EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II CONTEÚDO: TRIÂNGULOS E POLÍGONOS 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO

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1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II CONTEÚDO: TRIÂNGULOS E POLÍGONOS 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO ======================================================================= SÉRIE A 1) (UFOP Ouro Preto/MG) - Os lados de um triângulo escaleno são números inteiros e um deles mede 4 e o outro, 7. Se o terceiro lado mede x, calcule a soma dos valores possíveis de x. 2) (UFMG ) Num triângulo, dois lados medem 3 e 7. Se a medida do terceiro lado pertence ao conjunto X = { 2,3, 4, 5, 10}, quanto mede ele? 3) (UFGO) Se dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 3 dm e 4 dm, quais são as possibilidades de medida do terceiro lado? 4) Em cada caso a seguir, são dadas algumas medidas de ângulos de um triângulo. Calcule o que se pede. a) Se dois ângulos internos medem 63 o e 27 o, quanto mede o outro? b) Se dois ângulos internos medem 32 o 15 e 76 o 45, quanto mede o outro? c) Se o triângulo é isósceles com ângulo oposto à base medindo 47 o, quanto medem os outros dois? d) Se o triângulo é equilátero, quanto medem seus ângulos internos? e) Se o triângulo é equilátero, quanto medem seus ângulos externos? f) Se dois ângulos externos medem 110 o e 100 o, quanto mede o ângulo interno não adjacente a esses dados? 5) Se os ângulos internos de um triângulo têm suas medidas dadas pelas expressões 2x 10 o, x + 35 o e 3x - 5 o, qual é o valor de x? 6) Dois ângulos internos de um triângulo têm suas medidas dadas pelas expressões 3a - 12 o e 5a + 15 o e o externo não adjacente a eles mede 163 o. Quais são as medidas dos ângulos internos desse triângulo? 7) Os três ângulos externos de um triângulo medem 7x + 10 o, 6x e 4x + 10 o. Quanto medem os ângulos internos desse triângulo? 8) Num triângulo ABC, os ângulos internos com vértices em A e C têm suas medidas dadas, respectivamente, pelas expressões 2a e 2b. Se o ângulo externo com vértice em B mede 130 o e a - b = 15 o, calcule os valores de a e b. 1

2 9) Calcule os ângulos da base de um triângulo isósceles, sabendo-se que cada um deles vale o dobro do ângulo do vértice. 10) Em um triângulo, um dos ângulos internos mede 50 o. Calcule a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos do triângulo. 11) Na figura, sabe-se que AB = AC = CD. Calcule x em função de y. x A B C y D 12) Na figura, calcule x em função de m e n, sendo AE = AF. A E F m n x B C D 13) Na figura, OB = OC = BC e AB = AC. Calcule x, em graus. A 3x x O B C 2

3 14) Na figura, AD é uma bissetriz interna do triângulo ABC. Calcule os ângulos internos do triângulo ABC. A 30 o B 108 o C 15) O triângulo ABC da figura é retângulo em A. AH é altura e AD é bissetriz interna. Calcule os ângulos de vértices B e C, sabendo que a medida do ângulo HÂD é igual a 25 o. A B H D C 16) Na figura, OI e EI são, respectivamente, as bissetrizes dos ângulos AÔE e AÊD. Se α + β = 75 o, calcule β. A α β I O E D 17) Num triângulo ABC, a altura AH forma com a bissetriz interna AP um ângulo de 18 o ; as bissetrizes internas que saem dos vértices B e C formam um ângulo de 130 o. Quanto mede o maior ângulo do triângulo ABC? 3

4 18) Calcular o valor de x, de acordo com os dados da figura : A 15 o 60 o 45 o x B C D 19) Calcular a soma dos ângulos de vértices A, B, C, D, E e F, assinalados na figura: A B F C E D 20) (UFMG) Quanto medem os ângulos α e β da figura? O α β 60 o 80 o 80 o A B C 4

5 21) (PUC MG) - Obtenha x em função de α, β e γ na figura: β α x γ 22) (PUC MG) - Num triângulo ABC, os ângulos internos de vértices B e C medem, respectivamente, 60 o e 20 o. Calcule a medida do complemento do ângulo formado pela bissetriz interna e pela altura que partem do vértice A. 23) (UFMG) Em um triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede radianos. Calcule, em radianos, a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes internas dos ângulos de vértices B e C. 24) (UFMG) No triângulo ABC, o ângulo interno de vértice C mede 6 π radianos e a bissetriz interna do ângulo de vértice A corta o lado BC no ponto D, tal que AD = =DC. Quanto mede o ângulo interno de vértice B? 25) Calcule o número de diagonais de um a)octógono. b)dodecágono. c)polígono de 3n lados. d)polígono de n 3 lados. 26) Que polígono convexo tem o número de diagonais igual ao número de lados? 27) A diferença entre os números de lados de dois polígonos convexos é 5 e a diferença entre os números de diagonais é 40. Que polígonos são esses? 28) As medidas dos ângulos internos de um pentágono convexo são dadas por x, x o, x - 20 o, 2x e x + 30 o. Quanto mede o maior dos ângulos? 29) Quanto mede cada ângulo interno de um dodecágono regular? π 7 5

6 30) A diferença entre a medida do ângulo interno e a do externo de um polígono regular é 120 o. Que polígono é esse? 31) Se AB, BC, CD e DE são quatro lados consecutivos de um icoságono regular e os prolongamentos dos lados AB e DE cortam-se no ponto I. Calcular o ângulo BÎD. 32) (PUC MG) A diferença entre o número de lados de dois polígonos é 4 e a diferença entre o número de suas diagonais é 26. Quais são os números de lados desses polígonos? 33) Os números de lados de dois polígonos convexos são pares consecutivos e um deles possui 11 diagonais a mais que o outro. Calcule a soma dos números de lados desses polígonos. 34) No polígono convexo ABCDE..., as bissetrizes dos ângulos internos de vértices A e C formam um ângulo que é a quarta parte do ângulo interno. Que polígono é esse? 35) Determinar o polígono regular em que o ângulo formado pelas mediatrizes de dois lados consecutivos mede 30 o. 36) Em que polígono convexo as bissetrizes de dois ângulos internos de vértices consecutivos formam um ângulo de 45 o. 37) (UFMG) Observe a figura: Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma reta e as retas CB e ED são paralelas. Assim sendo, calcule a medida do ângulo ABC, de vértice B. 6

7 38) (CEFET MG) - Na figura, ABCDE é um pentágono regular, ABM, um triângulo isósceles de base AB e o ângulo AMB, de vértice M, mede 70 o. BCPN é um quadrado. Calcule a medida do ângulo MBN, de vértice B. 39) (CEFET MG) - Na figura, AB//FE, AF//DE, DC DE e AB BC, α e β são as medidas em graus, dos ângulos AFE (de vértice F) e BCD ( de vértice C), respectivamente. Dessa forma, determine o valor de α, em função de β. 40) (CEFET MG) - Na figura, BCDE é um trapézio retângulo, onde DE = 5 cm, CD = 4 cm e BE = 7cm. Sendo ABC um triângulo isósceles de base AB, calcule a medida do ângulo BÂD 7

8 SÉRIE B 1) (FUVEST-SP) - Dados: MÔB = OÂB, AO = 3, OB = 2 e AB = 4. Calcule a medida MB. 2) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 2 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado? 3) (CESGRANRIO-RJ) O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12 cm, BC = 8 cm e AC = 6 cm, quanto mede o lado do losango? 4) (FATEC-SP)- Num trapézio isósceles ABCD as bases são dadas, respectivamente, por AD = 2 cm e BC = 5 cm. Em tal trapézio, traça-se o segmento MN paralelo à base AD e tal que AM= 3 1 AB. Calcule o comprimento MN. 8

9 5) (ITA-SP) Considere o triângulo ABC, onde o segmento AD é mediana relativa ao lado BC. Por um ponto arbitrário M do segmento BD, tracemos o segmento MP paralelo ao segmento AD, onde P é o ponto de interseção desta paralela com o prolongamento do lado AC (veja figura a seguir). Se N é o ponto de interseção do lado AB com o segmento MP, calcule a soma MN + MP. 6) (MACKENZIE-SP) O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. Calcule a medida AE. 7) (PUC-SP) Na figura, as retas AB e CD são paralelas. AB = 136, CE = 75 e CD = 50. Quanto mede o segmento AE? 9

10 8) (FUVEST- SP) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual é a altura do poste? 9) (UFRS) Num trapézio, cujos lados paralelos medem 4 e 6, as diagonais interceptam-se de tal modo que os menores segmentos determinados em cada uma delas medem 2 e 3. Qual é a medida da menor diagonal? 10) (UFSE) Na figura a seguir, são dados AC = 8 cm e CD = 4 cm. Calcule a medida BD. 11) (UFMG) Num círculo, a corda CD é perpendicular ao diâmetro AM no ponto E. Se (AE).(EB) = 3, qual é a medida do segmento CD? 12) (UFMG) Dois círculos de raios 6 cm e 4 cm têm seus centros na altura relativa à base do triângulo isósceles da figura e são tangentes exteriormente. Calcule a altura relativa à base do triângulo. 10

11 13) (UFMG) Na figura, o triângulo ABC é isósceles, BC é a base e BE, altura relativa ao lado AC. Se AC = 3 cm e CE = 1 cm, calcule, em centímetros, a medida BC. 14) (UFMG) O triângulo ABC da figura é equilátero, AD = DE = EF = FB e os segmentos DG, EH, FI e BC são paralelos. Se DG + EH + FI = 18, calcule o perímetro do triângulo ABC. 15) (PUC-MG) Um prédio projeta uma sombra de 6 m no mesmo instante em que uma baliza de 1 m projeta uma sombra de 40 cm. Se cada andar desse prédio tem 3 m de altura, calcule o número de andares. 16) (MACKENZIE-SP) Num triângulo, a base mede 60 cm, a altura e a mediana em relação a essa base medem, respectivamente, 12 cm e 13 cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do triângulo. 17) (CESGRANRIO-RJ) No retângulo ABCD de lados AB = 4 e BC = 3, o segmento DM é perpendicular à diagonal AC. Quanto mede o segmento AM? 11

12 18) (U.F. Uberlândia) Num triângulo ABC, o ângulo de vértice A é reto. A altura h A divide a hipotenusa a em dois segmentos m e n (m > n). Sabendo-se que o cateto b é o dobro do cateto c, calcule a razão entre m e n. 19) (UFGO) O perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de altura é 18 cm. Calcule as medidas dos lados do triângulo. 20) (UECE) Num retângulo, a diagonal mede 25 cm. A diferença entre a base do retângulo e sua altura é de 5 cm. Calcule o perímetro do retângulo. 21) (UCMG) Num triângulo retângulo de catetos medindo 1 cm e 3 cm, qual é a medida da altura relativa à hipotenusa? 22) (UCMG) A diagonal de um retângulo mede 10 cm e os lados formam uma proporção com os números 3 e 4. Calcule o perímetro do retângulo. 23)(UFRS) Na figura, ABC é um triângulo retângulo, os segmentos AP e CB são perpendiculares, CP = 1,8 e PB = 3,2. Calcule o perímetro do triângulo ABC. 24) (PUC SP) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 3. Quanto mede a hipotenusa do triângulo? 25) (U. E. Londrina-PR) Em um triângulo retângulo ABC, as medidas das projeções dos catetos AB e BC sobre a hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a razão entre AB e BC, nessa ordem, é igual a 0,5, qual é a razão entre m e n? 26) (UFSE) Se nos triângulos retângulos representados na figura, tem-se AB = 1, BC = 2 e AD = 3, qual é a medida do segmento CD 12

13 27) (UFPA) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro e a hipotenusa mede 10 m. Qual é a soma das medidas dos catetos? 28) (FATEC SP) Na figura, ABCD é um retângulo. Qual é a medida do segmento EF? 29) (CESGRANRIO RJ) No quadrado ABCD da figura, tem-se AB = 4, AH = CI = 1 e AG = 2. Quanto mede HI? 30) (UFMG) Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b, qual é a medida, em metros, do raio do círculo inscrito nesse losango? 31) Um avião levanta voo em linha reta, segundo um ângulo de 30 o com a pista horizontal. Se ele voa a uma velocidade constante de 120 km/h em linha reta, durante 5 horas, a que altura estará, em relação à direção horizontal da pista, quando completar 5 horas de voo? 32) Um triângulo ABC é isósceles com AB =AC, BC = 8 cm e BÂC = 120 o. Calcule o perímetro do triângulo e sua altura relativa ao lado BC. 33) Num retângulo, a diagonal forma com o maior lado um ângulo de 30 o. Se o perímetro do retângulo é de 78 dm, qual é a sua área? 34) Num losango, dois lados consecutivos formam um ângulo reto. Se a diagonal mede 4 2 cm, qual é o perímetro do losango? 13

14 35) Qual é a altura relativa ao maior lado de um paralelogramo em que o menor lado mede 10 cm e o menor ângulo formado por dois lados consecutivos mede 60 o? 36) Num quadrado, a soma das medidas do lado e da diagonal é 3(2 + 2 ) cm. Qual é a área do quadrado? 37) A projeção de um segmento sobre uma reta r é de 3,83 cm. Calcule a medida do segmento, sabendo que a sua reta suporte forma com a reta r um ângulo de 40 o. (dado: cos 40 o = 0,766) 38) Determine o ângulo sob o qual é vista uma torre de 18 m de altura, sabendo que a distância do observador ao ponto mais alto da torre é 36 m. 39) Calcule a área do triângulo AOE, dados AO = 30 m, OE = 16 m e AÔE = 60 o. 40) Do Polo Sul, um astrônomo observa que a Lua está colocada sob um ângulo de 89 o em relação ao diâmetro da Terra. No mesmo instante, do Polo Norte, outro astrônomo faz a mesma observação, obtendo um ângulo de mesmo valor. Se o diâmetro da Terra é de km, calcule a distância da Terra à Lua. (A distância pedida é entre os seus centros. Dado: tg 89 o = 57,2) 41) Um observador vê o topo de um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60 o. Afastando-se mais 30 m do prédio, o observador passa a ver o topo sob um ângulo de 45 o. Qual é a altura do prédio? 42) (E.E. Mauá SP) Para obter a altura H de uma chaminé, com um aparelho especial, um engenheiro estabeleceu a horizontal AB e mediu os ângulos α e β, tendo, a seguir, medido BC = h. Determinar a altura da chaminé. 43) (MACKENZIE- SP) Na figura, calcule a medida AB. 14

15 44) (PUC SP) Os ângulos internos de um triângulo medem x, 2x e 3x. Se o menor dos lados mede 5, quanto mede o maior lado? 45) (CESGRANRIO RJ) Para traçar uma circunferência de 40π cm de comprimento, usa-se um compasso com pernas de 20 cm cada. Qual deve ser o ângulo de abertura das pernas do compasso? 46) (ITA SP) Num triângulo isósceles, o perímetro mede 64 m e os ângulos 7 adjacentes são iguais ao arc cos. Calcule a área do triângulo ) (PUC SP) Dois lados de um triângulo medem 6 m e 10 m e formam entre si um ângulo de 120 o. Quanto mede o terceiro lado? π 48) (UFRS) Na figura, α = rad BC. 6 π, β = 12 rad e AC = Calcule a distância 49) (CESGRANRIO RJ) Em um triângulo ABC, AB = 3, BC = 4 e o ângulo de vértice B mede 60 o. Quanto mede o lado AC? 50) (PUC RS) Qual é o valor de x no triângulo abaixo? 51) (UEBA) Um triângulo ABC é tal que AB = AC = 4. Se  = 120 o, quanto mede o lado BC? 52) (UFRS) A figura representa a trajetória de um helicóptero que percorreu 12 km na direção AB, 14 km na direção BC, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de A. Qual é o cosseno da inclinação α? 15

16 53) (FUVEST SP) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 4, AM = MC = 2, AP =3 e PB = 1. Calcule o perímetro do triângulo APM.... SÉRIE C 1) (UFRS) O lampião mostrado na figura está suspenso por duas cordas 1 6 perpendiculares presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem e, qual é a 2 5 distância do lampião ao teto? (Resp : 13 6 ) 16

17 2) (UFMG) Na figura, E é o ponto médio do lado AB no paralelogramo ABCD. Calcule a medida AM, sabendo que a diagonal AC mede 6 cm. (Resp: 2 cm) 3) (UEBA) Na figura abaixo são dados comprimento do segmento AC. AE EC 1 = 3, BE = 8 cm e ED = 6 cm. Calcule o (Resp: 16 cm) 4) (U.C. Salvador - BA) Na situação do mapa abaixo, deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível. Quantos quilômetros medirá essa estrada? (Resp: 24 km) 5) (UFMG) - Nos triângulos isósceles T 1 e T 2, as bases medem, respectivamente, 30 cm e 40 cm, e os demais lados medem 25 cm. Sejam A 1 a área do triângulo T 1 e A 2 a área do triângulo T 2. Determine A 1 em função de A 2. (Resp: A 1 = A 2 ) 17

18 6) (UFMG) - Na figura seguinte, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e NA medem, respectivamente m e n. Calcule a medida do lado do quadrado. (Resp: mn m + n ) 7) ( UFMG) - Nesta figura, os ângulos ABC, CDE e EAB são retos e os segmentos AD, CD e BC medem, respectivamente, x, y e z. Nessa situação, determine a altura do triângulo ADE em relação ao lado AE. (Resp: x z 2 z y 2 ) 8) (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BQ = QC e a medida do ângulo PÔQ é θ. Calcule a medida do ângulo AÔC, interno do quadrilátero AOCB. (Resp: 2θ) 18

19 9) (UFMG) - Esta figura representa o quadrilátero ABCD: Sabe-se que AB = 1 cm e AD = 2 cm, o ângulo ABC mede 120 o e o segmento CD é perpendicular aos segmentos AD e BC. Então, calcule o comprimento do segmento BD. (Resp: 3 cm) 10) (UFMG) Uma folha de papel quadrada ABCD, que mede 12 cm de lado, é dobrada na reta r, como mostrado na figura: Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N e o ponto A, ao ponto médio M, do lado BC. Calcule a medida do segmento CE. (Resp: 8 cm) 11) (CEFET-MG) -Na figura seguinte, o triângulo ABC é equilátero. Sabendo-se que AM = MB = CD = = 6 e FB paralelo a AC, determine o valor de FB. (Resp: 9 ) 19

20 12) (CEFET MG) - Um menino mantém uma pipa presa a um fio esticado de 90 m de comprimento, que vai perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste de 10 m, formando com a horizontal um ângulo de 300. A pipa atinge o solo ficando com a linha esticada, conforme a figura. Desprezando-se a altura da criança, calcule a distância final entre ela e a pipa, em metros. (Resp: 50 3 m) 13) (CEFET MG) - No triângulo ABC, um segmento MN, paralelo a BC, divide o triângulo em duas regiões de mesma área, conforme representado na figura. Calcule a AM. razão AB (Resp: 2 ) 2 14) (CEFET MG) - Na figura, os segmentos AB e DE são paralelos. Se BC = 2, CD = 6 e a área do triângulo ABC é n, então, calcule a área do triângulo CDE. (Resp : 4n) 20

21 15) (CEFET MG) - Refere-se ao trecho de duas ruas paralelas, onde João e Pedro decidem apostar uma corrida, desenvolvendo a mesma velocidade. As dimensões, na figura, estão representadas em metros. João partirá do ponto médio M do quarteirão AB, fazendo o trajeto MBCDP, enquanto Pedro percorrerá MADCP. Nessas condições, descreva como será o resultado final dessa corrida. (Resp : Pedro ganha com 120 m de vantagem) 16) (CEFET MG) - Na figura, os ângulos ABC (de vértice C) e CQP (de vértice Q) são retos, BP = 4x, PC = 5x e AB = 12x. Nessas condições, calcule a área do quadrilátero ABPQ. (Resp : 48x 2 ) 17) (CEFET MG) - No triângulo ABC, BC = a, AH = h, AC = b e o ângulo ABC (de vértice B) mede 45º. Para a + h = 4, qual é o valor mínimo de b 2? 16 (Resp : ) 5 21

22 18) (CEFET MG) - ABCD é um trapézio isósceles com lados paralelos AB e CD, medindo, respectivamente, 42 cm e 30 cm, e lados não paralelos, BC e AD, medindo 10 cm. Sabendo-se que as diagonais AC e BD se cruzam em um ponto P, calcule a área do triângulo ABP em centímetros quadrados. (Resp : 98 cm 2 ) ******************************************************************** RESPOSTAS SÉRIE A 1) 38 2) 5 3) mais do que 1 dm e menos do que 7 dm 4) a) 90 o b) 71 o c) 66 o 30 d) 60 o e) 120 o f) 30 o 5) 26 o 40 6) 48 o, 115 o e 17 o 7) 30 o, 60 o e 90 o 8) a = 40 o e b = 25 o 9) 60 o 10) 65 o 11) x = 3y 12) m - n = 2 x 13) 12 o 14) 60 o, 78 o e 42 o 15) 70 o e 20 o resp. 16) 25 o 17) 80 o 18) 120 o 19) 360 o 20) 20 o e 20 o 21) x = γ - α - β 22) 70 o 3π π ( n 23) 24) rad 25) a) 20 b) 54 c) d) ( n 3)( n 6) 2 9 3) 26) pentágono 27) heptágono e dodecágono 28) 163 o 20 29) 150 o 30) dodecágono regular 31) 126 o 32) 6 e 10 33) 14 34) polígono de 18 lados 35) dodecágono regular 36) octógono regular 37) 48 o 38) 107 o 39) α = β 40) 45 o SÉRIE B 22

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