TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS

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1 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS Aula 8 Funções Trigonométricas Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre

2 GABARITO: 1) 20 m TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a altura h do edifício, sabendo que AB mede 25m e cos Θ = 0, (UFCE) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 60º em relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de altura será, aproximadamente: A) 10,2 m B) 8,5 m C) 5,9 m D) 4,2 m E) 3,4 m

3 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 3 3 (UFPA) A figura representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a distância percorrida pelo barco até o ponto C, é: A) m B) 240 m C) 80 3 m D) 80 m E) 40 3 m 4 (UFPA) Para permitir o aceso a um monumento que está em um pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração. O comprimento da rampa será igual a: A) 3 / 2 m B) 3 m C) 2 m D) 4 m E) 4 3 m

4 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 4 5 (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê um prédio segundo um ângulo de 75. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio, então a altura do prédio, em metros, é: A) 4(3 + 3). B) 3. C) 3 / 2. D) 6( 2 + 2). E) ½. 6 (UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está a 20m de altura, comprimento do cabo AC é: A) 15 m B) 20 m C) 25 m D) 35 m E) 40 m

5 GABARITO: 2) 30º, 45º e 105º. 5 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 7 Determine o perímetro e a área do triângulo dado. Sabendo que: sen 80º = 0,98 sen 40º = 0,64 sen 60º = 0,86 8 Os lados de um triângulo medem a = 2, b = 2 e c = Determine as medidas de seus ângulos.

6 6 TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA O NÚMERO π Dada uma circunferência de raio r, diâmetro d = 2r, o número π é definido como a razão do comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro d, isto é, O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA Observando a definição do número π, podemos concluir que: C = 2.π.r O COMPRIMENTO DE UM ARCO Em uma circunferência de raio r a definição de radiano implica que um ângulo de 1 radiano compreende um arco de comprimento r. Logo um ângulo de Θ radianos compreende um arco de comprimento s. O valor s é dado por

7 7 TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA EXEMPLO: Sabendo que 1 radiano compreende um arco de comprimento r (ou seja, s = r). Determine quantos radianos são necessários para completar uma volta? SOLUÇÃO: Fazendo a regra de 3, temos: 1 rad está para o arco de medida s = r, assim como Θ em radianos está para a volta completa C = 2πr. Sendo assim: Isto é, uma volta completa na circunferência corresponde a um ângulo de medida 2π radianos.

8 8 TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA Afinal, o radiano é uma medida de comprimento ou de ângulo? Segundo Luis Roberto Dante: Um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento RETIFICADO da circunferência é igual ao raio da circunferência. Isso deve ser interpretado da seguinte forma: Se temos um ângulo central de medida 1 radiano, então ele subtende um arco de medida 1 radiano e comprimento de 1 raio. Lembre-se que a medida do arco é igual a medida do ângulo. Sendo assim, se temos um ângulo central de medida 2 radianos, então ele subtende um arco de medida 2 radianos e de comprimento igual a 2 raios.

9 9 TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA CONVERSÃO GRAU RADIANO Assim, dado um ângulo Θ radianos, sua medida x em graus é dada por EXEMPLOS: a) Determine a medida do ângulo ( 3 / 4 )π rad em graus. b) Determine a medida do ângulo 155º graus em radianos. c) Determine a medida do ângulo 1º graus em radianos. d) Determine a medida do ângulo 1 rad em graus.

10 10 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO Seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um único valor para seu seno, denotado sen(x). Definimos então a função f(x) = sen(x), cujo gráfico, é denominado senóide. OBSERVAÇÕES: A função f(x) = sen (x) é periódica de período T = 2π ; isto significa que suas imagens se repetem de 2π em 2π radianos, isto é, para todo x real temos que sen(x) = sen(x +2π); A imagem é limitada em 1 e 1, isto é, para todo x real temos que 1 sen(x) 1.

11 11 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SINAL DA FUNÇÃO SENO O sinal da função seno é dado seguindo o esquema abaixo: VARIAÇÃO DA FUNÇÃO SENO Considere x 1 < x 2,então temos no: 1º Quadrante, sen x 1 < sen x 2 crescente 2º Quadrante, sen x 1 > sen x 2 decrescente 3º Quadrante, sen x 1 > sen x 2 decrescente 4º Quadrante, sen x 1 < sen x 2 crescente

12 12 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 9 Determine os valores reais que m pode assumir para que exista um número real x que satisfaça a igualdade sen x = 2m 3 10 Determine os valores reais de m para os quais sen x = m 2 m 1 tenha solução.

13 13 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO COSSENO Seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um único valor para seu cosseno, denotado cos(x). Definimos então a função f(x) = cos(x), cujo gráfico, é denominado cossenóide. OBSERVAÇÕES: A função f(x) = cos (x) é periódica de período T = 2π ; isto significa que suas imagens se repetem de 2π em 2π radianos, isto é, para todo x real temos que cos(x) = (x +2π); A imagem é limitada entre 1 e 1, isto é, para todo x real temos que 1 cos(x) 1.

14 14 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SINAL DA FUNÇÃO COSSENO O sinal da função cosseno é dado seguindo o esquema abaixo: VARIAÇÃO DA FUNÇÃO COSSENO Considere x 1 < x 2,então temos no: 1º Quadrante, cos x 1 > cos x 2 decrescente 2º Quadrante, cos x 1 > cos x 2 decrescente 3º Quadrante, cos x 1 < cos x 2 crescente 4º Quadrante, cos x 1 < cos x 2 crescente

15 15 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 11 Determine os valores reais que m pode assumir para que exista um número real x que satisfaça a igualdade cos x = 2m Determine os valores reais de m para os quais cos x = 3m 2 m 1 tenha solução. 13 Seja f(x) = sen x + cos x. Calcule o valor de 6.f( π / 6 )

16 16 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO TANGENTE Seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um único valor para sua tangente, denotado tg(x). Definimos então a função f(x) = tg(x), cujo gráfico, é denominado tangentóide. OBSERVAÇÕES: A função f(x) = tg (x) é periódica de período T = π ; isto significa que suas imagens se repetem de π em π radianos, isto é, para todo x real temos que tg(x) = (x +π); A imagem é ilimitada. As retas verticais tracejadas são denominadas por assíntotas. A tangente não é definida em x = π /2 + πk.

17 17 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SINAL DA FUNÇÃO TANGENTE O sinal da função tangente é dado seguindo o esquema abaixo: VARIAÇÃO DA FUNÇÃO TANGENTE Considere x 1 < x 2,então temos no: 1º Quadrante, tg x 1 < tg x 2 crescente 2º Quadrante, tg x 1 < tg x 2 crescente 3º Quadrante, tg x 1 < tg x 2 crescente 4º Quadrante, tg x 1 < tg x 2 crescente

18 18 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS COTANGENTE COSSECANTE SECANTE cotg x = cos x / sen x cossec x = 1 / sen x sec x = 1 / cos x EXEMPLOS: Calcule: a) cossec 45º b) sec 60º c) cotg 45º d) cotg π e) sec 2π f) cossec 5π / 4 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 14 Determine os valores de TODAS as demais razões trigonométricas de um arco x quando: a) sen x = ½, com x no 3º quadrante b) cossec x = 2 e π < x < 3 π / 2

19 19 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS GRÁFICOS COTANGENTE SECANTE COSSECANTE

20 20 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 15 No ciclo trigonométrico abaixo, determine os segmentos que expressam as medidas trigonométricas pedidas: a) sen x b) cos x c) tg x P d) cossec x e) sec x f) cotg x 8 Exercícios do livro: P.272_18 e 24

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