Geometria I Aula 3.3

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1 Curso Turno Disciplina Carga Horária Licenciatura Plena em Noturno Geometria I 90h Matemática Aula Período Data Planejamento /11/2006 3ª. feira Andréa Tempo Estratégia Descrição (Produção) 18:10 / 18:15 5 Vh Abertura 18:15 / 18:50 35 P1 Clício Unidade II: Polígonos Tema 07: Triângulos Objetivo: Estudar os principais elementos de um triângulo, bem como as diversas aplicações de propriedades e classificações. (2) Triângulos passo a passo Definição Vértices: A, B,C. Lados: AB,BC e AC. Ângulos internos: α, β e γ Ângulos externos: aˆ, b ˆ ĉ (3) Triângulos Condição de existência passo a passo b c < a < b + c a c < b < a + c a b < c < a + b (4) Aplicação Pode existir um triângulo de lados com medidas 5cm, 7cm e 9cm? (5) Solução 5-7 < 9 < passo a passo -2 < 9 < 12 2 < 9 < 12

2 5cm 7cm 9cm (6) Triângulos Classificação-ângulos Retângulo Ãngulo reto. Hipotenusa. Catetos. passo a passo (7) Triângulos Classificação-ângulos Obtusângulo Ângulo obtuso. Dois ângulos agudos. passo a passo (8) Triângulos Classificação-ângulos Acutângulo Três ângulos agudos. passo a passo α γ β (9) Aplicação Determine os valores de x e y na figura abaixo: y x+y 2x+10 o

3 (10) Solução passo a passo y x+y 2x+10 o x + y = 2x + 10 o x = y 10 o y + x + y + 2x + 10 o = 180 o 3x + 2y = 170 o 3.(y 10 o ) + 2y = 170 o 3y 30 o + 2y = 170 o 5y = 200 o y = 40 o e x = 30 o (11) Triângulos Classificação-lados Passo a passo Equilátero Três os lados congruente. Todos os ângulos internos são congruentes. (12) Triângulos Classificação-lados Passo a passo Isósceles Dois lados congruentes. Ângulos da base são congruentes. (13) Triângulos Classificação-lados Passo a passo Escaleno Três lados são diferentes. Ângulos internos diferentes.

4 (14) Aplicação Se o ΔABC é isósceles de base BC, determine BC. A 3x - 10 x+4 B 2x + 4 (15) Solução Passo a passo A C 3x - 10 x+4 B 2x + 4 AB = AC 3x 10 = x + 4 3x x = x = 14 x = 7 BC = 2x + 4 = = 18 (16) Triângulos Ângulos internos C Passo a passo α + β + γ = 180º (17) Triângulos Passo a passo Demonstração

5 γ β α β α γ α e α são correspondentes α α β e β são opostos pelo vértice β β γ e γ são correspondentes γ γ α + β + γ = 180º α + β + γ = 180º (18) Aplicação Determine x na figura x x + 10º x - 10º (19) Solução Passo a passo x x + 10º x - 10º x + x + 10 o + x 10 o = 180 o 3x = 180 o x = 60 o (20) Triângulos Passo a passo Ângulos externos B â α A C

6 α + a = 180º β + b = 180º γ + c = 180º ( α + β + γ ) + ( a+ b+ c) = 540º 180º + ( a+ b+ c) = 540º a+ b+ c = 360º (21) Triângulos Passo a passo Propriedades importantes Um ângulo externo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes. Se dois lados têm medidas diferentes, ao maior lado opõese o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo. Qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois. A medida de um ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes. (22) Triângulos Passo a passo Demonstração γ β γ A β e β são correspondentes β β γ e β são alternos internos γ γ â = β + γ β (23) Aplicação Determine o valor de x na figura abaixo: 2x+10 o 2x-10 o x (24) Solução Passo a passo 2x+10 o 2x-10 o x

7 2x 10 o = x o (2x + 10 o ) 2x 10 o = x o 2x - 10 o 2x x + 2x = 180 o - 10 o +10 o 3x = 180 o x = 60 o 18:50 / 19:15 25 P1/DL Clício (25) Dinâmica Local Livro-texto, exercício 3, página 33. Livro-texto, exercício 10, página :15 / 19:20 5 Retorno DL (26) Solução 1 Passo a passo 2x 7 = x + 5 2x x = X = 12 (27) Solução 2 Passo a passo x o + 30 o = 180 o x = 180 o o x = 30 o y + 60 o + 80 o = 180 o y = 180 o 140 o y = 40 o Licenciatura em Matemática Geometria I Aula 3.2 Planejamento: Tempo Estratégia Descrição (Produção) 19:20 / 19:55 35 P2 Iêda Unidade II: Tema 08: Triângulos : Resolução de exercícios. Objetivo: Resolver problemas de Triângulos (2) Triângulos Passo a passo Elementos a) Vértices do triângulo; M, N, P b) m(n) + m(3); 180º c) Medida do ângulo M se m(2) = 140 ; 40º d) Medida do ângulo 3 se m(n) = º (3) Aplicação Calcule x e y na figura abaixo:

8 (4) Solução Passo a passo x = 180 x = 180 x = º x = 30 (5) Solução Passo a passo y + 60º + 80º = 180º y = 180º y = 180º 140º y = 40º (6) Aplicação (7) Solução Passo a passo Não, pois 60cm não é menor que 20cm + 30cm. (8) Aplicação Classifique os triângulos abaixo quanto aos lados e quanto aos ângulos: a) Usar objetos práticos: (9) Solução Passo a passo

9 Eqüilátero e Acutângulo (10) Aplicação b) (11) Solução Passo a passo Isósceles e Obtusângulo (12) Aplicação O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sabendo que AB = 2x - 7 e AC = x + 5, determine x. (13) Solução Passo a passo AB = AC 2x 7 = x + 5 2x x = x = 12 (14) Aplicação Um triângulo ABC é isósceles de base BC. Determine o perímetro sabendo que: AB = 2x + 3, AC = 3x - 3 e BC = X + 3. (15) Solução Passo a passo A 2x + 3 3x - 3 B X + 3 2x + 3 = 3x 3 2x 3x = x = 6 (-1) x = 6 C

10 Lado AB Lado AC Lado AC 2x + 3 3x 3 X P = P = 39cm (16) Aplicação Num triângulo, os três ângulos são congruentes. Quanto mede cada ângulo? (17) Solução Passo a passo x + x +x = 180º 3x = 180º x = x = 60º (18) Aplicação Calcule o valor de x e classifique o triângulo em relação aos ângulo: 19:55 / 20:20 25 P2 /DL Iêda (19) Solução Passo a passo x = 180 x = 180 x = x = 20 (20) Dinâmica Local Calcule os ângulos do triângulo. Depois, classifique-o quanto aos ângulos. 20:20 / 20:25 5 Retorno DL (21) Solução Passo a passo 3x + 2x + x = 180º 6x = 180º x = 180º/ 6 x = 30º A= 90º B = 60º C= 30º Triângulo Retângulo 20:25 / 20:45 Intervalo 20

11 Licenciatura em Matemática Planejamento: Sara / Mateus Geometria I Aula 3.3 Tempo Estratégia Descrição (Produção) 20:45 / 21:20 35 P3 Vítor Unidade II: Polígonos Tema 09: Congruência de triângulos. Objetivo: Conhecer os casos de congruência e suas aplicações. (2) Congruência Definição Dois triângulos são congruentes quando seus lados e seus ângulos são respectivamente congruentes. Passo a passo   ΔABC ΔA` B`C` Bˆ Bˆ` Ĉ Ĉ` AB A`B` BC B`C ` AC A`C ` (3) Congruência de triângulos 1º caso LAL Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes. (4) Aplicação Calcule o valor de α + β. (5) Solução Os triângulos ABC e CDE são congruentes, LAL.

12 3 = 5 β = β + 48 β = 12 o o α = 2α + 10 α 10 ; o o o α + β = 22 (6) Congruência de triângulos 2.º caso ALA Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes. (7) 2.º caso ALA Passo a passo Demonstração Por A C, tomaremos X tal que, A' X AC ΔABC ΔA' B' X ABC ˆ A' Bˆ ' X. Como por hipótese ABC ˆ A' Bˆ' C', concluímos C ' = X e pelo caso LAL a congruência. (8) Congruência de triângulos 3.º caso LLL Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes. (9) Caso LLL Passo a passo Demonstração

13 (10) Congruência de triângulos Passo a passo Teorema do ângulo externo Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes. (11) Congruência de triângulos 4.º caso LAA o Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ânulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes. Pela soma dos ângulos internos temos concluímos Δ ABC ΔA' B' C'. Cˆ Cˆ ' e pelo caso ALA 21:20 / 21:45 25 P3 /DL Vítor (12) Dinâmica Local 1) Na figura, sendo BF CD, m ( ABC ˆ ) = m( FDˆ E), m ( BAC ˆ ) = m( DEˆ F), prove que AC EF. 21:45 / 21:50 5 Retorno DL 2) Prove que as medianas relativas aos lados congruentes de um triângulo isósceles são congruentes. (13) Solução 1Passo a passo

14 Hipótese: BF CD, m ( ABC ˆ ) = m( FDˆ E) e m ( BAC ˆ ) = m( DEˆ F) Tese: AC EF Temos BC FD, pois BF CD e FC é comum. Pelo caso LAA o temos: Δ ABC ΔEFD, logo, AC EF. (14) Solução 2 Sendo M e N pontos médios dos lados respectivamente, temos: Passo a passo AC BC, 21:50 / 22:00 Tira 10 Dúvidas Δ ACN ΔBCM (LAL) BM = AN