Linhas proporcionais. 1 Divisão de um segmento. 2 Linhas Proporcionais. 1.1 Divisão interna Divisão externa. 1.3 Divisão harmônica

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Gonçalo Arruda Aveiro
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1 Linhas proporcionais 1 Divisão de um segmento 1.1 Divisão interna Um ponto M divide internamente um segmento AB na razão k quando pertence ao segmento AB e Razão Áurea AP P B = AB AP φ 1 = φ + 1 φ φ = φ + 1 φ φ 1 = φ = Linhas Proporcionais 1. Divisão externa MA MB = k Um ponto N divide externamente um segmento AB na razão k quando pertence a reta suporte do segmento AB, mas não pertence ao segmento AB e.1 Se um feixe de retas paralelas determina sobre uma secante segmentos de mesmo comprimento, então determinará sobre qualquer outra segmentos de mesmo comprimento. NA NB = k 1.3 Divisão harmônica Dois pontos M e N dividem um segmento AB harmonicamente quando o dividem, alternadamente, internamente e externamente e a razão da divisão interna é igual a razão da divisão externa. AB = BC = CD =... A B = B C = C D =.... Teorema de Tales Um feixe de retas paralelas determina sobre duas secantes quaisquer segmentos proporcionais. MA MB = NA NB Os pontos M e N são conhecidos como conjugados harmônicos. 1.4 Divisão Áurea Um ponto P divide internamente um segmento AB segundo uma razão áurea quando a razão da primeira parte pela segunda é igual a razão do todo pela primeira parte, isto é, AP P B = AB AP AB A B = BC B C =... 1 a questão: Duas transversais intersectam um feixe de três retas paralelas de modo que os segmentos em uma dessas transversais medem 38 e 4 e os segmentos da outra meçam x e 6. O valor de x é igual a: (A) 40 6

2 (C) 54 (D) 57 (E) 60 a questão: Duas retas concorrentes são cortadas por um feixe de três retas paralelas de modo que uma delas passe pelo ponto de concorrência. Se os segmentos determinados por essas paralelas em uma das transversais medem 19 e 437, enquanto que os segmentos correspondentes determinados na outra medem 4 e x. O valor de x é igual a: (A) 91 (B) 9 (C) 93 (D) 94 (E) 95 3 a questão: Um feixe de três retas paralelas é cortado por duas transversais de modo que os segmentos determinados em uma delas são AB = x 13 e AC = 60, enquanto que os segmentos determinados na outra são DE = x e EF = 100. O valor de x é igual a: (A) 1 (B) 0 (C) 5 (D) 7 (E) 8.3 Toda paralela a um dos lados de um triângulo determina um outro de lados respectivamente proporcionais ao primeiro. AD AB = AC AC = DE BC 4 a questão: Num triângulo ADE, sejam B e C pontos sobre os lados AD e AE, respectivamente, tais que AB = x 1, BD = x 5, BC = x 7, CE = x e DE = 18 x. O valor de x para o qual BC é paralelo a DE é igual a: (A) (C) 6 (D) 8 (E) 10 3 Teorema das bissetrizes As bissetrizes interna e externa de um triângulo dividem o lado oposto em partes proporcionais aos lados adjacentes. 3.1 Interna DB AB = DC AC 5 a questão: Num triângulo ABC, CD é bissetriz interna do ângulo Ĉ. Se AD = 10, DB = 6 e AC = 5, a medida do lado BC é igual a: (A) 10 (B) 1 (C) 14 (D) 15 (E) 16 6 a questão: A bissetriz interna AS do ângulo Â de um triângulo ABC, determina sobre o lado BC segmentos BS = 1 e CS = x. Se AB = x + 9 e AC = 30, o valor de x é igual a: (A) 10 (B) 1 (C) 14 (D) 15 (E) 16 7 a questão: Em um triângulo ABC, tem-se que AB + AC = 8 e, pelo ponto D de interseção da bissetriz do ângulo Â com o lado BC traça-se uma paralela ao lado AB que intersecta AC no ponto E tal que 7 AE = 4 AC. A diferença AB AC entre as medidas dos lados AB e AC é: (A) 3 (C) 5 (D) 6 (E) 7

3 3. Externa DB AB = DC AC 3.3 Os pés das bissetrizes interna e externa dividem harmonicamente o segmento BC. 5 Exercícios 1) (CFTMG) O perímetro do triângulo ABC vale 10 cm e a bissetriz do ângulo Â divide o lado oposto em dois segmentos de 18 e cm conforme a figura. MB MC = NB NC 8 a questão: Num triângulo ABC, sejam D e E, respectivamente, os pés das bissetrizes interna e externa do ângulo Â. Se DC = e CE = 3, a medida do segmento BD é igual a: (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 1 (E) 14 9 a questão: Num triângulo ABC cujos lados medem AB = 3, AC = e BC = 4, a bissetriz externa do ângulo Â, intersecta o prolongamento do lado BC no ponto D. Se CD = x e AD = 9, o valor de x é igual a: (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 4 Círculo de Apolonius É o lugar geométrico dos pontos do plano cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é igual a uma constante real k (k > 0 k 1). A medida do maior lado desse triângulo, em cm, é (A) (B) 36 (C) 44 (D) 5 ) (CFTMG) Na figura a seguir, as retas r, s, t e w são paralelas e, a, b e c representam medidas dos segmentos tais que a + b + c = 100. Conforme esses dados, os valores de a, b e c são, respectivamente, iguais a (A) 4,3 e 44, 36 e 40 (C) 6, 30 e 44 (D) 6, 34 e 40

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: Considere o texto e o esquema para responder a(s) questão(ões). Para se transpor um curso de água ou uma depressão de terreno pode-se construir uma ponte.

4 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: Considere o texto e o esquema para responder a(s) questão(ões). Para se transpor um curso de água ou uma depressão de terreno pode-se construir uma ponte. Na imagem, vemos uma ponte estaiada, um tipo de ponte suspensa por cabos (estais) fixados em mastros. 4) (CPS) De acordo com as informações relativas ao esquema, o número máximo de estais que estão fixados do ponto A ao ponto B e que têm a outra extremidade na semirreta BC é (A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15 5) (CFTMG) Considere a figura em que r s t. O esquema apresenta parte da estrutura de uma ponte estaiada do tipo denominado harpa, pois os estais são paralelos entre si. Cada estai tem uma extremidade fixada no mastro e a outra extremidade no tabuleiro da ponte (onde estão as vias de circulação). O valor de x é (A) 3 (C) 5 (D) 6 6) (CPS) Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura. No esquema, considere que: as retas AB e BC são perpendiculares entre si; os segmentos AC e DE são paralelos entre si e representam estais subsequentes; AB = 75 m, BC = 100 m e AD = 6 m; no mastro dessa ponte, a partir do ponto A em sentido ao ponto B as extremidades dos estais estão fixadas e distribuídas a iguais distâncias entre si. 3) (CPS) A distância entre os pontos E e C é, em metros, (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 1 (E) 14 Considere que os pontos A, B, C e D estão alinhados; os pontos H, G, F e E estão alinhados; os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos entre si; AB = 500 m, BC = 600 m, CD = 700 m e HE = 1980 m.

5 Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros, (A) 665 (B) 660 (C) 655 (D) 650 (E) 645 7) (PUC/RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A onde AB = 1 e AC = 0. BD é a bissetriz do ângulo A ˆBC. Quanto mede o segmento AD? (A) 4 5 (B) 1 0 (C) 0 1 (D) 9 (E) 8 8) (CFTMG) A figura representa um perfil de um reservatório dágua com lado AB paralelo a CD. Se a é o menor número primo e b é 50% maior que a, então, o valor de x é (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 9) (UECE) O ponto P é interior a um segmento de reta, cuja medida é x = m, e o divide em dois segmentos cujas medidas são y e z e satisfazem a relação y = xz. A razão x (denominada de número de ouro ou razão áurea) y é igual a (A) (B) (C) (D) ) (PUC/RJ) Uma reta paralela ao lado BC de um triângulo ABC intersecta os lados AB e AC do triângulo em P e Q, respectivamente, onde AQ = 4, P B = 9 e AP = QC. Então o comprimento de AP é: (A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) (E) 1 11) (CFTPR) O jardineiro do Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas à base AB do triângulo ABC, conforme figura. Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente: (A) 30 cm e 50 cm (B) 8 cm e 56 cm (C) 50 cm e 30 cm (D) 56 cm e 8 cm (E) 40 cm e 0 cm 1) (UFRRJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 4 e que as retas r, s e t são paralelas. A diferença x y é (A) (C) 6 (D) 10 (E) 1 13) (FGV) Na figura, ABC é um triângulo com AC = 0 cm, AB = 15 cm e BC = 14 cm.

6 Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente QR AR é igual a (A) 0,30 (B) 0,35 (C) 0,40 (D) 0,45 (E) 0,50 14) (UFRN) Phidias, um arquiteto grego que viveu no século quinto a.c., construiu o Parthenon com medidas que obedeceram à proporção áurea, o que significa dizer que EE H H é um quadrado e que os retângulos EF GH e E F GH são semelhantes, ou seja, o lado maior do primeiro retângulo está para o lado maior do segundo retângulo assim como o lado menor do primeiro retângulo está para o lado menor do segundo retângulo. Veja a figura abaixo. (A) 33 m (B) 38 m (C) 43 m (D) 48 m (E) 53 m 6 Respostas 1) C ) A 3) B 4) D 5) B 6) B 7) A 8) B 9) B 10) B 11) B 1) C 13) C 14) C 15) B Assim, podemos afirmar que a razão da medida da base do Parthenon pela medida da sua altura é uma raiz do polinômio: (A) x + x + 1 (B) x + x 1 (C) x x 1 (D) x x ) (UFSM) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede

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