TRIGONOMETRIA. AULA 1 _ Os triângulos Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

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1 1 TRIGONOMETRIA AULA 1 _ Os triângulos Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora

2 2 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Vamos relembrar como classificam-se os triângulos: Quanto aos lados: 3 lados iguais Triângulo Equilátero Quanto aos ângulos: 2 lados iguais e 1 diferente Triângulo Isósceles 3 lados diferentes Triângulo Escaleno 3 ângulos agudos Triângulo Acutângulo 1 ângulo reto Triângulo Retângulo 1 ângulo obtuso Triângulo Obtusângulo

3 3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Inicialmente, façamos uma revisão do Triângulo Retângulo: Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, matematicamente: (hip)² = (cat 1 )² + (cat 2 )² LEMBRE-SE Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos seus ângulos internos resulta em 180º.

4 4 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere o triângulo retângulo ABC abaixo, reto em A: Vamos traçar a altura do vértice A em relação ao lado CB. Ficaram determinados os segmentos m e n, tais que, m + n = a Vamos separá-los: m n

5 5 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Observe os triângulos já separados: Os triângulos AHB e AHC são semelhantes. Vejamos: 1º) O triângulo ABH é semelhante ao triângulo inicial ABC pelo caso AA; A h H Assim sendo, podemos estabelecer as relações métricas: 1ª) h 2 = m. n 2ª) b 2 = m. a 3ª) c 2 = n. a 4ª) b. c = h. a E a mais importamte de todas: 5ª) a 2 = b 2 + c 2 2º) O triângulo AHC também é semelhante ao triângulo inicial ABC, outra vez, pelo caso AA; 3º) Por transitividade, podemos afirmar a hipótese inicial. H A

6 6 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Vejamos as devidas demonstrações: 1ª) O quadrado da altura é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos. h 2 = m. n Considere os triângulos ABH e AHC, então observe que: h 2 = m. n 2ª e 3ª) O quadrado do cateto é igual ao produto de sua projeção pela hipotenusa. b 2 = m. a c 2 = n. a Agora, considere os triângulos ABC e AHC: b 2 = m. a Analogamente: c 2 = n. a A h H H A

7 7 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 4ª) O produto entre os catetos é igual ao produto entre a altura relativa à hipotenusa e a hipotenusa. b. c = h. a Vamos multiplicar, termo à termo, os resultados das demonstrações 2 e 3 : b 2 = m. a c 2 = n. a Ora, mas de acordo com a demonstração 1, m. n = h 2, segue que: b 2. c 2 = m. a. n. a b 2. c 2 = m. n. a 2 b 2. c 2 = h 2. a 2 (b.c) 2 = (h.a) 2 b. c = h. a 5ª) O Teorema de Pitágoras. a 2 = b 2 + c 2 Agora, vamos somar, termo à termo, os resultados das b 2 + c 2 = a 2 demonstrações 2 e 3 : b 2 = m. a c 2 = n. a Ora, vimos que m + n = a, segue que: b 2 + c 2 = m. a + n. a b 2 + c 2 = a. (m + n) b 2 + c 2 = a. a

8 GABARITO: 1) 20 m 2) 2,4 m 8 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 (pág.47_i) Uma vara de 1 metro foi posicionada verticalmente no chão e produz uma sombra de 0,2 m. Determine a altura H do prédio cuja sombra tem 4 m de comprimento. 2 (pág.47_ii) Uma escada de 2,5 m de comprimento está apoiada numa parede da qual seu pé dista 70 cm. Determine a que distância do chão está o topo da escada.

9 9 FIQUE DE OLHO SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E TEOREMA DE PITÁGORAS (PÁG. 51) 1 Complete as lacunas: a) Por definição, dois triângulos, ABC e A B C, são semelhantes se os ângulos forem, ou seja, Â Â, B B e C C, e mais, AB / A B = = b) Se os dois triângulos têm os três lados correspondentes com medidas, eles são semelhantes, então ABC A B C. c) Se os dois triângulos têm dois ângulos correspondentes com mesma medida, os triângulos são semelhantes, isto é, med(â) med(â ) e med(b) med(b ), então ABC A B C. d) Se os dois triângulos têm dois lados correspondentes com medidas proporcionais e o ângulo por eles formado tem a mesma medida, então eles são semelhantes, isto é, = = = constante k.

10 10 FIQUE DE OLHO SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E TEOREMA DE PITÁGORAS (PÁG. 52) 2 Quais das afirmações são incorretas? Justifique. a) Se os lados AB e BC de um triângulo são respectivamente proporcionais aos lados A B e B C de outro triângulo, então ABC ~ A B C. b) Para afirmar que ABC ~ A B C, basta que um dos ângulos do ABC possua a mesma medida que um dos ângulos do A B C. c) Os itens anteriores são corretos para triângulos retângulos. d) Todos os triângulos equiláteros são semelhantes. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E TEOREMA DE PITÁGORAS (PÁG. 53) 6 Determine a medida de AB no triângulo retângulo reto em Â, sabendo que AC = m e BC = m. 1 7 Calcule o valor de x. 1 1 x 3 x 1

11 x FIQUE DE OLHO SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E TEOREMA DE PITÁGORAS (PÁG. 52) 8 Determine a fórmula da diagonal d de um quadrado de lado l. Em seguida, a fórmula da altura h de um triângulo equilátero de lado igual ao do quadrado. 9 Responda rápido: a) Determine a medida da diagonal de um quadrado de lado 7 cm; b) Qual a medida da altura e o perímetro de um triângulo equilátero de lado 2 3 cm? (PÁG. 56) 15 Na figura, CD é paralelo a AB. Determine a medida de cada um dos lados dos triângulos ABE e CDE. E 16 Determine o perímetro e 32 2x a área do triângulo PQR. R C D 2x 6 x + 8 B A P x Q

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