UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

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1 Exercícios propostos: aulas 01 e 02 GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO GA - LISTA DE EXERCÍCIOS Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dado A = (2, 1), B = (-1, 3) e C = (4, -2). 2. Provar que o triângulo cujos vértices são A = (2, 2), B = (-4, -6) e C = (4, -12) é retângulo. 3. Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados: A = (4, 5), B = (1, 1) e C = (x, 4). 4. Se P = (x, y) equidista de A = (-3, 7) e B = (4, 3), qual é a relação existente entre x e y? 5. Dados A = (x, 5), B = (-2, 3) e C = (4, 1), obter x de modo que A seja equidistante de B e C. 6. Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A = (1, 3) e B = (-3, 5). 7. Dados os pontos M = (a, 0) e N = (0, a), determinar o ponto P de modo que o triângulo MNP seja equilátero. 8. Dados A = (-2, 4) e B = (3, -1) vértices consecutivos de um quadrado, determinar os outros dois vértices. 9. Determinar o ponto médio do segmento AB dados A = (2, 1) e B = (4, 3). Exercícios propostos: aulas 03 e Apresentar, graficamente, um representante do vetor u v nos casos: 11. Determinar o vetor x nas figuras: 11. Os vetores u, v (2, 1) determine u. e w formam um triângulo, conforme a figura. Sendo v = (-1, 1) e w =

2 12. Na figura abaixo o vetor s = a + b + c + d é igual a: 13. Dados os vetores u e v da figura abaixo, mostrar, em um gráfico, um representante do vetor: a) u v b) v u c) v 2u d) 2u 3u v u 14. Dados os vetores a, b e c, figura abaixo, apresentar, graficamente, um representante do vetor x tal que, a + c + x = 2b. 15. Determine se os segmentos orientados AB e CD são equipolentes, onde: a) A = (0, 3), B = (3, 0), C = (1, 1) e D = ( 1, 1). b) A = (1, 1), B = (3, 1), C = (0, 1) e D = (2, 1). c) A = (1, 3), B = (1/2, 1/3), C = (1, 0) e D = (-1/2, 1). d) A = (1, -3), B = (1/2, 1), C = (1, 0) e D = (-1/2, 1) 16. Sejam os pontos A = (0, 1), B = (1, -1/2) e C = (-1, 1). Determinar as coordenadas do vetor AB, o ponto D, tal que AB = CD e o ponto P, tal que AB = OP. 17. Sejam A = (1, 2), B = (3, 1) e C = (4, 0). Determine as coordenadas do vetor v = AB e as coordenadas do ponto D tal que v = CD. 18. Dados os pontos A = (-1, 2), B = (3, -1) e C = (-2, 4), determinar o ponto D tal que CD = 1 AB Dados os pontos A = (3, -4) e B = (-1, 1) e o vetor v = ( 2, 3), calcular: a) (B A) + 2v b) (A B) - v 20. Dados os pontos A = (-5, 1) e B = (1, 3). Determinar o vetor v = (a, b) tal que: a) B = A + 2v a) A = B + 3v Construir o gráfico correspondente a cada situação.

3 21. Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v = ( 1, 3), sabendo que sua extremidade está em (3, 1)? Representar graficamente este segmento. 22. Sejam os pontos P = (2, 3), Q = (4, 2) e R = (3, 5). a) Representar em um mesmo gráfico os vetores posição de u, v, e w de modo que Q = P + u, R = Q + v e P = R + w. 23. Provar que os pontos A = (-2, -1), B = (2, 2) e C = (-1, 6) e D = (-5, 3), nesta ordem, são vértices de um quadrado. 24. Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para: a) A = (-3, -1), B = (4, 2) e C = (5, 5) b) A = (5, 1), B = (7, 3) e C = (3, 4) 25. Sejam P = (1, 0), Q = (3, 4) e R = (3, 3) pontos do plano. Determine os pontos S do plano de modo que P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo. (Sugestão: Observe que há três possíveis diagonais para o paralelogramo PR, PQ ou QR, cada uma delas fornece um possível ponto S). 26. Sendo A = (2, 1) e B = (5, 2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M = (4, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. 27. Sendo A = (-2, 3) e B = (6, -3) extremidades de um segmento, determinar: a) Os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento b) Os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento 28. O ponto P pertence ao segmento de extremos A = (x1, y1) e B = (x2, y2) e a distância dele ao ponto A é a terça parte da distância dele ao ponto B. Expressar as coordenadas de P em função das coordenadas de A e B. 29. Dados os vetores u = (2, 4), v = ( 5, 1) e w = ( 12, 6), calcular a1 e a2 tais que: w = a1 u + a2 v. 30. Escreva o vetor u = (5,3) como combinação linear dos vetores v 1 = (1, 1) e v 2 = (0, 2). 31. Dado três vetores no plano u = (3, 2), v = ( 2, 1) e w = (7, 4), escreva a combinação linear de cada um dos três vetores, tomando como base os outros dois. Exercícios propostos: aulas 05 e Dados os vetores u = (1, 1), v = ( 3, 4) e w = (8, 6) calcular: a) u b) w c) v d) u + v e) Determine o vetor normalizado de u f) Determine o vetor normalizado de v

4 33. Os vetores u = ( 1, 0) e w = ( 3, 6 ) são unitários? Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, ) seja unitário. 35. Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, 2) tenha norma igual a Dado o vetor v = (1, 3), determinar o vetor paralelo a v que tenha: a) Sentido contrário ao de v e duas vezes a norma de v; b) O mesmo sentido de v e norma igual a 2; c) Sentido contrário ao de v e norma igual a Sabendo que o ângulo entre os vetores v e u é de 60º, determinar o ângulo formado pelos vetores: a) u e v b) u e 2v c) u e v d) 3u e 5v 38. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 20 cm. Calcular: a) AB. AC b) AB. CA 39. O quadrilátero da figura abaixo é um losango de lado 2. Calcular: a) AC. BD b) AB. AD c) BA. BC d) AB. BC e) AB. DC f) BC. DA 40. Os vetores u, v e w, com u = 4 e v = 15, determinam o triângulo abaixo. Determine o produto escalar entre os vetores u e w Calcular u + v e u v, sabendo que u = 4 e v = 3 e o ângulo entre u e v é de 60º. 42. Qual o valor de a para que os vetores u = (a, 2) e v = (2, 1 2a) sejam ortogonais? 43. Provar que os pontos A = (2, 2), B = (-4, -6) e C = (4, -12) são vértices de um triângulo retângulo. 44. Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A = (2, 4), B = (5, 0) e C = (-2, -3).

5 45. Calcular o valor de m de modo que seja de 45º o ângulo entre os vetores u = (2, 1) e v = (1, m). 46. Determinar o valor de k para que os vetores u = ( 2, 3) e v = (k, 4) sejam: a) Paralelos b) ortogonais. 47. Determine a área do paralelogramo ABDC, onde A = (1, 2), B = (3, 1), C = (4, 1). 48. Determine a área do triângulo de vértices A = (4, 2), B = (6, 1) e C = (3, 2). 49. Determine os valores de n de modo que a área do triângulo ABC de vértices A = (1, 2), B = (3, n + 2) e C = (n - 1, 1) seja igual a 1/2.

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