AULAS 4 a 6. Ângulos (em polígonos e na circunferência)

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1 Treinamento para Olimpíadas de Matemática N Í V L 3 ULS 4 a 6 Ângulos (em polígonos e na circunferência) onceitos Relacionados Proposição 1 Se duas retas são paralelas, cada par de ângulos alternos e internos são congruentes e reciprocamente. transversal r paralelas β s Se r//s, então = β Proposição 2 soma das medidas dos três ângulos internos de um triângulo é = 180 Proposição 3 medida de um ângulo eterno de um triângulo é igual a soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. β β = + Proposição 4 soma das medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é β = 90 β SISTM NGLO NSINO 1 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

2 Proposição 5 Qualquer ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos lados do ângulo. d bissetriz d = e d = d Proposição 6 Triângulos isósceles Se dois lados de um triângulo são congruentes, os ângulos opostos a estes lados são congruentes e reciprocamente. Proposição 7 Se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é perpendicular ao raio no ponto de tangência. I raio T ponto de tangência tangente a circunferência T IT Proposição 8 Ângulos na circunferência (inscrito e central) = = 1 2 Proposição 9 Na mesma circunferência ou em circunferências congruentes, arcos congruentes tem cordas congruentes e reciprocamente. Se =, então = Proposição 10 soma dos ângulos internos de um Polígono onveo de n lados é 180 (n 2). ssim uma soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360. SISTM NGLO NSINO 2 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

3 Proposição 11 Um quadrilátero cíclico(inscrito) é um quadrilátero com todos os seus vértices pertencentes à uma mesma circunferência. Os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico são suplementares. recíproca também é verdadeira + = 180 m lasse 1. (Treinamento OMP) Na figura, os dois triângulos e são eqüiláteros. Qual é o valor do ângulo? a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º 75º H º G 65º 2. (Olimpíada olombiana) Na figura ao lado, tem-se : =, = = 2cm e = 36º. medida, em cm, do segmento é igual a a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 3,5 e) 4 3. (OMP) Na figura = 48º e os triângulos, e são isósceles de bases, e, respectivamente. Sabendo que, e são colineares, calcule a medida, em graus, do ângulo? a) 36º b) 40º c) 42º d) 48º e) 58º 48º 4. (Olimpíada mericana) Na figura ao lado temos um quadrado e dois triângulos eqüiláteros, todos com a mesma medida de lado. Podemos afirmar que: a) + +, em graus, é igual a 140º. b) + +, em graus, é igual a 150º. c) + +, em graus, é igual a 160º. d) + +, em grau, é igual a 170º. e) Os pontos, e são colineares. SISTM NGLO NSINO 3 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

4 5. (OM) Na figura abaio temos um pentágono regular, um quadrado e um triângulo eqüilátero, todos com a mesma medida de lado. Q R P medida, em graus, do ângulo Q é a) 130º d) 150º b) 136º e) 174º c) 140º S T 6. (OLIMPI URUGUI) Na figura abaio temos quatro circunferências de mesmo raio r, e centros,, e. I G 80º Os pontos,,,, são colineares, tais que = = = = r. Os pontos, G e I pertencem as circunferências de centros,, e respectivamente. Se a medida do menor arco da circunferência de centro é 80º, então a medida, em graus, do ângulo I é a) 5º d) 20º b) 10º e) 40º c) 15º 7. (Olimpíada Peruana) Na figura abaio, O é centro de uma circunferência λ de diâmetro. e são respectivamente as medidas dos lados de um heágono e um eneágono regulares inscritos em λ. M é ponto médio do arco. N ponto de intersecção das retas M e. Q ponto de intersecção das retas e M. P ponto de intersecção das retas M e. P λ O N β γ Q M Sabendo que = 5, = = 4, medida, em graus, do ângulo P, β medida, em graus, do ângulo N e γ medida, em graus, do ângulo, podemos afirmar que: a) = 3; = 35º, β = 55º e γ = 50º b) = 3; = 25º, β = 75º e γ = 60º c) = 4; = 25º, β = 85º e γ = 50º d) = 4; = 45º, β = 90º e γ = 40º e) = 2; = 50º, β = 95º e γ = 50º SISTM NGLO NSINO 4 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

5 m asa 1. (OM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura. 75º 30º 126º Qual a medida do ângulo? a) 39º d) 44º b) 41º e) 46º c) 43º 2. (OM) Na figura, o lado do triângulo eqüilátero é paralelo ao lado G do quadrado G. G Qual é o valor, em graus, do ângulo? a) 80 d) 110 b) 90 e) 120 c) (Treinamento OMP) No triângulo KLM temos KL = KM, KT = KS e LKS = 30. K T L Qual a medida, em graus, do ângulo T ŜM? a) 10 d) 25 b) 15 e) 30 c) 20 S M 4. (OLIMPÍ ITLIN) Na figura abaio representa um pentágono regular e P um triângulo eqüilátero. Qual é a medida do ângulo P? a) 45 b) 54 c) 60 d) 66 e) 72 P SISTM NGLO NSINO 5 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

6 5. (OLIMPÍ ITLIN) onsiderando que no círculo da figura abaio, o ângulo  mede 35 e que é um diâmetro, podemos afirmar que o ângulo Ĉ mede O a) 35º d) 55º b) 45º e) 60º c) 50º 6. (OM) figura mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de + y em graus? a) 270 d) 360 b) 300 e) 390 c) 330 y 7. (OLIMPÍ MRIN) No trapézio de lados paralelos e, a diagonal e o lado tem igual comprimento. Se o ângulo Ĉ mede 110 e o ângulo ˆ mede 30, então a medida, em graus, do ângulo ˆ é a) 80 d) 110 b) 90 e) 120 c) (OLIMPÍ USTRLIN) etermine, em graus, o valor de S: v S = u + v + w u w a) 90 d) 150 b) 90 e) 180 c) 120 SISTM NGLO NSINO 6 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

7 9. (Treinamento para Olimpíada olombiana) é um triângulo. é um ponto do lado tal que = 2 e = 1. Sabendo que: = 45º e = 60º. medida, em graus, do ângulo ˆ é a) 55 d) 75 b) 60 e) 90 c) (Treinamento para Olimpíada anadense) Na figura abaio, Q = Q = 10, Q = 20 e Q = 100. ntão, a medida, em graus, do ângulo ĈQ é a) 10 d) 25 b) 15 e) 30 c) (OM) onstrói-se o quadrado XY sobre o lado do heptágono regular G, eteriormente ao heptágono. etermine a medida do ângulo ˆX, em radianos. (π radianos equivale a 180 ) a) b) c) d) e) π 7 3π 7 π 14 3π 14 3π Q (OM) Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de 252, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura será obtida? a) d) b) e) c) SISTM NGLO NSINO 7 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

8 13. (OM) Na figura, quanto vale? a) 6 b) 12 c) 18 d) 20 e) (OM) Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M e N. reta LM corta a reta PQ em R. Se LM = LN e a medida do ângulo PNL, em graus, é, com 60, quanto mede o ângulo LRP? L M P N R Q a) d) 90 2 b) e) c) (OLIMPÍ MRIN) Na figura abaio, é um pentágono regular. P é um ponto interno a este pentágono de modo que P = 48 e P = 42, nestas condições a medida do ângulo P, em graus, é a) 132 b) 148 c) 150 d) 160 e) P (OLIMPÍ RGNTIN) Seja um triângulo tal que =. Seja um triângulo tal que =. Seja perpendicular a. Nestas condições, sendo e y medidas, em graus, dos ângulos e respectivamente (figura), podemos afirmar que + y = y a) 130 d) 150 b) 135 e) 155 c) 145 SISTM NGLO NSINO 8 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

9 17. (OLIMPÍ ITLIN) Um triângulo eqüilátero é construído por pontos (vértices), e pertencentes aos lados, e, respectivamente, de um triângulo. Se β e são medidas, em graus, dos ângulos e respectivamente, determinados por esta construção conforme figura abaio, e = 46, então β = 46 β a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) (OLIMPÍ ITLIN) ado os ângulos Â, ˆ,Ĉ e ˆ, quanto vale a soma Ê + ˆ? a) Â + ˆ + Ĉ + ˆ ˆ + ˆ + ˆ + ˆ b) 2 c) 360 Â ˆ Ĉ ˆ d) Â + ˆ Ĉ ˆ e) nenhuma das alternativas. 19. (OLIMPÍ ITLIN) é um triângulo retângulo em, não isósceles e é o ponto de interseção da circunferência de diâmetro com a hipotenusa. Qual das afirmações abaio é falsa? a) = 2 b) = c) divide o ângulo ao meio. d) divide o segmento ao meio. e) = SISTM NGLO NSINO 9 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

10 20. (OLIMPÍ ITLIN) m um triângulo, retângulo em, traçam-se as bissetrizes internas e, conforme figura abaio. Sendo e G projeções ortogonais de e sobre a hipotenusa, respectivamente, podemos afirmar que a medida, em graus, do ângulo G, é G a) 20 d) 50 b) 30 e) 16 c) (OLIMPÍ NNS) é um quadrilátero conveo tais que = = 1, = 80 e = 140, então = 1 a) b) 1 3 c) 2 d) e) (OLIMPI RGNTIN) Na figura, é um triângulo retângulo em. é um triângulo retângulo em. = 2. e = 18º, podemos afirmar que a medida, em graus, do ângulo é a) 30º b) 36º c) 40º d) 54º e) 60º SISTM NGLO NSINO oordenação Geral: Nicolau Marmo; oordenação do TOM: Marco ntônio Gabriades; Supervisão de onvênios: Helena Serebrinic; Nível 3: ntonio arlos ROSSO Junior, GLNN lbert Jacques Van mson, Luís ntonio PON lonso, RORTO Miguel l Jamal; Projeto Gráfico, rte e ditoração letrônica: Gráfica e ditora nglo Ltda; SISTM NGLO NSINO 10 Treinamento para Olimpíadas de Matemática