Esta é só uma amostra do livro do Prof César Ribeiro.

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3 SUMÁRIO TERCEIRO VOLUME CAPÍTULO 00: ALGUMAS PALAVRAS A RESPEITO DO QUE CONVÉM SER ENSINADO 013 CAPÍTULO 01: AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 018 TRIÂNGULOS RETÂNGULOS NOTÁVEIS 00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES 08 RESPOSTAS 035 TABELA DE SENOS, COSSENOS E TANGENTES DE 0º ATÉ 90º 036 CAPÍTULO 0: O CICLO TRIGONOMÉTRICO MEDIDA ANGULAR DE UM ARCO E COMPRIMENTO DE UM ARCO 037 CICLO TRIGONOMÉTRICO 041 ARCOS CÔNGRUOS 043 ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO 046 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 047 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES 048 RESPOSTAS 050 CAPÍTULO 03: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INTRODUÇÃO 051 ALGUMAS NOTAÇÕES IMPORTANTES 051 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO 05 FUNÇÃO PERIÓDICA 060 FUNÇÃO y = sen x 060 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = sen x 061 FUNÇÃO y = cos x 065 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cos x 066 FUNÇÃO y = tg x 071 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = tg x 07 FUNÇÃO y = cotg x 077 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cotg x 077 FUNÇÃO y = sec x 081 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = sec x 081 FUNÇÃO y = cossec x 083 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cossec x 083 RELAÇÕES ENTRE AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES 085 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 087 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES 09 RESPOSTAS 099

4 CAPÍTULO 04: REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE SIMETRIAS 100 REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE 100 ARCOS DA FORMA n ± x 104 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 109 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES 110 RESPOSTAS 114 CAPÍTULO 05:TRANSFORMAÇÕES ADIÇÃO DE ARCOS 116 SOMA DE VÁRIOS ARCOS 117 SUBTRAÇÃO DE ARCOS 119 DUPLICAÇÃO DE ARCOS 10 SOMA DE SENOS OU DE COSSENOS DE ARCOS EM PA 13 TRIPLICAÇÃO DE ARCOS 13 FÓRMULAS DE SIMPSON 14 CÁLCULO DO SENO E DO COSSENO DO ARCO nα 14 BISSECÇÃO DE ARCOS 14 SENO, COSSENO E TANGENTE EM FUNÇÃO DA TANGENTE DO ARCO METADE 17 FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE (TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO) 17 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES 136 RESPOSTAS 143 CAPÍTULO 06:EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INTRODUÇÃO 144 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTARES 144 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÃO ELEMENTARES 157 EQUAÇÕES SOLUCIONÁVEIS POR OUTROS ARTIFÍCIOS 166 SISTEMAS DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 181 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 183 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES 188 RESPOSTAS 195 CAPÍTULO 07:INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES 197 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES 08 RESPOSTAS 10

5 CAPÍTULO 08:FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS FUNÇÃO ARCO-SENO 11 FUNÇÃO ARCO-COSSENO 11 FUNÇÃO ARCO-TANGENTE 1 FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE 1 FUNÇÃO ARCO-SECANTE 13 FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE 13 SOMAS DE FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS 15 ALGUMAS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS 16 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 17 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES 19 RESPOSTAS CAPÍTULO 09:RESOLUÇÃO DOS TRIÂNGULOS LEI DOS COSSENOS 3 LEI DOS SENOS OU TEOREMA DE LAMY 4 ÁREA DE UM TRIÂNGULO 6 LEI DAS TANGENTES OU TEOREMA DE NEPPER 7 FÓRMULAS DE BRIGGS 7 TEOREMA DAS PROJEÇÕES OU DE CARNOT 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES 30 RESPOSTAS 36 APÊNDICE FORMULÁRIO-RESUMO DO TERCEIRO VOLUME 41

6 Outra solução: α α α D 50 C A B sen α = 0,6 cos α = 0,8 x tg α = 0,75 x + y = 500 (I) Pela tg α, temos: x y = x= y y 4 Substituindo (II) em (I), encontramos: y y+ 9y + y = y = Ou ainda: 5y + 900y 17500= 0 y + 36y 700= 0, cujas soluções são y 1 = 14 e y = 50 (não serve) Para y = 14, encontramos x = 48 RESPOSTA: alternativa c EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFGO) No triângulo abaixo, os valores de x e y, nesta ordem, são: a) e 3 b) 3 1 e x 3 6 c) e d) e 3 y 135º 15º 3 3 e) e 3 1 RESOLUÇÃO: O melhor truque a ser utilizado na resolução dessa questão é completar o triângulo retângulo conforme a figura abaixo, em que o ângulo A é reto: B x (II) y 135º 15º D C A 5

7 CICLO TRIGONOMÉTRICO: Seja uma circunferência de raio igual a 1 (uma unidade de comprimento), associada a um sistema de coordenadas ortogonais com origem em seu centro Convencionemos como sentido positivo de percurso dessa circunferência o sentido anti-horário (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) e, em contrapartida, o sentido negativo será o oposto (a favor do movimento dos ponteiros do relógio) A intersecção do semi-eixo positivo das abscissas do sistema de coordenadas com a circunferência (ponto A na figura abaixo) será a origem dos arcos, isto é, o ponto a partir do qual marcaremos os arcos que serão considerados sobre a circunferência A esse conjunto chamamos de ciclo trigonométrico ou círculo trigonométrico ou circunferência trigonométrica Os arcos com os quais trabalharemos, marcados sobre o ciclo, serão denominados arcos trigonométricos e esses, ao contrário do que ocorre na Geometria Plana, poderão ter medidas maiores do que 360º (bastando para isso que se percorra todo o ciclo mais de uma vez no sentido positivo) ou menores do que 0º (bastando para isso que se percorra o ciclo, a partir da origem dos arcos, no sentido negativo) Sempre que, para chegarmos à extremidade de um arco, precisarmos, a partir da origem dos arcos, percorrer o ciclo no sentido positivo, esse arco terá medida positiva; em caso contrário, terá medida negativa Γ B(0, 1) α Na figura, temos: O(0, 0) origem do sist cartesiano A origem dos arcos F + F extremidade do arco AF (α > 0) E extremidade do arco AE (γ < 0) C( 1, 0) O(0, 0) γ A(1, 0) D(0, 1) E Existe uma correspondência entre os pontos da reta real e os pontos do ciclo A cada número real corresponde um único ponto do ciclo que é sua imagem O ponto O do eixo real tem como correspondente o ponto A do ciclo O sentido positivo de percurso do eixo real corresponde ao sentido positivo de percurso do ciclo (sentido anti-horário) enquanto que o sentido negativo de percurso do eixo real corresponde ao sentido negativo de percurso do ciclo (sentido horário) Dessa maneira, chamando o ciclo trigonométrico de Γ, e fixando uma origem A nesse ciclo, criamos uma função F : R Γ, de forma que, para determinarmos a imagem de um número real x qualquer, devemos: A partir da origem A, percorrer Γ no sentido positivo, se x > 0; ou A partir da origem A, percorrer Γ no sentido negativo, se x < 0 41

8 OBS: A curva que representa a função y = tg x no plano cartesiano recebe o nome de tangentóide As retas verticais que passam pelos pontos x= kπ + π, k Z são as chamadas assíntotas DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = tg x: Para funções do tipo y = a + b tg (mx + n), temos período π p= e temos imagem igual a m R Na verdade, cada um dos números reais a, b e m provoca uma deformação no gráfico de y = tg x Veja gráficos comparativos no intervalo [0, π] abaixo: x A) f(x) = tg x e g ( x) = tg período de f = π rad período de g = π rad O π/ π 3π/ π 5π/ 3π f(x) = tg x x g ( x) = tg Houve uma dilatação horizontal no gráfico de y = tg x, porque 0 < m < 1; se tivéssemos m > 1, haveria uma compressão horizontal 7

9 1+ cot g x 6) EEAR /004 turma A A expressão 1+ tg x é idêntica à (ao): a) tg x b) sen x c) cotg x d) cos x 7) EEAR /005 Existirá x R que satisfaça a igualdade sen x = k 5 se, e somente se: a) 1 < k 3 b) 1 < k < 4 c) k < 4 d) k 3 8) EEAR /006 turma B O quadrante em que as funções seno, cosseno e tangente são, simultaneamente, crescentes é o: a) 1º b) º c) 3º d) 4º QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES EPCAR: 1) EPCAR 1998 Sejam f e g duas funções trigonométricas definidas no conjunto dos números reais por f(x) = 4 cos x e g(x) = cos (x/4) Se P F é o período de f e P G é o período de g, pode-se afirmar que: a) P G = P F b) P G = (1/)P F c) P G = 8P F d) P G = 4P F ) EPCAR 1998 Examine o gráfico abaixo e assinale a função correspondente: a) y = cos x y b) y = cos x c) y = sen x 1 d) y = sen x π/ 3π/ O π π x 3) EPCAR 00 Se A = log (1 + cotg x) + log (1 + cos x) + log (1 cos x), sendo 0 < x < π/, então A é igual a: a) log (1/10) b) log (1/) c) log 1 d) log 10 4) EPCAR 00 No sistema cartesiano abaixo, estão sobrepostos os gráficos de três funções y 1 = k 1 cotg x, y = k cotg x e y 3 = k 3 cotg x Tem-se, necessariamente, que: y a) k 1 < k < k 3 b) k 1 = k = k 3 c) k 3 < k < k 1 d) k < k 3 < k 1 O π/ π 93

10 cos α = x x 5 = 5 5 z x Pelo teorema das bissetrizes no triângulo ABC, ficamos com = z = y y x x+ y Pelo triângulo ABC, podemos concluir que sen α = Substituindo z por y e z x+ y desenvolvendo a expressão do arco duplo, ficamos com sen α cos α = Substituindo os y valores do seno e do cosseno, ficamos com: 5 5 y = x = AD 3 3 RESPOSTA: alternativa b x+ y 8y = = x+ y 5x = 3y y 5 EXERCÍCIO RESOLVIDO: Provar que sen 10º sen 50º sen 70º = 1/8 RESOLUÇÃO: Façamos x = sen 10º sen 50º sen 70º No momento em que provarmos que o valor de x é igual a 1/8, estaremos provando a igualdade da questão Multiplicando ambos os membros por cos 10º, ficamos com: cos 10º x = sen 10º cos 10º sen 50º sen 70º = sen 0º sen 50º sen 70º Substituindo sen 70º por cos 0º e novamente multiplicando por ambos os membros, caímos em: cos 10º x = sen 0º cos 0º sen 50º = sen 40º sen 50º, ou seja: 4 cos 10º x = sen 40º sen 50º Substituindo sen 50º por cos 40º e, mais uma vez, multiplicando ambos os membros por, chegamos a: 4 cos 10º x = sen 40º cos 40º 8 cos 10º x = sen 80º Finalmente, substituindo sen 80º por cos 10º, cancelando cos 10º em ambos os membros e 1 isolando x, chegamos a: 8 cos10º x = cos10º 8x= 1 x=, cqd 8 RESPOSTA: Veja desenvolvimento EXERCÍCIO RESOLVIDO: (MACK) Se y = 3 + sen x cos x, 0 x π/, então o maior valor que y pode assumir é: a) 3 b) 13/4 c) 10/3 d) 7/ e) 4 RESOLUÇÃO: Multiplicando ambos os membros da lei de associação da função por e isolando y, vem: 6+ sen x 1 y= 6+ sen x cos x y= = 3+ sen x O maior valor de sen x implicará o maior valor de y Sabemos que o seno de um arco varia de 1 até 1, isto é, o maior valor que sen x pode assumir é igual a 1 Então, o maior valor 1 7 que y pode assumir é igual a 3 + 1= RESPOSTA: alternativa d 1

11 S = π x R x = kπ + ou 6 podemos dizer que S = questão RESPOSTA: alternativa c 5π x = kπ +, k Z ou ainda, resumindo em uma única forma, 6 x R x kπ + ( ) k 1 π =, k Z, conforme alternativa c da 6 SISTEMAS DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Neste item, veremos alguns sistemas de equações trigonométricas resolvidos EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFSCAR) O conjunto das soluções em r e θ do sistema de equações r senθ = 3, para r > 0 e 0 θ < π é: r cosθ = 1 a) {, π/6} b) {1, π/3} c) {, 1} d) {1, 0} e) {, π/3} RESOLUÇÃO: sen θ = 3 Quadrando as duas equações do sistema, caímos em r cos θ = 1 r Somando as duas equações, ficamos com r sen θ + r cos θ = 4 r (sen θ + cos θ) = 4 r = 4 r = (r > 0) Sendo r > 0, então, da primeira equação, deduzimos também que sen θ > 0 Substituindo o valor de r = na segunda equação, vem: cos θ = 1/ θ = 60º (π/3 rad) ou θ = 300º (5π/3 rad), que não serve, porque o número sen 300º ficaria negativo (não satisfaria à primeira equação do sistema) O par ordenado (r, θ) que é solução do sistema é, portanto, (, π/3) RESPOSTA: alternativa e EXERCÍCIO RESOLVIDO: (ITA) Para que valores de t o sistema x+ y= π sen x+ sen y= log 10 t admite solução? a) 0 < t < 10 b) 0 < t < 10π c) 0 < t < 10 d) 0,1 < t 10 e) NRA RESOLUÇÃO: Da primeira equação, tiramos x = π y, então, sen x = sen (π y) = sen y Substituindo esse valor na segunda equação, vem: sen y + sen y = log t sen y = log t sen y = log t Como o valor do seno de um número real varia entre 1 e 1, vem: 1 log t t ,1 < t 10 RESPOSTA: alternativa d π x+ y= EXERCÍCIO RESOLVIDO: Resolver o sistema no intervalo de 0 a π sen x+ cos y= 1 radianos RESOLUÇÃO: Observe que os arcos x e y são complementares, isto é, a função trigonométrica de um é igual à co-função do outro e vice-versa 181

12 DICA: A igualdade y = arc cotg x é equivalente a cotg y = x OBS: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc cotg 1 = kπ + π 4, pois a função f(x) = arc cotg x tem contradomínio ]0, π[, isto é, o arco não pode assumir infinitos valores, mas apenas aqueles compreendidos entre 0 e π FUNÇÃO ARCO-SECANTE: É a função f : ], 1] [1, + [ ] π, π ] ] 0, π ], definida por f(x) = arc sec x (lê-se: f(x) é igual ao arco cuja secante é x ) O gráfico da função arco-secante é: y π 1 O 1 x π π DICA: A igualdade y = arc sec x é equivalente a sec y = x OBS: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc sec = kπ + π 4, pois a função f(x) = arc sec x tem contradomínio ] π, π ] ] 0, π ], isto é, o arco não pode assumir infinitos valores, mas apenas aqueles compreendidos nesses intervalos de números reais FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE: É a função f : ], 1] [1, + [ ] π, π ] ] 0, π ], definida por f(x) = arc cossec x (lê-se: f(x) é igual ao arco cuja cossecante é x ) O gráfico da função arco-cossecante é: 13

13 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ESCOLA NAVAL: 1) EN 1988 Considere o problema de determinar o triângulo ABC, conhecidos C = 60º, AB = x e BC = 6 Podemos afirmar que o problema: a) sempre admite solução, se x > 0 b) admite duas soluções, se x > 3 c) admite solução única, se x = 3 d) admite duas soluções, se 3 3 < x < 6 e) não admite solução, se x > 6 ) EN 003 Considere a figura abaixo: B α β a) b) c) d) e) A D C d 1 d A área do triângulo BDC é: d1+ d cot gα cot gβ d1 d ( cot gα + cot gβ) d1+ d ( cot gα cot gβ) d1 d cot gα cot gβ d1 d cot gα cot gβ ( ) RESPOSTAS: QUESTÕES DE VESTIBULARES: 1) d ) d 3) e 4) e 5) d 6) a 7) c 8) d 9) c 10) d 11) b QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES: CFT: 1) b EEAR: 1) b ) d 3) c 4) c 5) a 6) a 7) c EPCAR: 1) a ESPCEX: 1) c 36