Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas 1.Funções trigonométricas.funções circulares inversas 3.Derivadas das funções trigonométricas inversas 4.Exemplos

3 1. Funções trigonométricas Vamos apresentar o comportamento das funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. 3

4 1.1. Função seno Chama-se função seno a função definida de R em R por f(x) = sen x. 4

5 1.1. Função seno Para analisar o comportamento da função seno, imagine que a extremidade P de um arco, partindo da origem, percorra a circunferência trigonométrica no sentido anti-horário. 5

6 1.1. Função seno Nesse suposto deslocamento da extremidade do arco, observamos que: De 0 a π/ o seno cresce de 0 a 1. De π/ a π o seno decresce de 1 a 0. De π a 3π/ o seno decresce de 0 a -1. De 3π/ a π o seno cresce de -1 a 0. 6

7 1.1. Função seno Supondo que a extremidade P continue se deslocando indefinidamente, a cada nova volta na circunferência trigonométrica o seno assumirá, em idênticas condições, todos os seus valores da primeira volta. Numa linguagem simples, podemos dizer que a função f(x) = sen x repete-se periodicamente de π em π. 7

8 1.1. Função seno Na linguagem matemática escrevemos: = sen ( x 4 π ) = sen ( x π ) = sen ( x) = sen ( x + π ) = sen ( x + 4 π ) = ou ainda x R e k Z, sen x = sen ( x + k π ) 8

9 1.1. Função seno Então dizemos que: A função f(x) = sen (x) é uma função periódica de período igual a π. De um modo geral, uma função f é denominada periódica sempre que existe um número T > 0, tal que, para todo x do domínio de f tem-se: f ( x) = f ( x + T ) 9

10 1.1. Função seno O menor valor (positivo) de T que satisfaz essa igualdade é chamado período da função. O gráfico de sen(x) é chamado senóide. D( f ) = R f ( x) = sen x Im( f ) = 1;1 [ ] 10

11 1.. Função cosseno Assim como analisamos a função seno, vamos analisar o comportamento de f(x) = cos(x) para x variando de 0 a π. De 0 a π/ o cosseno decresce de 1 a 0. De π/ a π o cosseno decresce de 0 a -1. De π a 3π/ o cosseno cresce de -1 a 0. De 3π/ a π cresce de 0 a 1. o cosseno 11

12 1.. Função cosseno Da segunda volta em diante, o cosseno passa a repetir, em idênticas condições, os valores da primeira volta. Isto é, x R e k Z, cos x = cos ( x + k π ) Então dizemos que a função f(x) = cos (x) é uma função periódica de período igual a π. 1

13 1.. Função cosseno O gráfico da função cosseno é chamado cossenóide. Note, na figura, que a cossenóide nada mais é do que a senóide deslocada de π/ unidades, na direção horizontal, para a esquerda. Essa característica da cossenóide pode 13 ser traduzida assim:

14 1.. Função cosseno π x R, cos x = sen x + D( f ) = R f ( x) = cos x Im( f ) = 1;1 [ ] 14

15 1.3. Função tangente Chama-se função tangente a função definida por f ( x) = tg x, x π + kπ, k Z 15

16 1.3. Função tangente A função tangente também é periódica. Porém, enquanto as funções seno e cosseno têm períodos iguais a π, a função tangente tem período igual a π. 16

17 1.3. Função tangente Isso significa que a cada meia-volta a função tangente repete-se em idênticas condições. Isto é, π x R e k Z, x + kπ tg x = tg ( x + kπ ) 17

18 1.3. Função tangente De 0 a π/ a tangente cresce de 0 a +. De π/ a π a tangente cresce de - a 0. 18

19 1.3. Função tangente Daí em diante, a cada meia-volta, a tangente comporta-se exatamente como na primeira meia-volta. 19

20 1.3. Função tangente π D( f ) = x R / x + kπ ( k Z) f ( x) = tg x Im( f ) = R 0

21 1.4. Funções cotangente, secante e cossecante Por serem menos importantes que as demais funções trigonométricas, serão apresentadas de forma resumida, enfatizando-se o domínio e o conjunto-imagem das funções cotangente, secante e cossecante. 1

22 1.4. Funções cotangente, secante e cossecante P = π { R π} D( f ) = x / x k ( k Z) f ( x) = cotg x Im( f ) = R

23 1.4. Funções cotangente, secante e cossecante P = π π D( f ) = x R / x + kπ ( k Z) f ( x) = sec x Im( f ) = { y R / y 1 ou y 1} 3

24 1.4. Funções cotangente, secante e cossecante P = π { R π} Z { R } D( f ) = x / x k ( k ) f ( x) = cossec x Im( f ) = y / y 1 ou y 1 4

25 . Funções circulares inversas As funções trigonométricas inversas são também conhecidas como funções arco. Nessa notação: sen -1 x = arc sen x tg -1 x = arc tg x sec -1 x = arc sec x cos -1 x = arc cos x cotg -1 x = arc cotg x cossec -1 x = arc cossec x 5

26 7.1. Função arco-seno A função de domínio R definida por f(x) = sen x não admite função inversa por não ser injetora (*). Nota: Uma função f é chamada injetora se cada elemento de seu conjuntoimagem é imagem de um único elemento do domínio. 6

27 7.1. Função arco-seno Porém, restringindo o domínio da função seno ao intervalo [- π/, π/] é possível definir sua inversa, que é chamada função arco-seno e é denotada pelo símbolo arc sen. significa: Por exemplo, a sentença π 1 = arc sen 6 π 1 é o arco cujo seno é igual a 6 7

28 7.1. Função arco-seno Definição: π π Para x [ 1; 1 ] e y ;, a função arcoseno é definida pela sentença y = arc sen x sen y = x 8

29 7.1. Função arco-seno Veja estes exemplos: π 1 π 1 a) = arc sen, pois sen 6 = 6 π π b) - = arc sen( 1), pois sen 1 = Este esquema mostra que a função arcoseno é a inversa da função seno: 9

30 7.1. Função arco-seno Gráfico de f(x) = arc sen x 30

31 .1. Função arco-seno Se considerarmos a função seno restrita ao intervalo [-π/, π/] e com contradomínio [-1, 1], isto é, g: [-π/, π/] [-1, 1] tal que g(x) = sen x, a função g admitirá inversa e g -1 será denominada função arco-seno. Notemos que g -1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [-π/, π/] e associa a cada x [-1, 1] um y [-π/, π/] tal que y é um arco cujo seno é x (indica-se y = arc sen x). Temos, portanto, que: y = arc sen x sen y = x e -π/ y π/ 31

32 .1. Função arco-seno 3

33 7.. Função arco-cosseno A exemplo da função seno, a função cosseno não admite inversa quando seu domínio é o conjunto R. Assim, para definir a inversa da função cosseno, vamos restringir o seu domínio ao intervalo [0; π]. 33

34 7.. Função arco-cosseno A inversa da função cosseno é chamada função arco-cosseno e é denotada por arc cos. Definição: Para [ 1; 1 ] e [ 0; ] x y π, a função arco-cosseno é definida pela sentença y = arc cos x cos y = x 34

35 7.. Função arco-cosseno Veja estes exemplos: π 3 π 3 a) = arc cos, pois cos 6 = 6 ( π ) b) π = arc cos( 1), pois cos = 1 Este esquema mostra que a função arcocosseno é a inversa da função cosseno: 35

36 7.. Função arco-cosseno Gráfico de f(x) = arc cos x 36

37 .. Função arco-cosseno Se considerarmos a função cosseno restrita ao intervalo [0, π] e com contradomínio [-1, 1], isto é, g: [0, π] [-1, 1] tal que g(x) = cos x, a função g admitirá inversa e g -1 será denominada função arco-cosseno. Notemos que g -1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [0, π] e associa a cada x [-1, 1] um y [0, π] tal que y é um arco cujo cosseno é x (indica-se y = arc cos x). Temos, portanto, que: y = arc cos x cos y = x e 0 y π 37

38 .. Função arco-cosseno 38

39 7.3. Função arco-tangente Para definir o inverso da função tangente, vamos restringir o inverso da mesma ao intervalo (-π/, π/). Observe o gráfico seguinte e note que, nesse intervalo, a função tangente é bijetora. 39

40 7.3. Função arco-tangente A inversa da função tangente é chamada função arco-tangente e é denotada por arc tg. Definição: π π Para x R e y ;, a função arco-tangente é definida por y = arc tg x tg y = x 40

41 7.3. Função arco-tangente Observe estes exemplos: π π a) = arc tg( 1 ), pois tg = π π b) - = arc tg( 3), pois tg 3 3 = 3 41

42 7.3. Função arco-tangente Gráfico de f(x) = arc tg x 4

43 .3. Função arco-tangente Se considerarmos a função tangente restrita ao intervalo aberto (-π/, π/) e com contradomínio R, isto é, g: (-π/, π/) R tal que g(x) = tg x, a função g admitirá inversa e g -1 será denominada função arco-tangente. Notemos que g -1 tem domínio R, contradomínio (-π/, π/) e associa a cada x R um y (-π/, π/) tal que y é um arco cuja tangente é x (indica-se y = arc tg x). Temos, portanto, que: y = arc tg x tg y = x e -π/ y π/ 43

44 .3. Função arco-tangente 44

45 .4. Quadro resumo Atenção! Nenhuma função trigonométrica possui inversa, o que fazemos aqui é a modificação do domínio destas funções, criando assim novas funções que sejam inversíveis. 45

46 .4. Quadro resumo y = sen x Função trigonométrica Domínio: (-, + ) Imagem: [-1, 1] y = cos x Domínio: (-, + ) Imagem: [-1, 1] y = tg x Domínio: {x R/x π/ + k π, k Z} Imagem: (-, + ) y = cotg x Domínio: {x R/x k π, k Z} Imagem: (-, + ) y = sec x Domínio: {x R/x π/ + k π, k Z} Imagem: (-, 1] U [1, + ) y = cossec x Domínio: {x R/x k π, k Z} Imagem: (-, 1] U [1, + ) Função trigonométrica com domínio modificado y = sen x Domínio: [- π/, π/] Imagem: [-1, 1] y = cos x Domínio: [0, π] Imagem: [-1, 1] y = tg x Domínio: (- π/, π/) Imagem: (-, + ) y = cotg x Domínio: (0, π) Imagem: (-, + ) y = sec x Domínio: [-π, -π/) U [0, π/) Imagem: (-, 1] U [1, + ) y = cossec x Domínio: (-π, -π/] U (0, π/] Imagem: (-, 1] U [1, + ) Inversa trigonométrica y = sen -1 x = arc sen x Domínio: [-1, 1] Imagem: [- π/, π/] y = cos -1 x = arc cos x Domínio: [-1, 1] Imagem: [0, π] y = tg -1 x = arc tg x Domínio: (-, + ) Imagem: (- π/, π/) y = cotg -1 x = arc cotg x Domínio: (-, + ) Imagem: (0, π) y = sec -1 x = arc sec x Domínio: (-, 1] U [1, + ) Imagem: [-π, -π/) U [0, π/) y = cossec -1 x = arc cossec x Domínio: (-, 1] U [1, + ) 46 Imagem: (-π, -π/] U (0, π/]

47 3. Derivadas das funções trigonométricas inversas Aqui, usaremos a diferenciação implícita para determinar as derivadas das funções trigonométricas inversas, supondo que essas funções sejam diferenciáveis. 47

48 3.1. Derivada de arc sen x Lembre-se que a função inversa da função seno é dada por sen -1 x = arc sen x. y = sen -1 x significa sen y = x e -π/ y π/ Diferenciando sen y = x implicitamente em relação a x obtemos dy dy 1 cos y = 1 = dx dx cos y logo: Agora cos y 0,umavezque -π/ y π/, cos y = 1 sen y = 1 x 48

49 3.1. Derivada de arc sen x dy 1 1 = = dx cos y 1 x Portanto d dx ( 1 sen x) = 1 1 x 49

50 3.. Derivada de arc cos x Lembre-se que a função inversa da função cosseno é dada por cos -1 x = arc cos x. y = cos -1 x significa cos y = x e 0 y π Diferenciando cos y = x implicitamente em relação a x obtemos dy dy 1 sen y = 1 = dx dx sen y Agora sen y >0,umavezque 0< y< π, logo: sen y = 1 cos y = 1 x 50

51 3.. Derivada de arc cos x dy 1 1 = = dx sen y 1 x Portanto d dx 1 ( cos x) = 1 1 x 51

52 3.3. Derivada de arc tg x Lembre-se que a função inversa da função tangente é dada por tg -1 x = arc tg x. y = tg -1 x significa tg y = x e -π/ y π/ Diferenciando tg y = x implicitamente em relação a x obtemos dy dy sec y = 1 = dx dx sec y Da identidade sec y = 1 + tg y, temos 1 sec y = 1+ tg y = 1+ x 5

53 3.3. Derivada de arc tg x Portanto dy 1 1 = = dx sec y 1 + x d dx ( 1 tg x) 1 = 1 + x 53

54 3.4. Derivada de arc cotg x Lembre-se que a função inversa da função cotangente é dada por cotg -1 x = arc cotg x. y = cotg -1 x significa cotg y = x e 0 y π Diferenciando cotg y = x implicitamente em relação a x obtemos dy dy cossec y = 1 = dx dx cossec y 1 Da identidade cossec y = 1 + cotg y, temos cos sec y = 1+ cotg y = 1+ x 54

55 3.4. Derivada de arc cotg x Portanto dy 1 1 = = dx cossec y 1 + x d dx 1 ( cotg x) 1 = 1 + x 55

56 3.5. Derivada de arc sec x Lembre-se que a função inversa da função secante é dada por sec -1 x = arc sec x. y = sec -1 x significa sec y = x e {y R/ [- π, -π/) U [0, π/)} Diferenciando sec y = x implicitamente em relação a x obtemos dy dy 1 sec y tg y = 1 = dx dx sec y tg y Da identidade tg y = sec y - 1, temos tg y = sec y 1 = x 1 56

57 3.5. Derivada de arc sec x Portanto dy 1 1 = = dx y y x x sec tg 1 d ( 1 ) 1 sec x = dx x x 1 57

58 3.6. Derivada de arc cossec x Lembre-se que a função inversa da função cossecante é dada por cossec -1 x = arc cossec x. y = cossec -1 x significa cossec y = x e {y R/ (-π, -π/] U (0, π/]} Diferenciando cossec y = x implicitamente em relação a x obtemos dy dy 1 cossec y cotg y = 1 = dx dx cossec y cotg y Da identidade cotg y = cossec y - 1, temos cotg y = cossec y 1 = x 1 58

59 3.6. Derivada de arc cossec x dy 1 1 = = dx y y x x Portanto cossec cotg 1 d ( 1 ) 1 cossec x = dx x x 1 59

60 3.7. Resumo Se u for uma função de x, derivável, d dx 1 ( sen u) = 1 1 u du dx d ( 1 cotg u) 1 du = 1 + dx u dx d dx 1 ( cos u) = 1 1 u du dx d dx ( 1 sec u) = u u 1 1 du dx d 1 ( tg u) 1 = 1 + du dx u dx d dx ( 1 cossec u) 1 = u u 1 du dx 60

61 4. Exemplos Exemplo 1: Derive y = sen -1 x. d dx d dx d dx 1 du = 1 u dx 1 sen = x 1 1 ( sen u) 1 ( x ) 1 ( sen x ) = x 1 x ( x ) 4 61

62 4. Exemplos 1 1 Exemplo : Derive f ( x) = tg ( ) 1 + ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x + 1 d 1 1 du 1 1 ( tg u) = = dx 1+ u dx 1 ( x + 1) 1+ x + 1 d tg = dx x + 1 x + 1 x d tg = dx x + 1 x + x x + 1 d dx ( ) ( ) 1 1 x tg = x + x + ( x + 1) 1 1 = x + x + 6

63 4. Exemplos Exemplo 3: Derive y = x cotg x dy 3 cotg 1 x = x + x 3 dx x dy 1 x x 1 = 3x cotg dx x 3 9 dy dx x = x 1 3 cotg x x 3 3 dy 1 x 3x = 3x cotg dx x 63

64 4. Exemplos 1 x Exemplo 4: Ache dy/dx se ln ( x + y) = tg y dy dy dy y 1 x 1+ y x 1 dy = dx dx = dx x + y dx x y x + y x y y y dy dy dy dy 1+ y x 1+ dx 1 dx dx y y x = = dx x + y y + x y x + y y + x y y dy dy 1+ y x dx = dx y x ( y x ) xy y + + x y y x dy dx = + ( x xy ) dy dy dy y + x + x + xy = xy x x + xy + y = xy x dx dx dx x ( y x) = = dx x + xy + y dx x + xy + y ( ) ( ) ( ) dy xy x dy dy + dx 64

65 4. Exemplos 1 Exemplo 5: Derive a função f ( x) = sec ( 3e x ) x ( e ) x ( ) ' f ( x) = 3e x f f ' ' ( x) = ( x) = 1 3e 3 1 3e x 1 1 x 9e 1 3 x ( 3e ) 1 ( x e ) 65

66 4. Exemplos Exemplo 6: Derive a função ( ) = cossec + x 1 1 x 1 x x ' 1 f x x f ' ( x) = cossec + f ( x) cossec 1 1 x 1 x x x 1 x x x ' 1 = + ' 1 1 x f ( x) = cossec + x 1 x x f ( x) = x cossec 1 1 x 66

67 4. Exemplos No exemplo a seguir, um observador está olhando um quadro colocado em uma parede. Veja a figura a seguir. Quando o observador está afastado da parede, o ângulo segundo o qual ele vê o quadro é pequeno. À medida que o observador se aproxima da parede, o ângulo irá aumentando, até atingir um valor máximo. Então, se o observador continuar se aproximando, o ângulo diminuirá. Quando o ângulo for máximo, diremos que o observador tem a melhor visão do quadro. 67

68 4. Exemplos Exemplo 7: Um quadro com 1 m de altura é colocado em uma parede de tal forma que sua base esteja m acima do nível dos olhos de um observador. Quantos metros o observador deverá se afastar da parede, para obter a melhor visão do quadro, isto é, para que o ângulo segundo o qual ele vê o quadro seja o máximo? 68

69 4. Exemplos Seja x m a distância do observador até a parede, θ a medida em radianos do ângulo segundo o qual o observador vê o quadro, α a medida do ângulo em radianos, segundo o qual o observador vê a parte da parede acima do nível dos olhos e abaixo do quadro, e β = α + θ. Queremos encontrar o valor de x que irá tornar θ um máximo absoluto. Como x está no intervalo (0, + ), o valor máximo absoluto de θ será um valor máximo relativo. 69

70 4. Exemplos Vemos, da figura, que: x x cotg β = e cotgα = 3 Como π π 0 < β < e 0 < α < 1 x 1 x β = cotg e α = cotg 3 Substituindo esses valores de α e β na relação θ = β - α. -1 x -1 x θ = cotg cotg 3 70

71 4. Exemplos Derivando com relação a x, teremos: 1 1 dθ 3 3 = + = + dx x x 9 + x 4 + x Equacionando (9 + x ) 3(4 + x ) = 0 x + = dθ = dx (18 1) 0 x 0 = 6 x,45, iremos obter 71

72 4. Exemplos A solução -,45 foi rejeitada por não estar no intervalo (0, + ). Os resultados do teste da derivada primeira estão na tabela abaixo. Como o valor máximo relativo de θ é um valor máximo absoluto, concluímos que o observador deve ficar a aproximadamente,45 m da parede. Conclusão 0 < x <,45 + x =,45 0 (θ tem um valor máximo relativo),45 < x < - 7