto, definimos relações trigonométricas nos triângulos para ângulos entre 0 0 e 90 0, ou, equivalentemente, 0rad e π 2 rad. A ideia é estender este conceito para todos (ou quase todos) os números reais que representem um ângulo. Dado um número real x, podemos associar a este número um arco sobre a circunferência unitária. Supondo x positivo, temos o arco como na figura. Fazendo as projeções do ponto P, temos as coordenadas (a, b). 8 / 35

22 Note que para cada número real x, existe um único ponto P sobre a circunferência unitária. Portanto, existe uma função E : R S 1. 9 / 35

23 Note que para cada número real x, existe um único ponto P sobre a circunferência unitária. Portanto, existe uma função E : R S 1. Vamos representar tal função da seguinte forma: E(x) = (a, b) = (cos x, senx) 9 / 35

24 Note que para cada número real x, existe um único ponto P sobre a circunferência unitária. Portanto, existe uma função E : R S 1. Vamos representar tal função da seguinte forma: E(x) = (a, b) = (cos x, senx) Assim, para cada x real, existe cos x e senx, que também são funções. 9 / 35

25 Note que para cada número real x, existe um único ponto P sobre a circunferência unitária. Portanto, existe uma função E : R S 1. Vamos representar tal função da seguinte forma: E(x) = (a, b) = (cos x, senx) Assim, para cada x real, existe cos x e senx, que também são funções. Repare ainda que se x é um ângulo entre 0rad e π/2rad, esta definição coincide com as relações trigonométricas vistas para triângulos retângulos. 9 / 35

26 10 / 35

27 11 / 35

28 Para valores de x maiores que 2πrad ou menores que zero, começa a ocorrer repetição nos valores de cos x e senx. 12 / 35

29 Quando x = 0 ou x = 2kπ, temos A = P. Daí, P tem coordenadas (1, 0). cos x = 1 senx = 0 13 / 35

30 Quando x = π ou x = (2k + 1)π, temos P como na figura, isto é, suas coordenadas são ( 1, 0). cos x = 1 senx = 0 14 / 35

31 Quando x = π/2 ou x = (4k + 1)π/2, temos P como na figura, isto é, suas coordenadas são (0, 1). cos x = 0 senx = 1 15 / 35

32 Quando x = 3π/2 ou x = (4k 1)π/2, temos P como na figura, isto é, suas coordenadas são (0, 1). cos x = 0 senx = 1 16 / 35

33 Periodicidade Dado um ângulo de x radianos, sabemos que qualquer outro ângulo da forma x + 2kπ determina o mesmo ponto no círculo unitário. 17 / 35

34 Periodicidade Dado um ângulo de x radianos, sabemos que qualquer outro ângulo da forma x + 2kπ determina o mesmo ponto no círculo unitário. Daí, sen(x + 2kπ) = senx e cos(x + 2kπ) = cos x 17 / 35

35 Periodicidade Dado um ângulo de x radianos, sabemos que qualquer outro ângulo da forma x + 2kπ determina o mesmo ponto no círculo unitário. Daí, sen(x + 2kπ) = senx e cos(x + 2kπ) = cos x Os ângulos x e x + 2kπsão chamados côngruos. 17 / 35

36 Periodicidade Dado um ângulo de x radianos, sabemos que qualquer outro ângulo da forma x + 2kπ determina o mesmo ponto no círculo unitário. Daí, sen(x + 2kπ) = senx e cos(x + 2kπ) = cos x Os ângulos x e x + 2kπsão chamados côngruos. x + 2kπ são as várias determinações do arco AP. 17 / 35

37 Periodicidade Dado um ângulo de x radianos, sabemos que qualquer outro ângulo da forma x + 2kπ determina o mesmo ponto no círculo unitário. Daí, sen(x + 2kπ) = senx e cos(x + 2kπ) = cos x Os ângulos x e x + 2kπsão chamados côngruos. x + 2kπ são as várias determinações do arco AP. As funções seno e cosseno são periódicas de período 2π 17 / 35

38 Periodicidade Assim, basta entender o comportamento dessas funções no intervalo [0, 2π], para sabemos como elas se comportam em toda a reta real. Basta copiar e colar a cada intervalo de comprimento 2π. 18 / 35

39 Sinal As fatias da circunferência unitária determinadas pelos eixos coordenados são chamadas quadrantes (quarta parte da circunferência). 19 / 35

40 Sinal As fatias da circunferência unitária determinadas pelos eixos coordenados são chamadas quadrantes (quarta parte da circunferência). Os quadrantes são designados, no sentido anti-horário: 1 0, 2 0, 3 0 e 4 0 quadrantes. 19 / 35

41 Sinal As fatias da circunferência unitária determinadas pelos eixos coordenados são chamadas quadrantes (quarta parte da circunferência). Os quadrantes são designados, no sentido anti-horário: 1 0, 2 0, 3 0 e 4 0 quadrantes. De acordo com a definição de seno e cosseno no círculo trigonométrico, temos: 19 / 35

42 Sinal As fatias da circunferência unitária determinadas pelos eixos coordenados são chamadas quadrantes (quarta parte da circunferência). Os quadrantes são designados, no sentido anti-horário: 1 0, 2 0, 3 0 e 4 0 quadrantes. De acordo com a definição de seno e cosseno no círculo trigonométrico, temos: 1 0 quadrante: senx > 0, cos x > 0 19 / 35

43 Sinal As fatias da circunferência unitária determinadas pelos eixos coordenados são chamadas quadrantes (quarta parte da circunferência). Os quadrantes são designados, no sentido anti-horário: 1 0, 2 0, 3 0 e 4 0 quadrantes. De acordo com a definição de seno e cosseno no círculo trigonométrico, temos: 1 0 quadrante: senx > 0, cos x > quadrante: senx > 0, cos x < 0 19 / 35

44 Sinal As fatias da circunferência unitária determinadas pelos eixos coordenados são chamadas quadrantes (quarta parte da circunferência). Os quadrantes são designados, no sentido anti-horário: 1 0, 2 0, 3 0 e 4 0 quadrantes. De acordo com a definição de seno e cosseno no círculo trigonométrico, temos: 1 0 quadrante: senx > 0, cos x > quadrante: senx > 0, cos x < quadrante: senx < 0, cos x < 0 19 / 35

45 Sinal As fatias da circunferência unitária determinadas pelos eixos coordenados são chamadas quadrantes (quarta parte da circunferência). Os quadrantes são designados, no sentido anti-horário: 1 0, 2 0, 3 0 e 4 0 quadrantes. De acordo com a definição de seno e cosseno no círculo trigonométrico, temos: 1 0 quadrante: senx > 0, cos x > quadrante: senx > 0, cos x < quadrante: senx < 0, cos x < quadrante: senx < 0, cos x > 0 19 / 35

46 Imagem Na circunferência unitária (raio 1), as projeções nos eixos coordenados estão compreendidas no intervalo [-1,1]. 20 / 35

47 Imagem Na circunferência unitária (raio 1), as projeções nos eixos coordenados estão compreendidas no intervalo [-1,1]. Assim, os valores de seno e cosseno também estão nesse intervalo, isto é, 20 / 35

48 Imagem Na circunferência unitária (raio 1), as projeções nos eixos coordenados estão compreendidas no intervalo [-1,1]. Assim, os valores de seno e cosseno também estão nesse intervalo, isto é, 1 senx 1 senx [ 1, 1] Im(sen) = [ 1, 1] 20 / 35

49 Imagem Na circunferência unitária (raio 1), as projeções nos eixos coordenados estão compreendidas no intervalo [-1,1]. Assim, os valores de seno e cosseno também estão nesse intervalo, isto é, 1 senx 1 senx [ 1, 1] Im(sen) = [ 1, 1] 1 cos x 1 cos x [ 1, 1] Im(cos) = [ 1, 1] 20 / 35

50 Paridade A função seno é uma função ímpar: sen( x) = senx 21 / 35

51 Paridade A função coseno é uma função par: cos( x) = senx 22 / 35

52 Exercício 23 / 35

53 Exercício Represente ( ) o ângulo ( ) e determine 7π 5π sen, cos / 35

54 Exercício Represente ( ) o ângulo ( ) e determine 7π 5π sen, cos R: 2 e / 35

55 Exercício Represente ( ) o ângulo ( ) e determine 7π 5π sen, cos R: 2 e 1 2 Represente o ângulo e determine seno e cosseno ( para os arcos representados por 1 ) ( 4, y 1, x 2, 1 ) / 35

56 Exercício Represente ( ) o ângulo ( ) e determine 7π 5π sen, cos R: 2 e 1 2 Represente o ângulo e determine seno e cosseno ( para os arcos representados por 1 ) ( 4, y 1, x 2, 1 ). 6 R: (104, 48 0 ou 255, 55 0 ) e (9, 6 0 ou 170, 4 0 ) 23 / 35

57 Relação Fundamental A relação fundamental pode também ser estendida para todo x real. 24 / 35

58 Relação Fundamental A relação fundamental pode também ser estendida para todo x real. Se x está no primeiro quadrante, temos a situação da figura ao lado. 24 / 35

59 Relação Fundamental A relação fundamental pode também ser estendida para todo x real. Se x está no primeiro quadrante, temos a situação da figura ao lado. Pelo Teorema de Pitágoras, cos 2 x + sen 2 x = / 35

60 Relação Fundamental A relação fundamental pode também ser estendida para todo x real. Se x está no primeiro quadrante, temos a situação da figura ao lado. Pelo Teorema de Pitágoras, cos 2 x + sen 2 x = 1. Se x está em um outro quadrante, a situação é análoga. 24 / 35

61 Tangente Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. 25 / 35

62 Tangente Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. Observe que os triângulos POB e TOA são semelhantes: TA PB = AO BO = TA senx = 1 cos x 25 / 35

63 Tangente Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. Observe que os triângulos POB e TOA são semelhantes: TA PB = AO BO Daí, TA = senx cos x = TA senx = 1 cos x 25 / 35

64 Tangente Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. Observe que os triângulos POB e TOA são semelhantes: TA PB = AO BO = TA senx = 1 cos x Daí, TA = senx cos x O segmento TA será chamado tangente de x. 25 / 35

65 Tangente Consideremos um ângulo no segundo quadrante, temos: 26 / 35

66 Tangente Consideremos um ângulo no segundo quadrante, temos: Os triângulos POB e TOA também são semelhantes. 26 / 35

67 Tangente Consideremos um ângulo no segundo quadrante, temos: Os triângulos POB e TOA também são semelhantes. Consequentemente, a tangente de x, isto é, o segmento TA equivale a senx cos x 26 / 35

68 Tangente Para os demais quadrantes, O segmento TA também equivale a senx cos x 27 / 35

69 Tangente IMPORTANTE: em alguns casos não é possível definir o segmento TA, ou seja, não existe a tangente: 28 / 35

70 Tangente Desta forma, assim definimos a função tangente: 29 / 35

71 Tangente Desta forma, assim definimos a função tangente: { Domínio: x R ; x 2k + 1 } π 2 29 / 35

72 Tangente Desta forma, assim definimos a função tangente: { Domínio: x R ; x 2k + 1 } π 2 tgx = senx cos x 29 / 35

73 Secante Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. 30 / 35

74 Secante Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. Observe que os triângulos PBO e SAO são semelhantes: OS OP = AO BO = OS 1 = 1 cos x 30 / 35

75 Secante Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. Observe que os triângulos PBO e SAO são semelhantes: OS OP = AO BO Daí, OS = 1 cos x = OS 1 = 1 cos x 30 / 35

76 Secante Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. Observe que os triângulos PBO e SAO são semelhantes: OS OP = AO BO = OS 1 = 1 cos x Daí, OS = 1 cos x O segmento OS será chamado secante de x. 30 / 35

77 Secante Desta forma, assim definimos a função secante: 31 / 35

78 Secante Desta forma, assim definimos a função secante: { Domínio: x R ; x 2k + 1 } π 2 31 / 35

79 Secante Desta forma, assim definimos a função secante: { Domínio: x R ; x 2k + 1 } π 2 sec x = 1 cos x 31 / 35

80 Cossecante Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. 32 / 35

81 Cossecante Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. Observe que os triângulos CPO e OBP são semelhantes: OC OP = OP BP = OC 1 = 1 senx 32 / 35

82 Cossecante Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. Observe que os triângulos CPO e OBP são semelhantes: OC OP = OP BP = OC 1 = 1 senx Daí, OC = 1 senx 32 / 35

83 Cossecante Consideremos um ângulo x no primeiro quadrante. Observe que os triângulos CPO e OBP são semelhantes: OC OP = OP BP = OC 1 = 1 senx Daí, OC = 1 senx O segmento OC será chamado cossecante de x. 32 / 35

84 Cossecante Desta forma, assim definimos a função Cossecante: 33 / 35

85 Cossecante Desta forma, assim definimos a função Cossecante: Domínio: {x R ; x kπ} 33 / 35

86 Cossecante Desta forma, assim definimos a função Cossecante: Domínio: {x R ; x kπ} cossecx = 1 senx 33 / 35

87 Exercício Mostre que o segmento OS equivale a secante de x. 34 / 35

88 Exercício Mostre que o segmento OS equivale a cossecante de x. 35 / 35