Técnico de Nível Médio Subsequente em Geologia. Aula 2. Trigonometria no Triângulo Retângulo Professor Luciano Nóbrega

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1 Técnico de Nível Médio Subsequente em Geologia 1 ula 2 Trigonometria no Triângulo Retângulo Professor Luciano Nóbrega

2 2 ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO a b ß c Lembre-se: soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo resulta sempre em 180º.

3 Razões Trigonométricas TERN PITGÓRI Este triângulo merece um destaque ESPEIL. Observe que as medidas dos seus lados, atende ao TEOREM DE PITÁGORS: Se multiplicarmos as medidas dos lados deste triângulo por um mesmo número real positivo diferente de 1, obteremos outro triângulo retângulo semelhante a este. Vamos fazer algumas comparações nesses três triângulos sobrepostos: 10 _cateto oposto ao ângulo α_ hipotenusa _cateto adjacente ao ângulo α_ hipotenusa 1, ,5 α _cat. op. a α_ cat. dj. a α 8

4 4 Razões Trigonométricas seno de um ângulo = seno do ângulo = b a sen = / seno do ângulo = c sen = / EXEMPLO: Sendo a = 5, b = 4 e c = 3, determine sen e sen.

5 5 Razões Trigonométricas cosseno de um ângulo = cosseno do ângulo = cos = / b a cosseno do ângulo = cos = / c EXEMPLO: Sendo a = 5, b = 4 e c = 3, determine sen e cos. Em seguida, determine sen e cos.

6 6 Razões Trigonométricas tangente de um ângulo = b tangente do ângulo = tg = / a tangente do ângulo = tg = / c EXEMPLO: Sendo a = 5, b = 4 e c = 3, determine tg e tg.

7 7 onsequências das definições sen = sen = a b cos = cos = c tg = tg = 1ª ONSEQUÊNI - omo e são ângulos complementares, podemos observar que o seno de um é igual ao cosseno do outro; 2ª ONSEQUÊNI - Observamos também que a tangente de um ângulo é igual ao inverso da tangente do outro.

8 8 onsequências das definições 4ª ONSEQUÊNI DEMONSTRÇÃO: sen = cos sen = cos sen = cos a c b Somando as duas equações: Desenvolvendo o 2º menbro: sen² + cos² = 3ª ONSEQUÊNI (Relação fundamental da trigonometria) sen²α + cos²α = 1 DEMONSTRÇÃO: sen = cos = Elevando os membros ao quadrado: sen² + cos² = Ora, mas b 2 + c 2 = a 2 (Teorema de Pitágoras), então: sen² + cos² = ²

9 9 Ângulos Notáveis Razões Trigonométricas do ângulo de 45º onsidere o quadrado D, com lado de medida l. diagonal desse quadrado mede d =. Destaquemos do quadrado o triângulo. Temos: D sen 45º = sen 45º = sen 45º = d = l cos 45º = 45º l tg 45º = tg 45º = Observe que os valores das razões trigonométricas não dependem da medida do lado do quadrado.

10 10 Ângulos Notáveis Razões Trigonométricas do ângulo de 30º onsidere agora o triângulo eqüilátero, com lado de medida l. altura H do triângulo mede h =. Destaquemos do o H. Temos: sen 30º = sen 30º = sen 30º = 30º h l cos 30º = cos 30º = cos 30º =. H l 2 tg 30º = tg 30º = tg 30º =

11 11 Ângulos Notáveis Razões Trigonométricas do ângulo de 60º Destaquemos novamente o H, temos: sen 60º = sen 60º = sen 60º = h l cos 60º = cos 60º = cos 60º =. H l 2 60º tg 60º = tg 60º = tg 60º =

12 Resumo Música Dos Ângulos Notáveis 1, 2, , 2, 1... oloca o 2 embaixo de todo mundo E raiz onde não tem 1 3, 1, 3... oloca raiz no 3 E divide o primeiro por 3 12 Vamos colocar numa tabela os valores encontrados: Ângulo 30º 45º 60º seno cosseno tangente

13 TESTNDO OS ONHEIMENTOS (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a altura h do edifício, sabendo que mede 25m e cos Θ = 0,6. 11 (UFE) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 60º em relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de altura será, aproximadamente: ) 10,2 m ) 8,5 m ) 5,9 m D) 4,2 m E) 3,4 m 12 (UFP) figura representa um barco atravessando um rio, partindo de em direção ao ponto. forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto, segundo um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a distância percorrida pelo barco até o ponto, é: ) m ) 240 m ) 80 3 m D) 80 m E) 40 3 m GRITO: 10) 20 m

14 14 TESTNDO OS ONHEIMENTOS 13 No triângulo retângulo abaixo, qual é o valor do cosseno de Â? X 10cm 14 Uma escada de 12m de comprimento esta apoiada em um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. Qual é a altura do prédio? 8cm  GRITO: 13) 3 / 5 14) 6m 15 (UFP) Para permitir o aceso a um monumento que está em um pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração. O comprimento da rampa será igual a: ) 3 / 2 m ) 3 m ) 2 m D) 4 m E) 4 3 m

15 TESTNDO OS ONHEIMENTOS (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê um prédio segundo um ângulo de 75. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio, então a altura do prédio, em metros, é: ) 4(3 + 3). ) 3. ) 3 / 2. D) 6( 2 + 2). E) ½. 17 (UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal. Se está a 15m da base da torre e está a 20m de altura, comprimento do cabo é: ) 15 m ) 20 m ) 25 m D) 35 m E) 40 m 18 Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60º, o topo de uma árvore na margem oposta. Quando ela se afasta 40 metros perpendicularmente à margem do rio, esse ângulo é de 30º. a) Qual a largura do rio? b) Qual a altura da árvore? 15 GRITO: 18) a) 20 m b) 20 3

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