FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÉBIA MARA DE SOUZA

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1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÉBIA MARA DE SOUZA

2 Vamos lembrar um pouco o ciclo trigonométrico? O eixo y é chamado de eixo das ordenadas e também conhecido como seno, a função seno é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa no 3º e 4º quadrantes. O eixo x é chamado eixo da abscissas, também chamado de cosseno, a função cosseno é positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa no 2º e 3º quadrantes.

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4 PROBLEMATIZAÇÃO Em uma região, em determinado dia, a diferença entre os níveis da maré alta e da maré baixa é 1,4 m, e o intervalo de tempo entre duas marés alta consecutivas, (ou entre duas marés baixas consecutivas) é 12 horas. Em um plano vertical, pode-se imaginar uma circunferência acima do nível do mar e uma haste rígida ligando um ponto P da circunferência a um ponto do nível do mar, no prolongamento de Oy, tal que o movimento de sobe e desce da superfície do mar faça com que o ponto P gire sobre a circunferência, conforme mostra a figura.

5 Como você descreveria o movimento das marés nessa região em função do horário t, em hora nesse dia?

6 HISTORICIZAÇÃO De acordo com relatos de historiadores, em tempos muito distantes, anteriores à era cristã, o interesse do homem pelo movimento dos astros deu origem à Trigonometria, e por séculos esse vínculo permaneceu. Em meados do século XVI, François Viète, advogado frânces dedicado à pesquisa matemática, destacou-se por recorrer sistematicamente ao círculo trigonométrico e aplicar a trigonometria na resolução de problemas algébricos, contribuindo, assim com o desenvolvimento da Matemática. Todo esse processo culmina com introdução do conceito de seno, cosseno e tangente como números reais, feita por Leonhard Euler (século XVIII), quando ele passa a considerar o círculo de raio unitário.

7 Leonhard Euler ( ), matemático mais produtivo de todos os tempos. Foi primeiro a tratar seno e cosseno como funções. Devemos a ele a notação f(x) para uma função. A representação das relações trigonométricas no círculo de raio unitário levou os matemáticos a estudarem seu comportamento, esboçando-as graficamente. Assim, foram identificadas funções, sendo Gilles Roberval (matemático francês do século XVIII) o primeiro a esboçar a curva do seno. O estudo das funções trigonométricas teve seu ápice com Joseph Fourier, no século XIX, no campo dos movimentos periódicos.

8 GENERALIZAÇÃO De modo geral as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma: f(x) = a + b. trig (cx d) Em que a, b, c, d são constantes (b 0 e c 0) e trig indica uma das seis funções trigonométricas que serão estudadas (seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente).

9 FUNÇÃO SENO Chamamos de função seno a função f(x) = sen x Vamos conhecer o gráfico dessa função. Para construir o gráfico da função seno x vamos construir uma tabela com valores de x da 1ª volta positiva. O seno, em alguns casos, será usado com valores aproximados

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11 O Gráfico da f(x) = sen x

12 Como a função f(x) = sen x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é IR, a curva pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2π. Assim, o gráfico da função f: IR IR, definida por f(x) = sen x, é a curva chamada senóide. Vamos verificar no GeoGebra...

13 EXEMPLOS Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 + sen x. X sen x y = 2 π/ = 3 Π = 2 3π/ = 1 2π = 2

14 D(f) = IR; Im (f) = [ y IR/ 1 y 3 ]; p = 2π

15 Analisando o que cada parâmetro interfere na função Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x com f(x) = 2 + sen x, veremos que ele sofreu um deslocamento de duas unidades para cima.

16 De modo geral, ao considerarmos a função do tipo f(x) = a + sen x, o gráfico de f(x) = sen x será transladado para cima (a 0) ou para baixo sendo ( a 0 ) em a unidades. EXEMPLO 2: Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 sen x.

17 Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x com f(x) 2. sen x, veremos que ele sofreu uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes. Considerando a função do tipo f(x) = b. sen x, o gráfico de f(x) = sen x será dilatado se b 1, ou comprimido se 0 b 1 um número b de vezes. Caso b 0, o gráfico sofre uma rotação em relação ao eixo x, ficando simétrico ao gráfico com b 0.

18 Exemplo 3: Esboçar o gráfico da função f(x) = sen 2x Queremos que os ângulos sejam 0, π/2, π, 3π/2 e 2π; para isso devemos atribuir a x metade desses valores: segue abaixo a tabela. X sen 2x Y π/4 2. π/4 = π/2 1 π/2 2. π/2 = π 0 3π/4 2. 3π/4 = 3π/2-1 Π 2. π = 2π 0

19 D(fx) = IR; Im (fx) = [ y IR / -1 y 1 ]; p = π

20 Ao comparar o gráfico de f(x) = sen x com o gráfico de f(x) = sen 2x, vemos que ele sofreu uma compressão horizontal de duas unidades, enquanto o período foi alterado para π. Considerando o gráfico do tipo f(x) = sen c. x, concluímos que o gráfico de f(x) = sen x será comprimido horizontalmente em c unidades se c 1, porém sofrerá dilatação horizontal se 0 c 1. Além disso, temos que o período é igual a 2π/ c.

21 FUNÇÃO COSSENO Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x Vamos construir o gráfico da função f(x) = cos x, inicialmente para x [0, 2π] e depois para x IR. Alguns valores de cos x serão aproximados.

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24 Como a função f(x) = cos x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é IR, a curva pode ser estendida para valores menores do que zero e maiores do que 2π. Assim, o gráfico da função f: IR IR definida por f(x) = cos x é a curva chamada cossenóide.

25 EXEMPLOS Esboçar o gráfico da função f(x) = 2cos x. Vamos construir primeiramente a tabela atribuindo valores para x. X Y 0 2 π/2 0 Π -2 3π/2 0 2π 2

26 D(f) = IR; Im (f) = [y IR / -2 y 2]; p = 2π

27 Se compararmos com o gráfico da função f(x) = cos x com f(x) = 2. cos, veremos que ele sofreu uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes.

28 Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função f(x) = cos x. X cos x Y = 5 π/ = 3 Π (-1) = 1 3π/ = 3 2π = 5

29 Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cos x, podemos observar que ele foi deslocado 3 unidades para cima (a = 3) e dilatado verticalmente 2 vezes (b = 2).

30 Período das funções seno e cosseno Obtemos o período da função f(x) = a + b. sen (cx - d) ou da função f(x) = a + b. cos (cx d), em que a, b, c e d são números reais, com b ± 0 e c 0, fazendo a medida (cx - d) assumir todo os valores reais associados a uma volta completa da circunferência trigonométrica. Para isso adotamos a fórmula p= 2π / c.

31 Exemplos: Determinar o período das funções. a)y = 3 sen 2x Resolução P = 2π / 2 = π b) y = 2 + 6cos (-4x) Resolução P = 2π / -4 = 2π / 4 = π/2

32 Papel das constantes a, b, c e d As funções do tipo f(x) = a + b. trig (cx d) têm características que podem ser relacionadas com as funções trigonométricas e seus gráficos padrões, estudados anteriormente. As constantes a e b alteram a imagem da função (valores de y), e as constantes c e d alteram as características relacionadas aos valores de x da seguinte forma: A constante a translada o gráfico padrão em a unidades verticais. Se a 0, então o gráfico sobe a unidades, e, se a 0, então o gráfico desce a unidades.

33 A constante b comprime ou dilata o gráfico verticalmente. Se b 1, então o gráfico dilata, e, se 0 b 1, o gráfico comprime. A constante c altera o período padrão da função trig, ou seja, comprime ou dilata o gráfico padrão na horizontal. Se c 1, f(x) será comprimido horizontalmente em c unidades. Se 0 c 1, f (x) será dilatado horizontalmente em c unidades. A constante d translada o gráfico padrão d/c unidades horizontais. Se d 0, o gráfico translada d/c unidades para a direita, e, se d 0 o gráfico translada d/c unidades para a esquerda.

34 Função Tangente Definimos função tangente como a função real de variáveis reais que associa a cada número real x o valor tg x, desde que x não seja π/2 nem 3π/2 e nenhum de seus respectivos arcos côngruos, isto é: f(x): D IR x f(x) = tg x é a curva chamada tangentóide. Domínio de f(x) = O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cos x = 0 Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = R ou.

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36 REVISANDO AS FUNÇÕES SENO; COSSENO E TANGENTE

37 Exemplo: Sabemos que sen π / 6 = 1 / 2, cos π / 6 = 3 / 2 e tg π / 6 = 3 / 3. Podemos então calcular: Cossec π / 6 = 1 / ½= 2 / 1 = 2 Sec π / 6 = 1 / 3/2 = 2 / 3= 2 3 / 3 Cotg π/6 = 3 / 2 / ½ = 2 3 / 2 = 3 ou cotg π / 6 = 1 / 3 / 3 = 3 / 3 = 3 3 / 3 = 3

38 As Funções Cossecantes, Secantes e Cotangentes A partir das ideias já conhecidas de seno, cosseno e tangente de x, definem-se cossecante, secante e cotangente de x, assim: cossec x = 1/ sen x, para sen x 0 sec x = 1 / cos x, para cos x 0 cotg x = cox / sen x, para sen x 0. Quando sen x 0 e cos x 0, podemos ainda escrever cotg x = 1 / tg x.

39 As Funções Cossecantes Denomina-se função cossecante a função definida por f(x) = cossec x ou f(x) = 1/sen x, para todo x IR tal que sen x 0. Sinal da função: Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.

40 GRÁFICO F(X) = COSSEC X

41 FUNÇÃO SECANTE Denomina-se função secante a função definida por f(x) = sec x ou f(x) = 1/cos x, para todo x IR tal que cos x 0. Sinal da função: Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno.

42 GRÁFICO f(x) = sec x

43 FUNÇÃO COTANGENTE Denomina-se função cotangente a função definida por f(x) = cotg x ou f(x) = cos x / sen x, para todo x IR tal que sen x 0. Sinal da função: Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais da função cotangente é a razão entre o cosseno e o seno.

44 GÁFICO DA f(x) = cotg x

45 Resolução do problema Imaginemos, em um plano vertical, uma circunferência acima do nível do mar e uma haste aguda ligando um ponto P da circunferência a um ponto do nível do mar, no prolongamento do eixo Oy, conforme mostra a figura. O subir e descer da maré, que lembra o movimento de um imenso pistão, provoca um movimento circular do ponto P. Supondo esse movimento com velocidade constante no sentido anti-horário, vamos calcular a medida ά do arco AP, em função do tempo t, em hora, em que t = 0 corresponda a um instante em que P passou pelo ponto A (0.7; 0):

46 Medida do arco (rad) Tempo (h) 2π 12 ά t Logo, ά = πt/6 rad Assim, podemos descrever o movimento da maré nesse dia, em função do tempo t, em hora, (0 t 24): pela ordenada do ponto P; f (t) = 0,7 sen πt/6 rad ou pela abscissa do ponto P: g (t) = 0,7 cos πt/6 rad

47 Notas: 1º O período p da função f (t) = 0,7 sen πt/6 ou da função g (t) = 0,7 cos πt/6 é dado por p = 2π / π/6 = 12. Esse período, no contexto do problema, chamado de período das marés, é o tempo, em hora, transcorrido entre duas marés altas ( ou duas marés baixas) consecutivas.

48 2º O gráfico da função f (t) = 0,7 sen πt/6, para 0 t 24 é:

49 Interpretando esse gráfico no contexto do problema, concluímos, por exemplo: - A zero hora, a maré estava em seu nível médio. - Às 3 h e às 15 h, a maré estava em nível máximo, 0,7 m acima do nível médio. - Às 9 h e às 21 h, a maré estava em seu nível mínimo, 0,7 m abaixo do nível médio.

50 EXERCICIOS a) f(x) = 3. sen x b) f(x) = 1 + cos x

51 TABELA COM OS VALORES DE ALGUNS ÂNGULOS NOTÁVEIS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

52 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto, Matemática completa. 2º ano Ensino Médio.2ª Edição renovada, São Paulo: editora FTD, XAVIER, Cláudio & BARRETO, Benigno. Matemática Aula por Aula. 2º ano Ensino Médio. 2ª Edição renovada, São Paulo: editora FTD, 2005.