Matemática. Relações Trigonométricas. Professor Dudan.

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1 Matemática Relações Trigonométricas Professor Dudan

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3 Matemática RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Definição A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. Entre estes ângulos, os de 30, 4 e 60 são denominados ângulos notáveis. As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente e cotangente, dependendo dos lados considerados na proporção. Principais Relações Trigonométricas Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao grego Hiparco, que relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e possivelmente construiu a primeira tabela de valores trigonométricos, por isso muitos o consideram o pai da trigonometria. Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente. O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ, define-se sen θ como sendo a razão entre o cateto oposto a θ e a hipotenusa deste triângulo. Dessa mesma forma o cosseno, definido como cos θ, é a razão entre o cateto adjacente a θ e a hipotenusa. Para completar temos a tangente, tg θ, que é a razão entre os catetos oposto e adjacente. Assim: cateto oposto sen θ = hipotenusa cateto adjacente cos θ = hipotenusa cateto oposto tg θ = cateto adjacente DICA: SOH CAH TOA 3

4 Visualização no ciclo Vale lembrar que 1 senx +1, 1 cosx +1 e tgx +. NÃO ESQUECER : sen² x + cos² x = 1, para todo x R. Além disso é importante sabermos os valores dos ângulos notáveis. IMPORTANTE: Use Sempre Tua Cabeça!!!!! Exemplos: 1. Sendo sen x = 2m 1 6 a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 1 e π < x < 2π o menor valor inteiro de m é: 2. Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30 (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer metros, a altura atingida pelo avião é. a) 20 m b)

5 Matemática Relações Trigonométricas Prof. Dudan c) 00 m d) 00 2 e) Um foguete é lançado sob um ângulo de 4. Num certo instante a altura dele é de 00 m, logo a distância percorrida por ele, em linha reta, é de: a) 1000 m b) 600 m c) 00 m d) 00 2 m e) m 4. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20. Após percorrer metros em linha reta, a altura atingida pelo avião, é de aproximadamente. (Utilize: sen 20 = 0,342; cos 20 = 0,94 e tg 20 = 0,364) a) 684 m b) 728 m c) 1280 m d) 1880 m e) 2000m. A Jerônimo Coelho e a rua Duque de Caxias, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30. A sede da Casa do Concurseiro encontra-se na avenida Jerônimo Coelho à 900 m do citado cruzamento. Portanto, em metros, a distância da sede da Casa do Concurseiro à Duque de Caxias é de. a) 300 m b) 40 m. c) 40 3 m d) 600 m e) 900 m 6. Quando o ângulo de elevação do sol é de 6, a sombra de um edifício mede 18 m. A altura do edifício é de: (sen 6 = 0,9063, cos 6 = 0,4226 e tg 6 = 2,144) a) 7,60 m b) 16,31 m c) 24,4 m d) 38,60 m e) 4,96 m

6 7. Sendo cos x = 3 2 a) 3 b) 3 3 c) 3 d) 3 3 e) 1 e x π 2,π ; o valor de tg x é: 8. Sendo x um número real, o menor e o maior valor possíveis da expressão respectivamente, a) 6 e sen 10x ( ) são, b) 21 e 42 c) 14 e 42 2 d) 42 e 42 e) 14 e 6 Outras Relações Trigonométricas COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE As razões trigonométricas vistas anteriormente possuem inversas que são nomeadas cossecante, secante e cotangente. Assim: 1 sec x = cosx = hipotenusa cateto adjacente cossec x = cotg x = 1 senx = hipotenusa cateto oposto 1 cateto adjacente = tg x cateto oposto Vale lembrar que secante, cossecante e cotangente herdam os sinais de cosseno, seno e tangente respectivamente. 6

7 Matemática Relações Trigonométricas Prof. Dudan Ainda devemos lembrar que: sec² x = 1 + tg² x cosec²x = 1 + cotg²x 9. Sabendo-se que cotg x = 1 2 e 0 < x < π, pode-se afirmar que o valor de sen x é: 2 a) 1 10 b) 2 c) d) 2 e) A expressão (1 + cotg 2 x).(1 cos 2 x) é igual a: a) 0 b) 1 c) cos x d) sen x e) cotg x Gabarito: 1. B 2. C 3. D 4. A. B 6. D 7. B 8. A 9. D 10. B 7

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