CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico)"

Transcrição

1 1 INTRODUÇÃO CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico) ARCOS: Dados dois pontos A e B de uma circunferência, definimos Arco AB a qualquer uma das partes desta circunferência compreendida entre A e B. Se os pontos A e B coincidem, então uma das partes é um arco nulo (AB = 0 ) e a outra é um arco de uma volta (AB = 360 ) A C B C A B Medida de Arcos: A medida de uma grandeza é sempre um número real x que exprime a relação que existe entre essa grandeza e uma grandeza unitária da mesma espécie. As unidades usuais de medida de arcos são: i) Grau ( ): é um arco de uma circunferência que equivale a circunferência. 1 / 360 dessa mesma ii) Grado (gd): é um arco de uma circunferência que equivale a circunferência. 1 / 400 dessa mesma iii) Radiano (rd): é um arco de uma circunferência que equivale, retificado, ao raio dessa mesma circunferência. ÂNGULOS: Duas retas AB e CD, de um plano, que se interceptam no ponto O, dividem este plano em 4 (quatro) regiões. Cada uma destas regiões é definida como Ângulo. A D O C B Medida de Ângulos: Do mesmo modo que os arcos, os ângulos são medidos em Graus, Grados e Radianos, considerando que cada ângulo corresponde à medida do arco relativo a este, determinado pela circunferência de centro O (vértice deste ângulo).

2 2 As medidas aqui utilizadas serão Grau ( ) e Radiano (rd) Assim valem as relações: Graus ( ) Radianos (rd) /6 45 /4 60 /3 90 /2 120 / / / /6 Circunferência e Arco orientado: A partir de qualquer um de seus pontos, os demais pontos da circunferência se sucedem em dois sentidos, horário e anti-horário. Convencionaremos que o sentido anti-horário como positivo e o sentido horário como negativo. Desta forma a medida algébrica de um arco de circunferência será positiva ou negativa conforma a orientação deste arco, no sentido anti-horário ou horário, respectivamente. Redução à rimeira Volta: Observamos que após cada volta, as medidas dos ângulos se repetirão, assim sendo a medida de um ângulo x será dada pela relação x = 2k + ϕ sendo k um número Inteiro ( Ζ), correspondente ao número de voltas no sentido anti-horário ou horário e ϕ o ângulo correspondente antes de completar a primeira volta. Desta forma dado um arco AB cuja medida seja, por exemplo, µ, devemos procurar decompor esse número na forma µ = 2k + ϕ, com 0 ϕ < ; a medida de ϕ dará sua representação na primeira volta. Exemplificando: i) Um ângulo µ de 17, corresponderá ao ângulo ϕ=, pois sendo µ = 2k + ϕ, teremos µ = 17 = 16+. ii) iii) Um ângulo µ de 37 / 2, corresponderá ao ângulo ϕ = / 2, pois sendo µ = 2k + ϕ, teremos µ = 37 / 2 = 36 / 2 + / 2. Um ângulo µ de 3720, corresponderá ao ângulo ϕ= 120, pois sendo µ = 2k + ϕ, e lembrando que = 360, teremos µ = 3720 = / / / / / /

3 3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Círculo (ou Circunferência) Trigonométrico (a): Vamos considerar um Sistema Cartesiano Ortogonal de origem O e uma circunferência de centro O e raio unitário (r = 1). Nestas condições o conjunto assim definido recebe o nome de Círculo (ou circunferência) Trigonométrico (a), e os seus arcos, arcos trigonométricos. O = A, ao lado representado, é um arco trigonométrico. Como conseqüência teremos: a) Todo arco trigonométrico pertence a uma Circunferência Orientada, cujo raio é Unitário (=1). b) Os arcos côngruos ao AB de uma circunferência Trigonométrica medem x= 2k +ϕ, k Ζ, onde ϕ é a rimeira determinação positiva de AB e x varia nos 1 x reais ( < x < + ). O ϕ A x c) A circunferência orientada cujo raio é unitário será Definida como Circulo (ou circunferência) Trigonométrico(a) Conceitos de Seno e Cosseno de um Arco: Consideremos no Círculo Trigonométrico um =(A) com origem no ponto A e extremidade no ponto, tal como na figura ao lado, definimos a Abscissa do ponto (extremidade do arco), como sendo o valor do Cosseno deste arco e a Ordenada deste mesmo onto +1 como sendo o valor do Seno deste arco. Os valores relativos ao Seno e Cosseno de um arco dependem da posição que o ponto ocupa no círculo. Assim: sen x No primeiro Quadrante o Seno e Cosseno são maiores A que zero (>0). +1 No segundo Quadrante o Seno é >0 e o Cosseno < 0. cos x No terceiro Quadrante o Seno e o Cosseno são menores que zero (<0). No quarto Quadrante o Seno é <0 e o Cosseno > 0. Quando a extremidade do arco ocupar as posições Dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema Cartesiano, os valores de Seno e Cosseno serão iguais +1 ou, conforme o caso.

4 4 FUNÇÃO SENO: Considerando um, a função em IR, definida pela lei de composição que a cada faz corresponder o número real = sen x, é denominada Função Seno. Y Lembrando que o raio do Círculo Trigonométrico é igual a 1, a variação do seno de x será sen x +1, isto é a Imagem da função Seno será: +1 Im (sen x)=[,1]. A variação da função Seno, pode ser vista na tabela: sen x ϕ x 0 /2 3 /2 O A x Sen x O Gráfico da Função Seno será: 0 /2 3 /2 Observamos que a função Seno é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função se repetem a cada radianos (360 ). Este período é composto por 4 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de /2 radianos (90 ). +1 Y sen x ϕ 1 O A +1 x sen x ϕ arco x Observando a figura ao lado, concluímos que: sen x = sen ( x) ou sen ( x) = sen x. Sendo assim, Seno é uma Função Ímpar. 1

5 5 FUNÇÃO COSSENO: Considerando um, a função em IR, definida pela lei de composição que a cada faz corresponder o número real = cos x, é denominada Função Cosseno. Y Lembrando que o raio do Círculo Trigonométrico é igual a 1, a variação do cosseno de x será 1 cos x +1, isto é a Imagem da função Cosseno será: +1 Im (cos x)=[,1]. A variação da função Cosseno, pode ser vista na tabela: 1 ϕ +1 x 0 /2 3 /2 O A x cos x cos x +1 O Gráfico da Função Cosseno será: 0 /2 3 /2 Observamos que a função Cosseno é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função se repetem a cada radianos (360 ). Este período é composto por 4 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de /2 radianos (90 ). +1 Y ϕ 1 O A +1 x ϕ arco x Observando a figura ao lado, concluímos que: cos x = cos ( x). Sendo assim, Seno é uma Função ar. 1 cos x = cos ( x)

6 6 FUNÇÃO TANGENTE: B tg x 1 O ϕ A x O = A, ao lado representado, é um arco trigonométrico. Definimos Tangente do, ao número real relativo ao comprimento do segmento AB, sobre a reta tangente no Círculo Trigonométrico no ponto A. Sendo B o ponto de intersecção desta reta com a reta que contem o raio O. Conceitos do valor da Tangente de um Arco: Os valores relativos a Tangente de um arco dependem da posição que o ponto ocupa no círculo. Assim: No 1 Quadrante o valor da tangente é positivo (>0). No 2 Quadrante o valor da tangente é negativo (<0). +1 No 3 Quadrante o valor da tangente é positivo (>0). No 4 Quadrante o valor da tangente é negativo (<0). tg x Quando a extremidade do arco ocupar as posições dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema O A Cartesiano, os valores da Tangente do arco não estão +1 definidas, pois a intersecção que define o ponto B não tg x existe. Neste caso, considerando que na vizinhança destes ontos, a intersecção é tal que torna o valor muito alto assumimos que os valores da Tangente tendem ao Infinito. Assim: x 0 /2 tg x Concluímos então: i. O conjunto Imagem da função tangente é todo o campo dos Reais, isto é Im (tg x) =IR); ii. A função tangente é sempre crescente, nos intervalos em que é definida; iii. A função tg x não assume valores em / 2 e 3 / 2, ou de modo geral em / 2 + k, onde k Ζ. iv. O domínio da Tangente é: D(tg)= {x IR, tal que x / 2 + k, onde k Ζ}. v. A variação da Tangente de x será < tg x < +. 3 /2

7 7 O Gráfico da Função Tangente será: Y /2 3 /2 Observamos que a função Tangente é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função se repetem a cada radianos (180 ). Este período é composto por 2 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de /2 radianos (90 ). Observando a figura ao lado, concluímos que: tg x = tg ( x) ou tg ( x) = tg x. tg x O A x arco x tg x :

8 8 FUNÇÃO COTANGENTE: O = A, ao lado representado, é um arco trigonométrico. cotg x Definimos Cotangente do, ao número real C D relativo ao comprimento do segmento CD, sobre a reta B tangente no Círculo Trigonométrico no ponto C. Sendo D o ponto de intersecção desta reta com a reta que tg x contem o raio O. 1 O ϕ A x Conceitos do valor da Cotangente de um Arco: Os valores relativos a Cotangente de um arco dependem da posição que o ponto ocupa no círculo. Assim: No 1 Quadrante o valor da cotangente é positivo (>0). cotg x cotg x No 2 Quadrante o valor da cotangente é negativo (<0). + 1 No 3 Quadrante o valor da cotangente é positivo (>0). No 4 Quadrante o valor da cotangente é negativo (<0). Quando a extremidade do arco ocupar as posições dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema O A Cartesiano, os valores da Cotangente do arco não estão +1 definidas, pois a intersecção que define o ponto D não existe. Neste caso, considerando que na vizinhança destes ontos, a intersecção é tal que torna o valor muito alto assumimos que os valores da Cotangente tendem ao Infinito. Assim: x 0 /2 cotg x Concluímos então: i. O conjunto Imagem da função Cotangente é todo o campo dos Reais, isto é Im (cotg x) =IR; ii. A função Cotangente é sempre decrescente, nos intervalos em que é definida; iii. A função cotg x não assume valores em 0 e, ou de modo geral em k, onde k Ζ. iv. O domínio da Cotangente é: D(cotg)= {x IR, tal que x k, onde k Ζ}. v. A variação da Cotangente de x será < tg x < +. 3 /2

9 9 O Gráfico da Função Cotangente será: Y /2 3 /2 Observamos que a função Cotangente é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função se repetem a cada radianos (180 ). Este período é composto por 2 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de /2 radianos (90 ). Observando a figura ao lado, concluímos que: cotg x cotg x cotg x = cotg ( x) ou cotg ( x) = cotg x. O A x arco x

10 10 FUNÇÃO SECANTE: O = A, ao lado representado, é um arco trigonométrico. Definimos Secante do, ao número real relativo ao comprimento do segmento OB, sobre o eixo das abscissas. Sendo B o ponto de intersecção deste eixo com a reta tangente ao Círculo Trigonométrico no ponto extremidade do. 1 Observar que a origem do é o ponto A. O ϕ A B x sec x Conceitos do valor da Secante de um Arco: Os valores relativos a Secante de um arco dependem da posição que o ponto ocupa no círculo. Assim: No 1 Quadrante o valor da secante é positivo (>0). No 2 Quadrante o valor da secante é negativo (<0). C +1 No 3 Quadrante o valor da secante é negativo (<0). No 4 Quadrante o valor da secante é positivo (>0). Quando a extremidade do arco ocupar as posições dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema D O A Cartesiano, os valores da Secante do arco serão: sec ±x sec ±x +1 No ponto A igual a +1, no ponto D igual a 1. Nos pontos C e E os valores da Secante não são definidos, pois a intersecção que define o ponto B não existe. Neste caso, considerando que na vizinhança E destes ontos, a intersecção é tal que torna o valor muito alto assumimos que os valores da Secante tendem ao Infinito. Assim: x 0 /2 sec x Concluímos então: i. O conjunto Imagem da função secante é todo o campo dos Reais, isto é Im (sec x) =IR; ii. A função secante pode ser crescente ou decrescente, nos intervalos em que é definida; iii. A função sec x não assume valores em / 2 e 3 / 2, de modo geral em / 2 + k, onde k Ζ. iv. O domínio da Secante é: D(sec)= {x IR, tal que x / 2 + k, onde k Ζ}. v. sec x = sec ( x) ou sec x = sec ± x vi. A variação da Secante de x será > sec x > /2

11 11 O Gráfico da Função Secante será: Y /2 3 /2 1 1 Observamos que a função Secante é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função se repetem a cada radianos (360 ). Este período é composto por 4 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de /2 radianos (90 ). FUNÇÃO COSSECANTE: O = A, ao lado representado, é um arco B trigonométrico. Definimos Cossecante do, ao número real C relativo ao comprimento do segmento OB, sobre o eixo das ordenadas. Sendo B o ponto de intersecção deste cossec x eixo com a reta tangente ao Círculo Trigonométrico no ponto extremidade do. 1 Observar que a origem do é o ponto A. O ϕ A x

12 12 Conceitos do valor da Cossecante de um Arco: Os valores relativos a Cossecante de um arco dependem da posição que o ponto ocupa no círculo. Assim: No 1 Quadrante o valor da cossecante é positivo (>0). No 2 Quadrante o valor da cossecante é positivo (>0). C +1 No 3 Quadrante o valor da cossecante é negativo (<0). cossec +x No 4 Quadrante o valor da cossecante negativo (<0). Quando a extremidade do arco ocupar as posições dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema D O A Cartesiano, os valores da cossecante do arco serão: +1 No ponto C igual a +1, no ponto E igual a 1. cossec x Nos pontos A e D os valores da cossecante não são definidos, pois a intersecção que define o ponto B não existe. Neste caso, considerando que na vizinhança E destes ontos, a intersecção é tal que torna o valor muito alto assumimos que os valores da Cossecante tendem ao Infinito. Assim: Concluímos então: i. O conjunto Imagem da função cossecante é todo o campo dos Reais, isto é Im (cossec x) =IR; ii. A função cossecante pode ser crescente ou decrescente, nos intervalos em que é definida; iii. A função cossec x não assume valores em 0 e, ou de modo geral em k, onde k Ζ. iv. O domínio da Cossecante é: D(cossec)= {x IR, tal que x k, onde k Ζ}. v. cossec x = cossec ( x) ou cossec ( x) = cossec x vi. A variação da Cossecante de x será > cossec x > +1. O Gráfico da Função Cossecante será: + + Observamos que a função Cossecante é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função, se repetem a cada radianos (360 ). Este período é composto por passos de variação de função, cada um deles de / 2 radianos (90 ). 0 /2 3 /2 3 /2 x 0 /2 cossec x

13 13 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Consideremos o Triângulo ABC reto em A. Indicamos os valores de comprimento dos lados por BC = a ; AC = b ; AB = c e A = h. (altura relativa ao lado BC) C Relações Métricas nos Triângulos Retângulos m γ a = m+n ; a b b 2 = a m ; c 2 = a n ; a 2 = b 2 + c 2 ; h n α β A c B h 2 = m n Definiremos as seguintes relações: I. Seno de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida do cateto oposto a este ângulo e a medida da Hipotenusa. Assim: sen β = b / a e sen γ = c / a II. Cosseno de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida do cateto adjacente a este ângulo e a medida da Hipotenusa. Assim: cos β = c / a e cos γ = b / a III. Tangente de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre as medidas do cateto oposto e adjacente a este ângulo. Assim: tg β = b / c e tg γ = c / b IV. Cotangente de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre as medidas do cateto adjacente e oposto a este ângulo. Assim: cotg β = c / b e cotg γ = b / c V. Secante de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida da Hipotenusa e a medida do cateto oposto a este ângulo. Assim: sec β = a / c e sec γ = a / b VI. Cossecante de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida do cateto adjacente a este ângulo e a medida da Hipotenusa. Assim: cossec β = a / b e cossec γ = a / c

14 14 Observamos que: i) As relações de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, são razões entre grandezas de mesma espécie. Assim sendo resultam em um número puro. ii) Em um triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento. iii) Em um triângulo retângulo a tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso da tangente de seu complemento. iv) A tangente de um ângulo é igual à razão entre os valores de seno e cosseno. v) A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente deste ângulo e vice-versa. vi) A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente deste ângulo e vice-versa. vii) A cotangente de um ângulo é igual à razão entre os valores de cosseno e seno. viii) A Secante de um ângulo é o inverso dd cosseno deste ângulo e vice-versa. ix) A Cossecante de um ângulo é o inverso do seno deste ângulo e vice-versa. Tabela de alguns valores de relações Trigonométricas 0 ou 0 rd 30 ou / 6 rd 45 ou / 4 rd 60 ou / 3 rd 90 ou / 2 rd Seno 0 ½ 2 / 2 3 / 2 1 Cosseno 1 3 / 2 2 / 2 ½ 0 Tangente 0 3 / Cotangente / 3 0 Secante / Cossecante / 3 1

15 15 TRIÂNGULOS QUAISQUER Consideremos um Triângulo ABC qualquer. Indicamos os valores de comprimento dos lados por BC = a ; AC = b ; AB = c. A c α b B β a γ C r Definiremos as seguintes relações: a b c I. Lei dos Senos: = = senα sen β sen γ Observamos que em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a este lado, é constante e vale igual a 2r, em que r é a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. II. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cosα Lei dos Cossenos: b 2 = a 2 + c 2 2 a c cosβ c 2 = a 2 + b 2 2 a b cosγ Observamos que em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto destes dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Centro Universitário da FSA FAFIL rof.: Anastassios H.K.

10. OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

10. OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 0. OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Consideremos um triângulo retângulo ABC e seja t um dos seus ângulos agudos. Figura Relembremos que, sendo 0 < t < π/, temos tg t = b c (= cateto oposto cateto adjacente)

Leia mais

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 5: Trigonometria. Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto)

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 5: Trigonometria. Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto) 1 Acadêmico(a) Turma: 5.1. Triangulo Retângulo Capítulo 5: Trigonometria Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto) Figura 1: Ângulos e catetos de um triangulo retângulo. Os catetos

Leia mais

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica Teorema de Pitágoras Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma

Leia mais

1. Trigonometria no triângulo retângulo

1. Trigonometria no triângulo retângulo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Trigonometria I Prof.: Rogério

Leia mais

MAT111 - Cálculo I - IF TRIGONOMETRIA. As Funçoes trigonométricas no triângulo retângulo

MAT111 - Cálculo I - IF TRIGONOMETRIA. As Funçoes trigonométricas no triângulo retângulo MAT111 - Cálculo I - IF - 010 TRIGONOMETRIA As Funçoes trigonométricas no triângulo retângulo Analisando a figura a seguir, temos que os triângulos retângulos OA 1 B 1 e OA B, são semelhantes, pois possuem

Leia mais

Plano de Ensino. Dados de Identificação. Clarice Fonseca Vivian

Plano de Ensino. Dados de Identificação. Clarice Fonseca Vivian CAMPUS CAÇAPAVA DO SUL CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIAS EXATAS PIBID MATEMÁTICA Plano de Ensino Escola Disciplina Bolsista Dados de Identificação Matemática Clarice Fonseca Vivian Conteúdos Funções trigonométricas:

Leia mais

a a a a a a c c c Trigonometria I Trigonometria I E dessa semelhança podemos deduzir que:

a a a a a a c c c Trigonometria I Trigonometria I E dessa semelhança podemos deduzir que: UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Trigonometria no triângulo

Leia mais

Trigonometria. Trigonometria no Triângulo Retângulo. Pré-Cálculo. Trigonometria. Humberto José Bortolossi. Parte 7. trigonometria

Trigonometria. Trigonometria no Triângulo Retângulo. Pré-Cálculo. Trigonometria. Humberto José Bortolossi. Parte 7. trigonometria Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Trigonometria Parte 7 Parte 7 Pré-Cálculo 1 Parte 7 Pré-Cálculo 2 Trigonometria trigonometria Trigonometria

Leia mais

Trigonometria. Trigonometria no Triângulo Retângulo. Pré-Cálculo. Trigonometria. Humberto José Bortolossi. Parte 6. trigonometria

Trigonometria. Trigonometria no Triângulo Retângulo. Pré-Cálculo. Trigonometria. Humberto José Bortolossi. Parte 6. trigonometria Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Trigonometria Parte 6 Parte 6 Pré-Cálculo 1 Parte 6 Pré-Cálculo 2 Trigonometria trigonometria Trigonometria

Leia mais

Apostila de Matemática 06 Trigonometria

Apostila de Matemática 06 Trigonometria Apostila de Matemática 06 Trigonometria.0 Triângulo Retângulo. Introdução Quanto mais o ângulo ou o índice, mais íngreme o triângulo retângulo é. ÍNDICE Altura Afastamento Área do Triângulo Retângulo:

Leia mais

1. As funções tangente e secante As expressões para as funções tangente e secante são

1. As funções tangente e secante As expressões para as funções tangente e secante são CÁLCULO L1 NOTAS DA SETA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula definiremos as demais funções trigonométricas, que são obtidas a partir das funções seno e cosseno, e determinaremos

Leia mais

MATEMÁTICA CADERNO 3 CURSO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 11 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0

MATEMÁTICA CADERNO 3 CURSO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 11 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0 MATEMÁTICA CADERNO CURSO E ) I) + 0 II) 7 + + 0 FRENTE Álgebra n Módulo Módulo de um Número Real ) 6 + < não tem solução, pois a 0, a ) A igualdade +, com + 0, é verificada para: ọ ) + 0 ou ọ ) + + + +

Leia mais

CICLO TRIGONOMÉTRICO

CICLO TRIGONOMÉTRICO TRIGONOMETRIA CICLO TRIGONOMÉTRICO DEFINIÇÃO O Círculo Trigonométrico ou ciclo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização das proporções entre os lados dos triângulos retângulos.

Leia mais

Funções Trigonométricas8

Funções Trigonométricas8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 8 137 TÓPICO Gil da Costa Marques 8.1 Trigonometria nos Primórdios 8. Relações Trigonométricas num Triângulo Retângulo 8..1 Propriedades dos

Leia mais

Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas

Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em

Leia mais

Fig.6.1: Representação de um ângulo α.

Fig.6.1: Representação de um ângulo α. 6. Trigonometria 6.1. Conceitos Iniciais A palavra trigonometria vem do grego [trigōnon = "triângulo", metron "medida"], ou seja, está relacionada com as medidas de um triângulo, sendo estas medidas de

Leia mais

Trigonometria I. Mais Linhas Trigonométricas. 2 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Trigonometria I. Mais Linhas Trigonométricas. 2 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Trigonometria I Mais Linhas Trigonométricas ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Trigonometria I Mais Linhas Trigonométricas 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Quais são os quadrantes

Leia mais

Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas

Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em

Leia mais

Esta é só uma amostra do livro do Prof César Ribeiro.

Esta é só uma amostra do livro do Prof César Ribeiro. Esta é só uma amostra do livro do Prof César Ribeiro Para adquirir este (e outros livros do autor) vá ao site: http://wwwescolademestrescom/dicasemacetes Conheça também nosso Blog: http://blogescolademestrescom

Leia mais

Ciclo trigonométrico

Ciclo trigonométrico COLÉGIO PEDRO II CAMPUS REALENGO II 1ª SÉRIE MATEMÁTICA II Ciclo trigonométrico Ciclo trigonométrico Chamamos de ciclo ou circunferência trigonométrica uma circunferência de raio unitário orientada. Na

Leia mais

6. EXTENSÕES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

6. EXTENSÕES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 6. EXTENSÕES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Vamos agora estender a noção de seno, cosseno e tangente, já conhecidas no triângulo retângulo, e portanto, para ângulos agudos, para ângulos e arcos quaisquer.

Leia mais

8-Funções trigonométricas

8-Funções trigonométricas 8-Funções trigonométricas Laura Goulart UESB 25 de Março de 2019 Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 1 / 45 Vale mais ter um bom nome do que muitas riquezas; e o ser estimado

Leia mais

Medir um arco ou ângulo é compará-lo com outro, unitário.

Medir um arco ou ângulo é compará-lo com outro, unitário. Trigonometria A palavra trigonometria vem do grego (tri+gonos+metron, que significa três+ângulos+medida) e nos remete ao estudo das medidas dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos. Historicamente,

Leia mais

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS Aula 8 Funções Trigonométricas Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre GABARITO: 1) 20 m TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a

Leia mais

unções Trigonométricas? ...

unções Trigonométricas? ... III TRIGONOMETRIA Por que aprender Funçõe unções Trigonométricas?... É importante saber sobre Funções Trigonométricas, pois estes conhecimentos vão além da matemática. Você encontra a utilidade das funções

Leia mais

Relembrando: Ângulos, Triângulos e Trigonometria...

Relembrando: Ângulos, Triângulos e Trigonometria... Relembrando: Ângulos, Triângulos e Trigonometria... Este texto é apenas um resumo. Procure estudar esses assuntos em um livro apropriado. Ângulo é a região de um plano delimitada pelo encontro de duas

Leia mais

Aviso. Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina.

Aviso. Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 9 - Seção 9.3 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais,

Leia mais

Matemática Ensino Médio Anotações de aula Trigonometira

Matemática Ensino Médio Anotações de aula Trigonometira Matemática Ensino Médio Anotações de aula Trigonometira Prof. José Carlos Ferreira da Silva 2016 1 ÍNDICE Trigonometria Introdução... 04 Ângulos na circunferência...04 Relações trigonométricas no triângulo

Leia mais

SEGUNDO ANO - PARTE UM

SEGUNDO ANO - PARTE UM MATEMÁTICA SEGUNDO ANO - PARTE UM NOME COMPLETO: Nº TURMA: TURNO: ANO: 1 Revisão pitágoras: Teorema de Pitágoras (hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2. (a) 2 = (b) 2 + (c) 2. Exemplos: 1. Encontre o

Leia mais

Do estudo dos triângulos e em especial do triângulo retângulo, temos as propriedades:

Do estudo dos triângulos e em especial do triângulo retângulo, temos as propriedades: Trigonometria Trigonometria Introdução A trigonometria é um importante ramo da Matemática. Derivada da Geometria (o termo trigonometria significa medida dos triângulos) é uma importante ferramenta para

Leia mais

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 TRIGONOMETRIA

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 TRIGONOMETRIA E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 TRIGONOMETRIA 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 6 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO -------------------------------------------- 3 6. Trigonometria---------------------------------------------4

Leia mais

Proposta de correcção

Proposta de correcção Ficha de Trabalho Matemática A - ºano Temas: Trigonometria (Triângulo rectângulo e círculo trigonométrico) Proposta de correcção. Relembrar que um radiano é, em qualquer circunferência, a amplitude do

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Trigonometria 1. Danielly Guabiraba- Engenharia Civil

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Trigonometria 1. Danielly Guabiraba- Engenharia Civil CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 018.1 Trigonometria 1 Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Definição A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triangulo e Metrein = Mensuração

Leia mais

4 Trigonometria no círculo trigonométrico

4 Trigonometria no círculo trigonométrico 37 4 Trigonometria no círculo trigonométrico Com o surgimento do cálculo infinitesimal e posteriormente da análise matemática as noções básicas da trigonometria ganharam uma nova dimensão. Passaremos a

Leia mais

Relações Trigonométricas nos Triângulos

Relações Trigonométricas nos Triângulos Relações Trigonométricas nos Triângulos Introdução - Triângulos Um triângulo é uma figura geométric a plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 05

MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 05 UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 05 Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org

Leia mais

PROFORM Programa de Formação Diferenciada Curso Introdutório de Matemática para Engenharia CIME

PROFORM Programa de Formação Diferenciada Curso Introdutório de Matemática para Engenharia CIME PROFORM Programa de Formação Diferenciada Curso Introdutório de Matemática para Engenharia CIME 2012.2 Parte II Kerolaynh Santos e Tássio Magassy Engenharia Civil Identidades Trigonométricas Definição:

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Trigonometria. Iris Lima - Engenharia da produção

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Trigonometria. Iris Lima - Engenharia da produção CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 018. Trigonometria Iris Lima - Engenharia da produção Definição Relação entre ângulos e distâncias; Origem na resolução de problemas práticos relacionados

Leia mais

Circunferência. É o conjunto de pontos de um plano eqüidistantes de um ponto do plano chamado centro, e essa distância chama-se raio.

Circunferência. É o conjunto de pontos de um plano eqüidistantes de um ponto do plano chamado centro, e essa distância chama-se raio. Trigonometria Matemática, 1º Ano, Função: conceito Circunferência É o conjunto de pontos de um plano eqüidistantes de um ponto do plano chamado centro, e essa distância chama-se raio. Matemática, 1º Ano,

Leia mais

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 13 de Março de 2014

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 13 de Março de 2014 Funções - Aula 07 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 13 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica Funções Inversas Definição

Leia mais

Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos

Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos Trigonometria I Solução. : (a A cada um minuto completado, o ponteiro dos segundos percorre uma volta completa de π radianos. Isso se o ponteiro dos segundos

Leia mais

Trigonometria III. Funções Secante e Cossecante. 2 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Trigonometria III. Funções Secante e Cossecante. 2 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Trigonometria III Funções Secante e Cossecante ano EM Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Trigonometria III Funções Secante e Cossecante Exercícios Introdutórios Exercício a o quadrante b o quadrante

Leia mais

Taxas Trigonométricas

Taxas Trigonométricas Taas Trigonométricas Obs.: Com é mais difícil (confere a resolução). 1) A intensidade da componente F é p% da intensidade da força F. Então, p vale (a) sen(α) (b) 1sen(α) (c) cos(α) (d) 1cos(α) (e) cos(α)/1

Leia mais

LISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL 2º ANO 1º TRIMESTRE

LISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL 2º ANO 1º TRIMESTRE ÁLGEBRA LISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL º ANO 1º TRIMESTRE 1) O pêndulo de um relógio tem comprimento 0 cm e faz o movimento ilustrado na figura. Qual a medida do arco AB? A) 10 cm 0 cm 0π cm 0 D) cm E)

Leia mais

Módulo de Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas. Redução ao Primeiro Quadrante. 7 ano E.F. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

Módulo de Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas. Redução ao Primeiro Quadrante. 7 ano E.F. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Módulo de Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas Redução ao Primeiro Quadrante 7 ano E.F. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas

Leia mais

Círculo Trigonométrico centro na origem raio 1 Ângulo central Unidades de medidas de ângulos; grau Grau: Grado: Radiano:

Círculo Trigonométrico centro na origem raio 1 Ângulo central Unidades de medidas de ângulos; grau Grau: Grado: Radiano: Círculo Trigonométrico A circunferência trigonométrica é de extrema importância para o nosso estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos. Trata-se de uma circunferência

Leia mais

Trigonometria I. Círculo Trigonométrico. 2 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Trigonometria I. Círculo Trigonométrico. 2 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Trigonometria I Círculo Trigonométrico ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Trigonometria I Círculo Trigonométrico b) 6 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Qual dos arcos abaixo é côngruo

Leia mais

Olá! Brunna e Fernanda. Matemática. Somos do PET Engenharia Ambiental

Olá! Brunna e Fernanda. Matemática. Somos do PET Engenharia Ambiental Trigonometria Olá! Brunna e Fernanda Somos do PET Engenharia Ambiental Matemática Vamos pensar + Considere cinco circunferências concêntricas de raios diferentes e um mesmo ângulo central subtendendo arcos

Leia mais

Autores: Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré Adaptado pelo Prof. Ardemirio de Barros

Autores: Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré Adaptado pelo Prof. Ardemirio de Barros Autores: Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré Adaptado pelo Prof. Ardemirio de Barros Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro

Leia mais

1. Arcos de mais de uma volta. Vamos generalizar o conceito de arco, admitindo que este possa dar mais de uma volta completa na circunferência.

1. Arcos de mais de uma volta. Vamos generalizar o conceito de arco, admitindo que este possa dar mais de uma volta completa na circunferência. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Trigonometria II Prof.: Rogério

Leia mais

1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 42, cos 42 e tg 42. Resolução Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo:

1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 42, cos 42 e tg 42. Resolução Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo: Atividades Complementares 1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 4, cos 4 e tg 4. Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo: Medimos, com auxílio da régua, os lados

Leia mais

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Trigonometria no Triângulo Retângulo Trigonometria no Triângulo Retângulo Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina:

Leia mais

CONCEITOS BÁSICOS - REVISÃO

CONCEITOS BÁSICOS - REVISÃO CONCEITOS BÁSICOS - REVISÃO GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR Sempre houve a necessidade

Leia mais

Licenciatura em Matemática Fundamentos de Matemática Elementar 2 o /2010 Professora Adriana TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E

Licenciatura em Matemática Fundamentos de Matemática Elementar 2 o /2010 Professora Adriana TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E Licenciatura em Matemática Fundamentos de Matemática Elementar 2 o /2010 Professora Adriana TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. Calcule sen x, tg x e cotg x sendo dado: a)

Leia mais

Prof André Costa de Oliveira. 1 Ano do Ensino médio; Trigonometria: Introdução: ângulos e arcos na circunferência;

Prof André Costa de Oliveira. 1 Ano do Ensino médio; Trigonometria: Introdução: ângulos e arcos na circunferência; Prof André Costa de Oliveira. 1 Ano do Ensino médio; Trigonometria: Introdução: ângulos e arcos na circunferência; Ângulo central: É todo ângulo que possui o seu vértice no centro da circunferência, o

Leia mais

PET-FÍSICA TRIGONOMETRIA NATÁLIA ALVES MACHADO TATIANA DE MIRANDA SOUZA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

PET-FÍSICA TRIGONOMETRIA NATÁLIA ALVES MACHADO TATIANA DE MIRANDA SOUZA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ PET-FÍSICA TRIGONOMETRIA Aula 5 NATÁLIA ALVES MACHADO TATIANA DE MIRANDA SOUZA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento

Leia mais

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 1 Funções Definição: Sejam A e B, dois conjuntos, A /0, B /0. Uma função definida em A com valores em B é uma lei que associa

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Simplificando as expressões de z 1 e z, temos que: Como i 19 i + i i, vem

Leia mais

Plano de Recuperação Semestral 1º Semestre 2016

Plano de Recuperação Semestral 1º Semestre 2016 Disciplina: MATEMÁTICA 1 Série/Ano: 1º ANO - EM Professores: CEBOLA, FIGO, GUILHERME, MARCELO, RAFAEL, ROD, SANDRA, TAMMY Objetivo: Proporcionar ao aluno a oportunidade de resgatar os conteúdos trabalhados

Leia mais

Matemática. Relações Trigonométricas. Professor Dudan.

Matemática. Relações Trigonométricas. Professor Dudan. Matemática Relações Trigonométricas Professor Dudan www.acasadoconcurseiro.com.br Matemática RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Definição A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática

Leia mais

Trigonometria - Segunda Parte

Trigonometria - Segunda Parte Capítulo 8 Trigonometria - Segunda Parte 81 Conceitos Preliminares número Dada uma circunferência de raio r, diâmetro d = r, o número é denido como a razão do comprimento C da circunfeência pelo seu diâmetro

Leia mais

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA Curitiba 2014 TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA Ângulos classificação: Ângulo reto: mede 90. Med(AôB) = 90 Ângulo agudo:

Leia mais

Matemática B Extensivo v.2

Matemática B Extensivo v.2 Etensivo v. Eercícios 0) A Se cos α /, então, a representação em um triângulo retângulo será: Pitágoras Como o arco tem etremidades no segundo quadrante, 0 seno é positivo e tangente é negativa, logo:

Leia mais

Relações Métricas nos Triângulos. Joyce Danielle de Araújo

Relações Métricas nos Triângulos. Joyce Danielle de Araújo Relações Métricas nos Triângulos Joyce Danielle de Araújo Trigonometria A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triângulo Metrein = Mensuração - Relação entre ângulos e distâncias;

Leia mais

Trigonometria e relações trigonométricas

Trigonometria e relações trigonométricas Trigonometria e relações trigonométricas Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais comprido, oposto ao ângulo de 90º (ângulo

Leia mais

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA II PROF. MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA II PROF. MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III ª SÉRIE MATEMÁTICA II PROF. MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO www.professorwaltertadeu.mat.br ) Uma escada de m de comprimento está apoiada no chão

Leia mais

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÉBIA MARA DE SOUZA

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÉBIA MARA DE SOUZA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÉBIA MARA DE SOUZA Vamos lembrar um pouco o ciclo trigonométrico? O eixo y é chamado de eixo das ordenadas e também conhecido como seno, a função seno é positiva no 1º e 2º quadrantes

Leia mais

Material Teórico - Círculo Trigonométrico. Secante, cossecante e cotangente. Primeiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Círculo Trigonométrico. Secante, cossecante e cotangente. Primeiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Círculo Trigonométrico Secante, cossecante e cotangente Primeiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 5 de dezembro de

Leia mais

Funções Trigonométricas

Funções Trigonométricas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Trigonométricas

Leia mais

MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) =

MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) = Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 9 Trigonometria I Resumo das principais fórmulas da trigonometria Arcos Notáveis: Fórmulas do arco duplo: ) sen (a) ) cos (a) ) tg

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos

Leia mais

Revisão de Matemática

Revisão de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AGRÍCOLA DENA TOPOGRAFIA BÁSICA Revisão de Matemática Facilitador: Fabrício M. Gonçalves Unidades de medidas Unidade de comprimento (METRO)

Leia mais

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I RESUMO DA AULA TEÓRICA 4 Livro do Stewart: Apêndice D e Seção 16 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS O círculo trigonométrico e arcos orientados Num plano cartesiano, considere

Leia mais

LISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL 2º ANO 1º TRIMESTRE

LISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL 2º ANO 1º TRIMESTRE ÁLGEBRA LISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL º ANO 1º TRIMESTRE 1) O pêndulo de um relógio tem comprimento 0 cm e faz o movimento ilustrado na figura. Qual a medida do arco AB? A) 10 cm 0 cm 0π cm 0 D) cm E)

Leia mais

Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra

Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra Elaborada por: Larissa de Sousa Moreira e Cíntia da Silva Gomes Orientada por: Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA QUINTA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Iniciamos a aula definindo as funções trigonométricas e estabelecendo algumas de suas propriedades básicas. A seguir, calcularemos

Leia mais

Atividades Trigonometria. I. Utilizado na Engenharia para a construção de rodas gigantes

Atividades Trigonometria. I. Utilizado na Engenharia para a construção de rodas gigantes Atividades Trigonometria A trigonometria é um ramo da matemática que exerce um papel importantíssimo em vários contextos do nosso dia-a-dia. Graças a ela foi possível o homem criar desde pequenas obras

Leia mais

2º ANO MATEMÁTICA E.E.E.M. Parte um... Pitágoras Razões trigonométricas Trigonometria Relações trigonométricas Funções trigonométricas NOME COMPLETO:

2º ANO MATEMÁTICA E.E.E.M. Parte um... Pitágoras Razões trigonométricas Trigonometria Relações trigonométricas Funções trigonométricas NOME COMPLETO: E.E.E.M. Parte um... Pitágoras Razões trigonométricas Trigonometria Relações trigonométricas Funções trigonométricas 2º ANO MATEMÁTICA NOME COMPLETO: Nº TURMA: TURNO: PROFESSORA: 1 TRIGONOMETRIA - PARTE

Leia mais

Projeto de Recuperação 1º Semestre - 2ª Série (EM)

Projeto de Recuperação 1º Semestre - 2ª Série (EM) Projeto de Recuperação 1º Semestre - 2ª Série (EM) Matemática 1 MATÉRIA A SER ESTUDADA Nome do Fascículo Aula Exercícios Matrizes e Determinantes Classificação de matrizes (pag. 0) 1,2,,4,6,8 Matrizes

Leia mais

Plano de trabalho : Trigonometria na Circunferência

Plano de trabalho : Trigonometria na Circunferência FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: Escola Estadual Marques Rebelo MATRÍCULA: 0912761-4 SÉRIE: 1 a Série do Ensino médio. TUTOR (A): ANTôNIO DE ALMEIDA

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Simplificando as expressões de z 1 e z, temos que: Como i 19 i + i i, vem

Leia mais

TRIGONOMETRIA. AO VIVO MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho 02 de fevereiro, AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO AGUDO OA OA OA OA OA OA

TRIGONOMETRIA. AO VIVO MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho 02 de fevereiro, AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO AGUDO OA OA OA OA OA OA TRIGONOMETRIA 1. AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO AGUDO Considere um ângulo agudo = AÔB, e tracemos a partir dos pontos A, A 1, A etc. da semirreta AO, perpendiculares à semirreta OB. AB A1B1 AB OAB

Leia mais

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM DEFINIÇÕES GEOMETRIA PLANA Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são

Leia mais

Ana Carolina Boero. Página: Sala Bloco A - Campus Santo André

Ana Carolina Boero.   Página:  Sala Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores reais E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores

Leia mais

Extensão da tangente, secante, cotangente e cossecante, à reta.

Extensão da tangente, secante, cotangente e cossecante, à reta. UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc PARTE II TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSSECANTE Agora estudaremos as funções tangente, cotangente, secante

Leia mais

Estudo da Trigonometria (I)

Estudo da Trigonometria (I) Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva SP Curso de Licenciatura em Matemática 3º ano Prática de Ensino da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Estudo da

Leia mais

Formação Continuada Nova EJA. Plano de Ação 2

Formação Continuada Nova EJA. Plano de Ação 2 Nome: Jones Paulo Duarte Regional: Centro Sul Tutora: Josiane da Silva Martins Formação Continuada Nova EJA Plano de Ação 2 INTRODUÇÃO Esse PA tem como objetivo enfatizar o assunto do capítulo 19 do 2º

Leia mais

FORMAÇÃO CONTINUADA FUNDAÇÃO CECIERJ / CONSÓRCIO CEDERJ

FORMAÇÃO CONTINUADA FUNDAÇÃO CECIERJ / CONSÓRCIO CEDERJ FORMAÇÃO CONTINUADA FUNDAÇÃO CECIERJ / CONSÓRCIO CEDERJ Matemática 1º ano 4º Bimestre /2014 Plano de Trabalho-2 Cursista Isa Louro Delbons Grupo - 02 Tutor Rodolfo Gregório de Moraes Um matemático é uma

Leia mais

MÓDULO 45 TRIGONOMETRIA II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. 1. Considere a equação. (3 2 cos 2 x) 1 + tg 2. 6 tg = 0.

MÓDULO 45 TRIGONOMETRIA II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. 1. Considere a equação. (3 2 cos 2 x) 1 + tg 2. 6 tg = 0. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Considere a equação TRIGONOMETRIA II ( cos ) + tg MÓDULO 5 tg = 0. a) Determine todas as soluções no intervalo [0, [. b) Para as soluções

Leia mais

Trigonometria na Circunferência

Trigonometria na Circunferência FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: C E BARÃO DE MACAÚBAS / C E HERBERT DE SOUZA PROFESSORA: MARISTELA ISOLANI TAVARES MATRÍCULA: 00/0912586-5 SÉRIE:

Leia mais

REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS

REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS Carlos Aurélio Nadal Doutor em Ciências Geodésicas Professor Titular do Departamento de Geomática - Setor de Ciências da Terra Unidades de medidas que utilizavam o corpo humano 2,54cm 30,48cm 0,9144m 66cm

Leia mais

Material Teórico - Círculo Trigonométrico. Seno, cosseno e tangente. Primeiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Círculo Trigonométrico. Seno, cosseno e tangente. Primeiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Círculo Trigonométrico Seno, o e tangente. rimeiro Ano do Ensino Médio Autor: rof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: rof. Antonio Caminha M. Neto 0 de outubro de 08 Seno, o e tangente

Leia mais

MATEMÁTICA. Questões de 01 a 12

MATEMÁTICA. Questões de 01 a 12 GRUPO 5 TIPO A MAT. 1 MATEMÁTICA Questões de 01 a 12 01. Um circo com a forma de um cone circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo raio está com a lona toda furada. O dono do circo, tendo

Leia mais

Trigonometria - Parte I

Trigonometria - Parte I Nome: Nº Curso: Geologia Integrado Disciplina: Matemática II Ano Prof. Leonardo Data: / /018 Trigonometria - Parte I 1.1 - Arcos de circunferência Arco de circunferência é cada uma das partes da circunferência

Leia mais

Aula Trigonometria

Aula Trigonometria Aula 4 4. Trigonometria A trigonometria estabelece relações precisas entre os ângulos e os lados de um triângulo. Definiremos as três funções (mesmo se a própria noção de função será estudada no próximo

Leia mais

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono

Leia mais

PLANO DE AULA. 2 Tema: Trigonometria 2.1 Subtemas: Ciclo e identidades (operações com arcos)

PLANO DE AULA. 2 Tema: Trigonometria 2.1 Subtemas: Ciclo e identidades (operações com arcos) PLANO DE AULA 1 Dados de identificação E. E. M. Macário Borba Município: Sombrio/SC Disciplina: Matemática Série: ano Nível: Ensino Médio Turma: 1 Professora: Natália Lummertz Tempo previsto: 3hs aulas

Leia mais

Axiomas e Proposições

Axiomas e Proposições Axiomas e Proposições Axiomas: I Incidência I.1 Existem infinitos pontos no plano. I.2 Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes) passa uma única reta. I.3 Dada uma reta, existem infinitos pontos

Leia mais