Onde: É no triângulo retângulo que vale a máxima Pitagórica: O quadrado da. a b c

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2 Sumário TRIGONOMETRIA... GEOMETRIA ESPACIAL...8 Geometria Plana Fórmulas Básicas...8 Prismas Cilindro Pirâmide... 1 Cone... 4 Esferas... 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...

3 TRIGONOMETRIA Trigonometria no Triângulo Retângulo Onde: a hipotenusa b catetos c É no triângulo retângulo que vale a máxima Pitagórica: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. a b c Relações Métricas no Triângulo Retângulo As relações trigonométricas básicas são aquelas que associam as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As principais são: seno, cosseno e tangente. O ângulo, medido em graus, é indicado pela letra x. Função Notação Fórmula seno sen x Cateto Oposto sen x Hipotenusa

4 cosseno cosx cos x Cateto Adjacente Hipotenusa tangente tanx tan x Cateto Oposto Cateto Adjacente Relação Fundamental sen x cos x 1 Círculo Trigonométrico 4

5 Valor numérico de Sen, Cos, Tan, Cotg, Sec e Cossec 0 0 ou 45 6 ou 60 4 ou 90 ou sen cos tan 0 1 cotg 1 0 sec 1 cossec 1 Sinal das funções trigonométricas 1ºQ ºQ ºQ 4ºQ Quadrantes (+) sen + + cossec cos + + sec 4 tan + + cotg 5

6 Identidades Trigonométricas sen x x cos 1 tan senx x co t g x cosx x cos sen x sec x 1 cos x cossec 1 x sec senx x 1tan x co sec x 1co tg x Seno e Cosseno da soma e da diferença de arcos Soma Diferença cos cos sen x y sen xcosy sen y cos x sen x y sen x y sen y x x y x y sen x sen y cos x y cos xcosy sen x sen y cos cos cos Testes 1. Um papagaio (ou pandorga) é preso a um fio esticado que forma um ângulo de 45 com o solo. O comprimento do fio é de 100m. Determine a altura do papagaio em relação ao solo. A) 10 B) 0 C) 0 D) 40 E) 50 6

7 . Uma escada de m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 0 com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de: A) 0,5 m B) 1 m C) 1,5 m D) 1,7 m E) m.se A) 1 B) 1/4 C) 1/ D) /4 E) y 4cos15º cos75º, então y² vale: 4. Complete as lacunas abaixo: i. cosseno é positivo no e quadrantes. ii. seno é negativo no e quadrantes. iii. tangente é negativa no e quadrantes. iv. secante é positiva no e quadrantes. Gabarito 1.E.A.B 7

8 Perímetro Área Figura GEOMETRIA ESPACIAL Geometria Plana Fórmulas Básicas Triângulo Triângulo Retângulo Triângulo Equilátero Retângulo b h A b h A a A A b h 4 P a b c P a b c P a P a b 8

9 Perímetro Área Figura Quadrado Hexágono Regular Círculo A a A 6a 4 A r P 4a P 6a C r Relação de Euler Em todo poliedro convexo vale a relação: V F A V vertice onde A Aresta F Face Face: é qualquer figura plana que delimita o poliedro. Formada por, no mínimo, arestas. Aresta: é qualquer linha (lado) que determina a face. Vértice: é o ponto de encontro de, pelo menos, arestas. 9

10 Testes 1.Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces..o número de faces de um poliedro convexo de arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?.quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro? Gabarito F = 6, A = 1, V = 8 10

11 Prismas São poliedros convexos que possuem faces iguais, em planos paralelos, denominadas BASES e cujas faces laterais são paralelogramos (para prismas oblíquos) e retângulos (para prismas retos). Exemplos Prisma Oblíquo Prisma Reto Prisma Triangular Regular Área da Base Área Total a Ab 4 A t a ah Área Lateral Al a H Volume a V H 4 11

12 Prisma Quadrangular Regular Área da Base Ab a Área Lateral Al 4a H Área Total A 4aH a t Volume V a H Prisma Hexagonal Regular Área da Base A b a a 6 Ab 4 Área Lateral Al 6a H Área Total A ah a t 6 Volume a V H 1

13 O CUBO Hexaedro Regular Área da Base Ab a Área Lateral Al 4a Área Total At 6a Volume V a Diagonal de Face df a Diagonal do Cubo df a 1

14 Testes 1. Noticiou o Suplemento Agrícola do jornal "O Estado de São Paulo", em 6/9/95, que a Secretaria da Agricultura e Abastecimento determinou que os produtores de tomates enviem a mercadoria ao CEAGESP usando caixas, padronizadas do tipo K, cujas dimensões internas são: 495mm de comprimento, 55mm de altura e 0mm de largura. Cada medida tem uma tolerância, para mais ou menos, de mm. A diferença entre o volume máximo e o volume mínimo de cada caixa (em mm³): A) B) C) D) E) Um bloco maciço de ferro tem a forma de um paralelepípedo retângulo com dimensões de 15cm de comprimento, 7,5cm de largura a 4cm de altura. Quantos gramas tem esse bloco, se a densidade do ferro é 7,8g/cm³? A) 5,1 B) 4 C) 51 D) 40 E)

15 . Na maquete de uma casa, feita na escala 1:500, uma sala tem 8 mm de largura, 10 mm de comprimento e 8 mm de altura. A capacidade, em litros, dessa sala é: A) 640 B) 6400 C) 800 D) 8000 E) A aresta de um tetraedro regular mede cm. A medida do volume desse poliedro, em cm³, é: A) B) 4 C) 8 D) 8 E) 16 15

16 5. Considere um paralelepípedo retangular com lados, e 6 cm. A distância máxima entre dois vértices deste paralelepípedo é: A) 7 cm. B) 8 cm. C) 9 cm. D) 10 cm. E) 11 cm. 6. Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem m e 4m. Se a altura deste prisma é igual à hipotenusa do triângulo da base, então seu volume, em m³, é igual a: A) 60 B) 0 C) 4 D) 1 7. Uma caixa-d'água, com a forma de um paralelepípedo retângulo, tem capacidade para litros. Qual é a capacidade de outra caixa, semelhante à primeira, cujas medidas das arestas são 0% maiores? A) 1.78 litros B) litros C) 1.86 litros D) litros E) litros 16

17 8.A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de comprimento 0m e largura 0m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a altura de: A) m B) m C) 7m D) 8m E) 9m 9. Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em centímetros cúbicos, é: A) 15 B) 100 C) 75 D) 60 E) Uma piscina tem a forma de um prisma reto, cuja base é um retângulo de dimensões 15m e 10m. A quantidade necessária de litros de água para que o nível de água da piscina suba 10 cm é: A) 0,15 L B) 1,5 L C) 150 L D) L E)

18 Gabarito 1. B. E. E 4. A 5. A 6. A 7. A 8. C 9. A 10.E Cilindro Entre todas as definições possíveis para o cilindro, a melhor diz que é um prisma de base circular, assim sendo, temos... Diâmetro D r Área da Base Ab r Área Lateral Al r H Área Total A r H r l Volume V r H Cilindro Equilátero H r 18

19 Testes 1.Sabendo-se que uma lata de azeite cilíndrica tem 8cm de diâmetro e 18,5cm de altura e ainda que nela vem marcado o conteúdo 900ml, o volume de ar contido na lata "cheia" e "fechada" é: (Adote =,14) A) 9,44 ml B) 10,0 ml C) 15,60 ml D) 1,7 ml E) 5,50 ml.um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 0m². Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6m e raio da base m. O nível da água nele contida está a da altura do tanque. Se =,14, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é: A) B) C) 5650 D) 7680 E)

20 4.Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado recipiente cilíndrico será transferido para outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro vezes maior que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo recipiente? A) 1,5 cm B) cm C),5 cm D) 4,5 cm E) 5 cm Gabarito 1. A. B. A 4. C 0

21 Pirâmide São poliedros convexos cujas faces laterais são triangulares. Exemplos Pirâmide Reta Pirâmide Oblíqua Pirâmide Triangular Regular Área da Base a Ab 4 Área Lateral A l a AP Área Total A t a AP a Volume a H V 4 1

22 Onde AP é o apótema da Pirâmide Pirâmide Quadrangular Regular Área da Base Ab a Área Lateral Al a AP Área Total A a AP a t Volume V a H Pirâmide Hexagonal Regular Área da Base A b a a 6 Ab 4 Área Lateral Al a AP Área Total A t a AP a Volume a V H

23 O TETRAEDRO REGULAR Área da Base a Ab 4 Área Lateral a Al 4 Área Total At a Volume a V 1 Testes 1. São dados dois planos paralelos distantes de 5cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 0cm² e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é: A) 10cm³ B) 0cm³ C) 0cm³ D) 40cm³ E) 50cm³

24 . Considere um tetraedro retangular e um plano que o intercepta. A única alternativa correta é: A) a intersecção pode ser um quadrilátero B) a interseção é sempre um triângulo C) a interseção é sempre um triângulo equilátero D) a intersecção nunca é um triângulo equilátero E) a intersecção nunca é um quadrilátero Gabarito 1.E.A Cone De forma semelhante ao cilindro, podemos dizer que o cone é uma pirâmide de base circular. Diâmetro D r Área Total A r g r l Área da Base Ab r Volume r V H Área Lateral Al r g Cone Equilátero g r 4

25 Testes 5

26 1.A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é A)64 B)48 C) D)16 E)8.Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 0cm. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? A) 10 cm B) 10 cm C) 0 cm D) 0 cm E) 10cm.Um cone circular reto tem altura de 8cm e raio da base medindo 6cm. Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral? A) 0 6

27 B) 0 C) 40 D) 50 E) 60 Gabarito 1.A.A.E Esferas Diâmetro D r Superfície Esférica Sup 4 r Volume 4 V r 7

28 Testes igual a: 1.Uma esfera de raio R está inscrita em um cilindro. O volume do cilindro é A) B) r r C) r D) E) r r.uma superfície esférica de raio 1cm é cortada por um plano situado a uma distância de 1cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio desta circunferência, em cm é: A) 1 B) C) D) 4 E) 5 8

29 .A razão entre a área lateral do cilindro equilátero e da superfície esférica, da esfera nele inscrita, é: A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 4 E) 4.Uma esfera de raio r = cm tem volume equivalente ao de um cilindro circular reto de altura h = 1 cm. O raio do cilindro, em cm, mede: A) 1 B) C) D) E) 1 5. Qual o diâmetro, em cm, de uma esfera cujo do raio vale 8cm? A) 4 B) 8 C) 1 D) 16 E) 0 9

30 6.Numa esfera de diâmetro 0 cm, a metade do raio vale? A) 5 cm B) 10 cm C) 15 cm D) 0 cm 7.A superfície de uma esfera vale 16 m². O diâmetro dessa esfera, em m, vale? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 8.Numa esfera de raio igual 4 cm, o volume, em cm³, vale? igual a? 9. Uma esfera que possui raio de 05 cm possui uma superfície esférica 10.Qual o volume de uma esfera cujo diâmetro vale 6cm? 0

31 Gabarito: 1. E. E. A 4. C 5. D 6. A 7. B 8. V = 56 cm 9. S = 100 π cm 10. V = 6 π cm Sugestão de sites para consulta: 1.www.alunosonline.com.br.www.somatematica.com.br.www.matematicadidatica.com.br 1

32 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS YOUSSEF, A. N.; SOARES, E. & FERNANDEZ, V. P. Matemática: de olho no mundo do trabalho. Volume único. São Paulo: Editora Scipione, 004. MACHADO, A. DOS S. Matemática Machado. Volume único. São Paulo. Editora Atual, 009. DEGENSZAJN, D; DOLCE, O; IEZZI, O. & PÉRIGO, R. Matemática Volume único. São Paulo: Editora Atual, 5ªed., 011.

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