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1 Geometria Plana I Exercícios TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O revestimento do piso de um ambiente, com a utilização de tacos de madeira, pode ser feito formando desenhos que constituam um elemento decorativo para o local. Combinando apenas tacos com as formas apresentadas a seguir, pode-se criar o desenho, conforme a figura 1, que será utilizado para cobrir o piso desse ambiente. a) os ângulos correspondentes? b) os ângulos alternos internos? c) os ângulos alternos externos? d) os ângulos colaterais internos? e) os ângulos colaterais externos? f) os ângulos o. p. v? g) os ângulos adjacentes? 1. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 3600, pode-se concluir que a medida do ângulo á, assinalado na figura 1, é a) 105º b) 10º. c) 135º. d) 150º. e) 175º.. Um pedaço de papel tem a forma do triângulo equilátero PQR, com 7cm de lado, sendo M o ponto médio do lado PR: Dobra-se o papel de modo que os pontos Q e M coincidam, conforme ilustrado acima. O perímetro do trapézio PSTR, em cm, é igual a: a) 9 b) 17,5 c) 4,5 d) 8 e) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos agudos formados vale 7. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede: a) 14. b) 144. c) 148. d) 150. e) As retas r1 e r são paralelas. O valor do ângulo α, apresentado na figura a seguir, é: a) 40 b) 45 c) 50 d) 65 e) Com base na figura a seguir identifique, que relação podemos estabelecer entre: 6. As retas r e s são interceptadas pela transversal "t", conforme a figura. O valor de x para que r e s seja, paralelas é: a) 0 b) 6 c) 8 d) 30 e) Observe a figura e complete com os símbolos,,, a) A r b) B r c) r á d) c á e) t á f) D t g) A m 8. As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

2 9. De um retângulo de 18 cm de largura e 48 cm de comprimento foram retirados dois quadrados de lados iguais a 7 cm, como mostra a figura. Qual o perímetro da figura resultante? Justifique. 10. Na figura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro do polígono ABCDE é 456 cm e CD mede 68 cm, qual é a medida do lado BC? a) 118 cm b) 16 cm c) 130 cm d) 14 cm 11. Um robô, caminhando em linha reta, parte de um ponto A em direção a um ponto B, que distam entre si cinco metros. Ao chegar ao ponto B, gira novamente 60 à esquerda e caminha mais cinco metros, repetindo o movimento e o giro até retornar ao ponto de origem. O percurso do robô formará um polígono regular de a) 10 lados. b) 9 lados. c) 8 lados. d) 7 lados. e) 6 lados. 1. Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua Júpiter é 90 ; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110 e o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100. Nessas condições, a medida de um ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de a) 50. b) 60. c) 70. d) 80. e) 90. d) 8π cm e) 7π cm 14. Um triângulo equilátero e um quadrado têm o mesmo perímetro. A medida do lado do quadrado é 90 cm. Nessas condições, a medida do lado do triângulo equilátero é de... a) 90 cm. b) 180 cm. c) 10 cm. d) 100 cm. e) 150 cm. 15. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é: a) 180º b) 360º c) 540º d) 70º e) 900º 16. Considere um quadrado com 3 cm de lado, inscrito em um círculo como mostra a figura. O raio desse círculo mede, em centímetros a). b) c) e) 3.. d) Determine x: 18. Ao ligar, por segmentos de retas, os pontos médios dos lados de um quadrado de lado 60 cm, obtém-se um quadrilátero, cujo perímetro é, em centímetros, a) 30. b) 60. c) 90. d) 10. e) Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos diferentes as quais estão fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas está perpendicular às cordas. O comprimento da maior corda é de 50 cm, e o da menor é de 30 cm. Sabendo que a haste não perpendicular às cordas possui 5 cm de comprimento da primeira à última corda, se todas as cordas são equidistantes, a distância entre duas cordas seguidas, em centímetros, é 13. Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 10 cm. O comprimento dessa circunferência é: a) 10π cm b) 5π cm c) 6π cm a) 1. b) 1,5. c). d),5.

3 e) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 1 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros, iguais a a) 10, 15 e 0. b) 1, 17 e. c) 15, 0 e 5. d) 16, 1 e 6. e) 18, 3 e Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4 m e 1 m, respectivamente. Calcule a área desse triângulo. a) 5 cm b) 50 cm c) cm d) 50 dm e) 5 dm. Na figura a seguir, as retas r, s, t e w são paralelas e, a, b e c representam medidas dos segmentos tais que a b c 100. Considere que os pontos A, B, C e D estão alinhados; os pontos H, G, F e E estão alinhados; os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos entre si; AB 500 m, BC 600 m, CD 700 m e HE 1980 m. Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros, a) 665. b) 660. c) 655. d) 650. e) O jardineiro do Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas à base AB do triângulo ABC, conforme figura. Conforme esses dados, os valores de a, b e c são, respectivamente, iguais a a) 4, 3 e 44 b) 4, 36 e 40 c) 6, 30 e 44 d) 6, 34 e Considere a figura em que r // s // t. O valor de x é a) 3. b) 4. c) 5. d) Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura. Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente: a) 30 cm e 50 cm. b) 8 cm e 56 cm. c) 50 cm e 30 cm. d) 56 cm e 8 cm. e) 40 cm e 0 cm. 6. Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 5 dm e 15 dm. Portanto, a altura do pau de sebo, em metros, é a) 5,0. b) 5,5. c) 6,0. d) 6,5. 7. O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, conforme o esboço mostrado na figura, é

4 a) 10. b) 8. c) 6. d) 4. e). 8. A figura representa os triângulos retângulos PQR e STR, sendo RS 5 cm, ST 3 cm e QT 6 cm. A medida do cateto PQ, em centímetros, é a) 7,5. b) 8,. c) 8,6. d) 9,0. e) 9,. 9. Sabendo que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 1,60 m, calcule a altura de uma árvore que projeta uma sombra de 0 m nas mesmas condições. a) m. b),50 m. c) 4 m. d) 8,80 m. e) 17,80 m. 30. Duas árvores situadas em cada um dos lados de um rio estão alinhadas, conforme a figura. A largura do rio, em metros, é a) 48 b) 50 c) 60 d) 7

5 Gabarito: Resposta da questão 1: [C] R.: 160 cm Resposta da questão 10: o α α 70 α 135 o o Resposta da questão : Resposta da questão 3: o AB = ED = CD = 68 e AE = BC = x Logo, x = 5 x = 5 x = 16, ou seja, BC = 16 cm. Resposta da questão 11: [E] Resposta da questão 4: Resposta da questão 5: a) congruência (por exemplo, 1 = 5) b) congruência (por exemplo, 4 = 6) c) congruência (por exemplo, 1 = 7) d) suplementares (por exemplo, = 180 ) e) suplementares (por exemplo, + 7 = 180 ) f) congruência (por exemplo, 1 = 3) g) suplementares (por exemplo, 1 + = 180 ) Resposta da questão 6: Resposta da questão 7: a) b) c) d) e) f) g) O trajeto do robô será um polígono regular de lado 5m e ângulo externo 60. Como 360 : 6 = 60, concluímos que o polígono pedido possui 6 lados. Resposta da questão 1: Resposta da questão 8: [E] Resposta da questão 9: O perímetro da nova figura é igual ao da original menos duas vezes o lado do quadrado mais seis vezes o lado do quadrado. No quadrilátero formado pelas ruas, temos: x = 360

6 x = x = 60 Resposta da questão 18: [D] Resposta da questão 13: a 10 a 10 r 10 5 Portanto, o comprimento da circunferência será dado por: C π r π 5 10πcm. Resposta da questão 14: [C] x x 1800 x 30 Logo, o perímetro P será dado por: P 4 30 P 10 cm. Resposta da questão 19: [E] Seja a medida do lado do triângulo equilátero, portanto 3.a = 4.90 A = 10 cm Resposta da questão 15: [D] O hexágono poderá ser dividido em quatro triângulos, utilizando as diagonais de um mesmo vértice. Logo, a soma de seus ângulos internos será: S = o = 70 o Resposta da questão 16: [D] Sejam o lado do quadrado e r o raio do círculo circunscrito. 5 = 0 + (5x) 65 = x 5x = 5 x = 9 x = 3 Resposta da questão 0: [C] Considere a figura abaixo, em que a, b e c são os lados procurados. r r 3 3 cm. Resposta da questão 17: x = 110 Sabemos que m n 7 m n 7 e que h 1.

7 Das relações métricas no triângulo retângulo, obtemos h mn (n 7)n 144 n 7n n 9 ou n 16. Logo, m e a m n Daí, como o triângulo dado é semelhante ao triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, segue que b e c Resposta da questão 1: [C] A hipotenusa medirá = 5 m Utilizando que a quadrado da altura é igual ao produto das projeções, temos: A altura será calculada por h = 1.4 h = m. 5. Logo, A 5m = cm Resposta da questão : Utilizando o Teorema de Tales, temos: a b c a b c a b c Portanto, a = 4, b = 3 e c = 44. Utilizando o Teorema de Tales, temos: GF 600 GF 1 GF 660 m Resposta da questão 5: Resposta da questão 6: Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento da sombra projetada, segue-se que a altura h do pau de sebo é dada por h 1 h 5 m Resposta da questão 7: [D] Considere a figura. Resposta da questão 3: Aplicando o teorema de Tales na figura, temos: x x 6 x 7x x 8x 1 x x 1 0 x 4 x x 7 ou x 3 (não convém) Portanto, x = 4. Resposta da questão 4: É fácil ver que os triângulos BFE e DGC são semelhantes por AA. Portanto, se é a medida do lado do quadrado, temos Resposta da questão 8:

8 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo RST, temos: z 3 5 z 4. ΔRST ~ Δ RPQ, logo: 3 4 4x 30 x 7,5 x 6 4 Portanto, PQ = 7,5 cm. Resposta da questão 9: Resposta da questão 30:

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