1. Trigonometria no triângulo retângulo

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Trigonometria I Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Trigonometria I 1.Trigonometria no triângulo retângulo 2.Razões trigonométricas de 30 o, 45 o e 60 o 3.Uso de calculadora 4.Unidades de medida de arcos e ângulos 5.Medida algébrica de um arco 6.A circunferência trigonométrica 7.Seno e cosseno na circunferência trigonométrica 8.Tangente na circunferência trigonométrica 9.Secante, cossecante e cotangente 10.Trigonometria num triângulo qualquer

3 1. Trigonometria no triângulo retângulo Numa primeira etapa, Trigonometria é o estudo das relações entre medidas de ângulos e lados nos triângulos retângulos. Esse estudo é inteiramente baseado na semelhança de triângulos. Observe, por exemplo, os triângulos da figura acima. Eles são semelhantes, pois possuem os ângulos ordenadamente congruentes.

4 1. Trigonometria no triângulo retângulo E dessa semelhança podemos deduzir que: b a b b b a a a ' = = (1) ' ' ' c a c c c a a a ' = = (2) ' ' ' b c b b b c c c ' = = (3) ' ' '

5 1. Trigonometria no triângulo retângulo As igualdades (1), (2) e (3) mostram que a razão entre dois lados quaisquer de um triângulo retângulo é igual à razão entre os dois lados homólogos de qualquer outro triângulo retângulo semelhante a ele. Em outras palavras, a razão entre dois lados quaisquer de um triângulo retângulo não depende do tamanho desse triângulo, mas apenas de seus ângulos.

6 1. Trigonometria no triângulo retângulo E dessa semelhança podemos deduzir que: b1 b2 b3 = = = = a a a c1 c2 c3 = = = = a a a b1 b2 b3 = = = = c c c constante constante constante Essas razões, constantes para cada valor de α, são chamadas razões trigonométricas. 6

7 1.1. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo Seja α a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.

8 1.1. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo Seno de α é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. Cosseno de α é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. Tangente de α é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a ele.

9 1.1. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo de medida α são denotados por sen α, cos α e tg α. sen sen α = cateto oposto = hipotenusa sen β = b a c a

10 1.1. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo de medida α são denotados por sen α, cos α e tg α. cos cos α = cateto adjacente = hipotenusa cos β = c a b a

11 1.1. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo de medida α são denotados por sen α, cos α e tg α. tan tan α = cateto oposto = cateto adjacente tan β = b c c b

12 1.1. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo Exercício 1: Calcule sen α, cos α e tan α.

13 1.1. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo Exercício 2: Um observador, de 1,80 m de altura, situado a 20 m de um edifício, enxerga o topo desse edifício segundo um ângulo α. Esse ângulo foi medido a partir da linha horizontal de visão do observador. Sabendo-se que sen α = 0,914, cos α = 0,407 e tg α = 2,250, calcule a altura do edifício.

14 1.1. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo Exercício 3: Um observador, situado num ponto A, enxerga uma montanha segundo um ângulo α. Caminhando 400 m em direção à montanha, ele passa a enxergá-la segundo um ângulo β. Desprezando a altura do observador, calcule a altura da montanha, sabendo que tg α = 1/2 e tg β = 5/6.

15 1.1. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo Exercício 4: Na figura abaixo, as circunferências são tangentes entre si e ambas tangenciam os lados do ângulo AÔB. Calcule: a) sen α em função de R e r. b) Se r = 5 e sen α = 1/6, calcule R.

16 2. Razões trigonométricas de 30 o, 45 o e 60 o Para calcular as razões trigonométricas de 30 o e 60 o, partimos de um triângulo equilátero, no qual traçamos uma altura, e obtemos um triângulo retângulo cujos ângulos agudos medem 30 o e 60 o.

17 2. Razões trigonométricas de 30 o, 45 o e 60 o Então, no triângulo retângulo, temos: sen o l 2 o 1 o l 3 2 o 3 30 = sen 30 = cos 30 = cos 30 = l 2 l 2 o l 2 o 3 tan 30 = tan 30 = l 3 2 3

18 2. Razões trigonométricas de 30 o, 45 o e 60 o Então, no triângulo retângulo, temos: sen o l 3 2 o 3 o l 2 o 1 60 = sen 60 = cos 60 = cos 60 = l 2 l 2 o l 3 2 o tan 60 = tan 60 = 3 l 2

19 2. Razões trigonométricas de 30 o, 45 o e 60 o As razões trigonométricas de 45 º são calculadas no triângulo retângulo obtido da divisão de um quadrado por sua diagonal.

20 2. Razões trigonométricas de 30 o, 45 o e 60 o sen o l o 2 o l o 45 = sen 45 = cos 45 = cos 45 = l 2 2 l 2 o l o tan 45 = tan 45 = 1 l 2 2

21 2. Razões trigonométricas de 30 o, 45 o e 60 o Exercício 5: Calcule x na figura abaixo. 21

22 2. Razões trigonométricas de 30 o, 45 o e 60 o Exercício 6: Num círculo de centro O e raio r = 2, traça-se uma corda AB. Se a distância do centro à corda é igual a 1, qual é a medida do ângulo AÔB?

23 2. Razões trigonométricas de 30 o, 45 o e 60 o Exercício 7: Na figura seguinte, ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo equilátero. Determine: a) o valor do ângulo α e b) a tangente de α.

24 3. Uso de calculadora Os valores das demais razões trigonométricas, de 1 o a 89 o, podem ser obtidos pelo uso de calculadora científica.

25 3. Uso de calculadora Exercício 8: A figura seguinte mostra a trajetória de uma bola de futebol que, chutada do ponto A, sobe a rampa e atinge o solo no ponto B. Qual é a distância entre A e B, aproximadamente?

26 4. Unidades de medida de arcos e ângulos Até aqui temos utilizado apenas a unidade grau para medir ângulos e arcos. Porém, existem outras unidades de medida de arcos, das quais uma, chamada radiano, iremos utilizar com grande frequência.

27 4.1. O grau e seus submúltiplos Minuto de grau: É a sexagésima parte do grau. 1º = 60 Segundo de grau: É a sexagésima parte do minuto de grau. 1 = 60

28 4.2. A unidade radiano Uma maneira de medir arcos de uma circunferência é compará-los com um outro arco escolhido para ser unidade de medida sobre a mesma circunferência. Esse arco é chamado unitário.

29 4.2. A unidade radiano Por exemplo, na figura acima escolhemos o arco PQ, de comprimento u, como arco unitário. Então, para medir o arco AB, devemos descobrir quantas vezes o arco unitário cabe no arco AB. Para isso, basta fazer a razão entre o comprimento do arco AB e o comprimento do arco unitário.

30 4.2. A unidade radiano comprimento do arco AB AB = comprimento do arco PQ AB 3u = AB = 3 u

31 4.2. A unidade radiano = 1rad AB Chama-se radiano o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. 1 radiano = 1 rad

32 4.2. A unidade radiano AB AOB Se = 1 rad, então = 1 rad. Decorre da definição, que a medida em radianos de um arco AB é dada por: comprimento do arco AB AB = raio

33 4.2. A unidade radiano Exercício 9: Calcule AÔB em radianos, sabendo que o comprimento do arco AB é o dobro do raio da circunferência.

34 4.3. Os arcos de volta inteira e meia-volta Para determinar as medidas em radianos dos arcos de 360º e 180º, é preciso relembrar a seguinte propriedade: A razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é constante, e igual a π, qualquer que seja a circunferência. Assim, sendo C o comprimento de uma circunferência de diâmetro d, então: C d = π onde π é um número irracional.

35 4.3. Os arcos de volta inteira e meia-volta Como o diâmetro é o dobro do raio, essa relação pode ser escrita assim: C 2r = π, ou ainda C = 2π r A última igualdade é a conhecida fórmula que permite calcular o comprimento de uma circunferência. A partir dela vamos determinar a medida do arco de volta inteira em radianos.

36 4.3. Os arcos de volta inteira e meia-volta Para isso, temos de dividir o seu comprimento pelo raio, e, como o arco de volta inteira é a própria circunferência, seu comprimento é igual a 2πr. Então, sua medida é: 2π r r = 2π rad

37 4.3. Os arcos de volta inteira e meia-volta Sabendo que o arco de volta inteira mede 2π rad, deduzimos que o arco de meia-volta mede π rad.

38 4.4. Conversões de medidas Para converter medidas de arcos de radianos para graus ou vice-versa, usamos a seguinte relação: π rad equivale a 180º ou π rad = 180º

39 4.4. Conversões de medidas Exercício 10: Num triângulo ABC, sabe-se que o ângulo B é o dobro do ângulo C e que o ângulo A é o triplo do ângulo C. a) Determine os ângulos A, B e C em radianos. b) Classifique esse triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos.

40 5. Medida algébrica de um arco Arco orientado. Imagine um ponto P que, partindo de um ponto A de uma circunferência, desloca-se sobre ela e pode movimentar-se no sentido horário ou anti-horário.

41 5. Medida algébrica de um arco Nos dois sentidos possíveis de deslocamento, para cada posição do ponto P, fica determinado um arco AP denominado arco orientado. O ponto A é chamado origem do arco e o ponto P é a extremidade dele.

42 5. Medida algébrica de um arco Circunferência orientada. É uma circunferência na qual um dos dois possíveis sentidos de deslocamento é adotado como positivo. Para o estudo da Trigonometria, o sentido positivo é o anti-horário.

43 5. Medida algébrica de um arco Medida algébrica de um arco orientado. Considere um arco orientado contido numa circunferência orientada. A medida algébrica desse arco é a sua medida comum, afetada dos sinais + ou -, conforme o sentido do arco seja, respectivamente, concordante ou discordante do sentido positivo da circunferência.

44 5. Medida algébrica de um arco Na trigonometria, os arcos orientados no sentido anti-horário têm medidas algébricas positivas e os orientados no sentido horário têm medidas algébricas negativas.

45 5. Medida algébrica de um arco A medida algébrica de um arco orientado de origem A e extremidade P é representada pelo símbolo. Veja os exemplos: AP

46 5. Medida algébrica de um arco o AP = ou 2π AP = + rad 3 o AQ = 120 ou 2 AQ = π rad 3

47 6. A circunferência trigonométrica Observe a figura acima. Ela mostra uma circunferência orientada no sentido anti-horário, à qual associamos um sistema de coordenadas cartesianas.

48 6. A circunferência trigonométrica O centro da circunferência é O = (0, 0). O raio da circunferência é unitário, isto é, r = 1.

49 6. A circunferência trigonométrica A = (1, 0) é a origem dos arcos. Isto é, os arcos são medidos a partir de A. A circunferência da figura é chamada circunferência trigonométrica.

50 6. A circunferência trigonométrica Como a origem dos arcos é um ponto fixo, na circunferência trigonométrica a extremidade de um arco fica determinada pela sua medida algébrica.

51 6. A circunferência trigonométrica Desse modo, a cada ponto da circunferência trigonométrica ficam associados números reais, representando estes as medidas em radianos dos arcos que têm extremidades nesse ponto. Particularmente, dizemos que o ponto A, origem dos arcos, é um arco nulo e que sua medida é zero.

52 6. A circunferência trigonométrica A partir disso, dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se encontra a sua extremidade.

53 Por exemplo, os arcos cujas medidas estão representadas acima são π, 3π, 7π e π A circunferência trigonométrica pertencem, respectivamente, ao 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes.

54 7. Seno e cosseno na circunferência trigonométrica Seja α a medida de um arco de extremidade P na circunferência trigonométrica. Então, sen α é a ordenada de P cos α é a abscissa de P

55 7. Seno e cosseno na circunferência trigonométrica Em razão dessas definições, na Trigonometria o eixo Ox é chamado eixo dos cossenos e o eixo Oy, eixo dos senos.

56 7. Seno e cosseno na circunferência trigonométrica Lembrando que o raio da circunferência trigonométrica é unitário, no triângulo OPQ da figura acima, temos:

57 7. Seno e cosseno na circunferência trigonométrica OQ OQ cos α = = OP 1 cos α = OQ (1) QP QP sen α = = OP 1 sen α = QP

58 7. Seno e cosseno na circunferência trigonométrica Como QP = OR, temos sen α = OR (2) As igualdades (1) e (2) mostram que cos α e sen α são a abscissa e a ordenada de P.

59 7.1. Alguns valores notáveis de seno e cosseno Observe as figuras e procure determinar os valores de seno e cosseno dos ângulos indicados nas figuras.

60 7.1. Alguns valores notáveis de seno e cosseno 0 π/2 π 3π/2 2 π sen cos

61 7.1. Alguns valores notáveis de seno e cosseno Note que seno e cosseno são no máximo iguais a 1 e no mínimo iguais a -1. Assim, sen α e cos α variam no intervalo de -1 a 1. 1 sen α 1 e 1 cos α 1

62 7.1. Alguns valores notáveis de seno e cosseno Exercício 11: Calcule o valor da expressão abaixo. 3π 2sen 5cos 2π 2 3π 2 3sen + cos π 2

63 7.1. Alguns valores notáveis de seno e cosseno Exercício 12: Determine os valores de x que satisfazem as equações seguintes no intervalo 0 x 2π. a) sen x = 0 b) cos x = 0 c) sen x = 1 2 d) cos x 1= 0 e) sen x + sen x cos x = 0

64 7.1. Alguns valores notáveis de seno e cosseno Exercício 13: Identifique quais das igualdades abaixo são possíveis. a) sen x = 2 b) sen c) sen d) sen 1 x = 5 5 x = 3 3 x = 7

65 7.1. Alguns valores notáveis de seno e cosseno Exercício 14: Determine m para que a igualdade abaixo seja possível. cos x = 2m 1

66 7.2. Arcos da forma: π - α, π + α e 2π - α Seja P a extremidade de um arco do primeiro quadrante. Observe estas três outras extremidades. P 1 : simétrico de P em relação ao eixo Oy. P 2 : simétrico de P em relação ao centro O. P 3 : simétrico de P em relação ao eixo Ox.

67 7.2. Arcos da forma: π - α, π + α e 2π - α As medidas dos arcos de extremidades P 1, P 2 e P 3, sendo AP = α, podem ser expressas em função de α. AP = π α = π + α = π α 1, AP 2 e AP 3 2, ou AP 3 = α

68 7.2. Arcos da forma: π - α, π + α e 2π - α Assim, o seno e o cosseno desses arcos podem ser expressos em função de sen α e cos α. sen ( π α ) = sen α sen ( π + α ) = sen α sen (2 π α ) = sen α sen ( α ) = sen α

69 7.2. Arcos da forma: π - α, π + α e 2π - α Assim, o seno e o cosseno desses arcos podem ser expressos em função de sen α e cos α. cos ( π α ) = cos α cos ( π + α ) = cos α cos (2 π α ) = cos α cos ( α ) = cos α

70 7.2. Arcos da forma: π - α, π + α e 2π - α Exercício 15: Calcule o valor de sen π cos π sen π cos π

71 7.2. Arcos da forma: π - α, π + α e 2π - α Exercício 16: Simplifique a expressão sen(2 π α ) sen( π + α ) + sen( π α ) cos( π + α ) sen( π α ) + cos( π α )

72 7.2. Arcos da forma: π - α, π + α e 2π - α Exercício 17: Resolva as equações seguintes no intervalo 0;2π. a) sen x b) cos x = 1 2 = 2 1 c) cos x = d) sen x = 2 ] [ 2 2

73 7.3. Primeira relação fundamental Para qualquer um dos dois casos apresentados nas figuras, as medidas dos catetos do triângulo retângulo OPQ, são: PQ = sen α e OQ = cos α

74 7.3. Primeira relação fundamental PQ Pelo teorema de Pitágoras: + OQ = 1 sen α + cos α = Como 2 a = a 2, a R 2 2 sen α + cos α = 1 2 2, a última igualdade fica:

75 7.3. Primeira relação fundamental Embora as figuras da demonstração mostrem os arcos no 1º e 3º quadrantes, todo o raciocínio também é válido quando os arcos pertencem aos demais quadrantes.

76 7.3. Primeira relação fundamental 5 1 Exercício 18: Se sen 18 o =, calcule cos 18 o. 4

77 7.3. Primeira relação fundamental Exercício 19: Calcule m, para que se tenha m 1 m 2 sen x = e cos x = m m

78 7.3. Primeira relação fundamental Exercício 20: Simplifique as expressões abaixo: a) sen ( α ) sen( π + α ) cos( α ) cos( π α ) b) sen x sen x cos x cos x

79 7.3. Primeira relação fundamental Exercício 21: Se cos x = 1/a, calcule o valor da expressão abaixo, em função de a. cos x + cos x sen x 1 sen 4 x 2

80 8. Tangente na circunferência trigonométrica Para o estudo das tangentes dos arcos na circunferência trigonométrica, associamos mais um eixo a ela, conforme mostra a figura acima. At é chamado eixo das tangentes.

81 8. Tangente na circunferência trigonométrica O eixo At tangencia a circunferência em A. O ponto A é a origem do eixo das tangentes, isto é, ao ponto A está associado o número zero desse eixo. O raio da circunferência trigonométrica é a unidade de medida também no eixo das tangentes.

82 8. Tangente na circunferência trigonométrica Seja P a extremidade de um arco qualquer de medida α e seja T o ponto em que a reta conduzida pelo centro da circunferência trigonométrica e por P intercepta o eixo At. Então, tg α é o número associado ao ponto T no eixo At.

83 8. Tangente na circunferência trigonométrica Quadrante 1 o 2 o 3 o 4 o Sinais de tg α

84 8. Tangente na circunferência trigonométrica 0 π/2 π 3π/2 2 π tg 0 0 0

85 8. Tangente na circunferência trigonométrica Exercício 22: Calcule o valor de 5π 7π tgπ cos + tg 6 4 π 4π sen tg 4 3

86 8. Tangente na circunferência trigonométrica Exercício 23: Resolva as equações no intervalo de 0 x 2π. a) tg x 2 b) tg x = 3 2 = 3 3 c) tg x = 1 d) tg x tg x = 0

87 8.1. Segunda relação fundamental Para os dois casos apresentados nas figuras acima, note que as medidas dos catetos dos triângulos OQP e OAT são: PQ = sen α OQ = cos α AT = tg α OA = 1

88 8.1 Segunda relação fundamental QP AT OQP OAT Como // temos. AT OA tg α 1 Então = = QP OQ sen α cos α α tg α = sen cos α

89 8.1 Segunda relação fundamental tg α e Como em todos os quadrantes os sinais de sen α são idênticos, teremos: cos α α tg α = sen cos α

90 8.1 Segunda relação fundamental Note que, se cos α = 0, então sen α cos α não está definido. Porém, os arcos para os quais cos α = 0 são justamente aqueles em que não existe tg α.

91 8.1 Segunda relação fundamental Exercício 24: Dado tg x = 5/12, 0 < x < π/2, calcule sen x e cos x.

92 8.1 Segunda relação fundamental Exercício 25: Se cosa = 2 5, 0 < a < π/2, e cosb = 1 10, 0 < b < π/2, calcule o valor de tg a + tg b 1 tg a tg b

93 8.1 Segunda relação fundamental Exercício 26: Resolva as equações abaixo no intervalo 0 x 2π. a) sen x = cos x b) sen x cos x = 0 3

94 9. Secante, cossecante e cotangente Se α é a medida de um arco, ou ângulo qualquer, então: Secante de α (sec α) é o inverso de cos α. 1 sec α = (cos α 0) cos α

95 9. Secante, cossecante e cotangente Se α é a medida de um arco, ou ângulo qualquer, então: Cossecante de α (cossec α) é o inverso de sen α. 1 cossec α = (sen α 0) sen α

96 9. Secante, cossecante e cotangente Se α é a medida de um arco, ou ângulo qualquer, então: Cotangente de α (cotg α) é o inverso de tg α. 1 cotg α = (tg α 0) tg α ou cos α cotg α = (sen α 0) sen α

97 9. Secante, cossecante e cotangente Note que as variações dos sinais de sec α, cossec α e cotg α, segundo cada quadrante, são idênticas às variações de sinais de cos α, sen α e tg α, respectivamente.

98 9. Secante, cossecante e cotangente A cotangente pode ser interpretada graficamente associando-se mais um eixo à circunferência trigonométrica, conforme é mostrado na figura acima. Nesse caso, obtém-se a cotangente de modo inteiramente análogo ao que se emprega para determinar a tangente.

99 9. Secante, cossecante e cotangente Como Então BC / / QP temos OBC BC OB cotg α 1 = = QP OQ cos α sen α OQP α cotg α = cos sen α

100 9. Secante, cossecante e cotangente Como em todos os quadrantes os sinais de cotg α e cos α são idênticos, teremos: sen α α cotg α = cos sen α

101 9. Secante, cossecante e cotangente Note que, se sen α = 0, então cos α sen α não está definido. Porém, os arcos para os quais sen α = 0 são justamente aqueles em que não existe cotg α.

102 9. Secante, cossecante e cotangente 0 π/2 π 3π/2 2 π cotg 0 0

103 9. Secante, cossecante e cotangente Na figura acima, a reta s é tangente à circunferência na extremidade P do arco de medida α. Com base na figura, fazemos as seguintes definições de secante e cossecante.

104 9. Secante, cossecante e cotangente sec α é o número associado ao ponto X no eixo Ox.

105 9. Secante, cossecante e cotangente sec α é o número associado ao ponto X no eixo Ox.

106 9. Secante, cossecante e cotangente sec α é o número associado ao ponto X no eixo Ox.

107 9. Secante, cossecante e cotangente P P 1 1 O sec α X O Q cos α Temos OPX OQP Então OX OP OP sec α 1 = = OQ 1 cos α sec α = 1 cos α

108 9. Secante, cossecante e cotangente cossec α é o número associado ao ponto Y no eixo Oy.

109 9. Secante, cossecante e cotangente cossec α é o número associado ao ponto Y no eixo Oy.

110 9. Secante, cossecante e cotangente cossec α é o número associado ao ponto Y no eixo Oy.

111 9. Secante, cossecante e cotangente cossec α Y O 1 P R sen α O 1 P Temos OPY ORP Então OY OP OP cossec α 1 = = OR 1 sen α cossec α = 1 sen α

112 9. Secante, cossecante e cotangente Exercício 27: Calcule o valor de 2π 3π 11π a) sec + cotg cossec 3 4 6

113 9. Secante, cossecante e cotangente Exercício 28: Sabendo que 3π/2 < a < 2π, e que sen a = -7/25, calcule as demais razões trigonométricas.

114 9.1. Outras relações fundamentais Dividindo ambos os membros da relação sen 2 α + cos 2 α = 1 por cos 2 α, teremos: sen α cos α 1 sen α + cos α = 1 + = cos α cos α cos α tg α + 1= sec α sec α = 1+ tg α

115 9.1. Outras relações fundamentais Agora, vamos dividir ambos os membros de sen 2 α + cos 2 α = 1 por sen 2 α, teremos: sen α cos α 1 sen α + cos α = 1 + = sen α sen α sen α cotg α = cossec α cossec α = 1+ cotg α

116 9.2. Resumo das relações fundamentais 2 2 sen α + cos α = 1 α tg α = sen cos α α cotg α = cos sen α cotg α = 1 tg α 1 sec α = cossec α cos α = 1 sen α sec α = 1+ tg 2 2 α cossec α = 1+ cotg 2 2 α

117 9.2. Resumo das relações fundamentais Exercício 29: Calcule cos x, 3π/2 < x < 2π, sabendo que tg x = -2.

118 9.2. Resumo das relações fundamentais Exercício 30: Resolva a equação abaixo no intervalo 0 x 2π. (sec x + 1) (sec x 1) = 3

119 10. Trigonometria num triângulo qualquer Passaremos a representar sempre por a, b e c as medidas dos lados opostos aos ângulos A, B e C de um triângulo ABC.

120 10.1. Lei dos senos Para qualquer triângulo ABC, sendo R o raio da circunferência circunscrita, vale a relação: a b c = = = 2R sen A senb senc

121 10.1. Lei dos senos Traçando-se o diâmetro AD e unindo D e C, temos: AC 1º) D = B = 2 2º) ACD é retângulo em C por estar inscrito numa semicircunferência.

122 10.1. Lei dos senos b b Então, no ACD, senb = = 2R 2R senb Analogamente, demonstra-se que a c = 2R = 2R sen A senc

123 10.1. Lei dos senos a b c Logo, = = = 2R sen A senb senc

124 10.1. Lei dos senos Exercício 31: Num triângulo ABC sabe-se que o ângulo A é igual a 60 o, o ângulo B é igual a 45 o e a = 9. Calcule: a) o raio da circunferência circunscrita e b) a medida do lado b.

125 10.1. Lei dos senos Exercício 32: Num triângulo ABC tem-se o a = 8 2, b = 8 3 e B = 60. Calcule C.

126 10.1. Lei dos senos Exercício 33: Um triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de raio R. Se a = R, calcule A.

127 10.2. Lei dos cossenos Para todo triângulo ABC, vale a relação: a = b + c 2bc cos A A demonstração completa exige que se analisem os casos em que A é agudo e em que A é obtuso.

128 10.2. Lei dos cossenos Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulos AHC e BHC, temos:

129 10.2. Lei dos cossenos h = b m h = a ( c m) a ( c m) = b m a ( c 2 cm + m ) = b m a c + 2cm m a = + c cm b = b 2 (1) m h = b m h = a ( c + m) a ( c + m) = b m a ( c + 2 cm + m ) = b m a c 2cm m a = + c + cm b = b 2 (1) m 2 2

130 10.2. Lei dos cossenos Do triângulo retângulo AHC, tiramos: m cos ( π A) = m b cos A = b m cos A = m = b cos A (2) b m = b cos A (2)

131 10.2. Lei dos cossenos Substituindo em (1) o valor de m encontrado em (2), temos finalmente: a = b + c 2bc cos A

132 10.2. Lei dos cossenos Exercício 34: De um triângulo ABC, são dados: o a = 3 + 1, b = 2 e C = 30. Calcule c.

133 10.2. Lei dos cossenos Exercício 35: Dois automóveis A e B seguem por uma mesma rodovia. No instante em que B entra numa estrada secundária, que forma um ângulo de 60 o com a primeira, ele é ultrapassado por A, que continua na rodovia principal. As duas estradas podem ser consideradas retilíneas. Se A viaja a 80 km/h e B a 50 km/h, qual a distância entre A e B 6 minutos após B ter entrado na rodovia secundária?

134 10.2. Lei dos cossenos

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