1.10 Sistemas de coordenadas cartesianas

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1 7 0 Sistemas de coordenadas cartesianas Definição : Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um v v conjunto formado por um ponto e uma base { } v3 Indicamos um sistema de coordenadas cartesianas no espaço por v v { } v 3 ponto é chamado origem do sistema e os eixos que passam por e tem as direções de v v e v 3 respectivamente são chamados de eixo das abscissas eixo das ordenadas e eixo das cotas v3 Consideremos um sistema de coordenadas cartesianas { v v } e seja P um ponto arbitrário do espaço Chamamos coordenadas do ponto v v as coordenadas do vetor P P em relação ao sistema { } v 3 ou seja se P = ( a a ) então P ( a a ) a 3 a 3 s números a a a 3 são denominados abscissa ordenada e cota do ponto P respectivamente Exemplo : Na figura ao lado temos: P = v + v + v3 ou seja P = e daí P v 3 Eixo das cotas P Q = 0 daí Q 0 3 R = 0 0 daí R = = ( 000) daí (000) R v v Eixo das abscissas Q Eixo das ordenadas

2 8 Propriedades: v3 e dados v = (a b c) (x y z) e Q(x y z ) temos as seguintes propriedades: Fixado um sistema de coordenadas { v v } P QP = (x x y y z z ) + v = (x + a y + b z c) P + x + x y + y z + z 3 ponto médio de PQ é o ponto M Prova: Para demonstrarmos esta propriedade escrevemos o vetor linear dos vetores QP como combinação Q e P ou seja Q P QP = Q+ P = ( x y z ) + (x y z) = (x x y y z z ) Utilizando a definição de soma de um ponto com um vetor temos que P = v ssim o vetor = P+ P = (x + a y + b z + c) Logo (x + a y + b z c) + P v 3 Podemos demonstrar a propriedade 3 escrevendo M = Q + QM = Q + QP Representando os vetores Q e QP através de suas coordenadas obtemos: M = (x y z) + (x x y y z z ) x + x y + y z + z Logo M Q M P

3 9 Exemplo : Consideremos o paralelogramo BCD onde (0) B( ) C(0 ) Desejamos determinar as coordenadas dos vetores B e BC do vértice D e do ponto médio de B C plicando as propriedades anteriores temos: B = ( 0 ) = (0 0) BC = ( 3 4) D = + D = + BC = (03 ) médio de B é M( / ) e o ponto D M B

4 0 CPÍTUL II PRDUTS Produto escalar Definição : Dados dois vetores u e v não nulos e escolhido um ponto qualquer podemos escrever: = + u e B = + v Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo B e B determinado pelas semi-retas v B u Indicamos B = ( u v) onde 0 ( u v) π bservemos que se ( u v) = 0 os vetores u e v (u v) = π estes vetores têm sentidos contrários têm mesmo sentido e se Definição : Sejam u e v vetores não nulos produto escalar de u por v indicado por u v é o número real u v = u v cos(u v ) Se um dos vetores for nulo temos u v = 0 Exemplo Considerando o quadrado seguinte cujo lado mede u temos: ) B BC = B BC cos 90º = 0 ) B C = B C cos 45º = = 4 3) B CD = B CD cos80º = 4 D C B

5 Definição 3: Sejam u um vetor não nulo e v um vetor qualquer u v vetor v se exprime de maneira única na forma v = v + v onde v é paralelo a u e v é ortogonal a u Chamamos o vetor v de v projeção de v na direção de u u v Indicamos proj uv = v v Interpretação geométrica do produto escalar Se v é um vetor qualquer e u um vetor unitário então v proj = u v = (v u)u De fato como v // u temos v = t u Basta mostra que v u = t Para isso consideremos os casos a seguir: () u B Em () o ângulo θ = (u v) é agudo Nesse caso temos t > 0 e daí v = t u = t v Por outro lado como o triâmgulo BC é θ C retângulo em podemos escrever: v = v = v cosθ = v u cos θ = v u t Em () o ângulo θ = (u v) é obtuso Nesse caso temos t < 0 e daí () u v = t u = t lém disso o ângulo v (u v) = π θ Considerando então o θ triângulo retângulo EFG temos: E v t = v = v cosθ = v u cos θ = v u cos( π θ) = v u G F

6 Se 0 u temos proj u o o o v v = proj = (v u ) u Chamamos u v u o a medida algébrica da projeção de v na direção de u e indicamos med alg proj v u Exemplo : Dados u o v = 6 e (u v) = 60º temos que : med alg proj o o u v = v u = v u cos 60º = 6 = 3 o Daí proj u v = 3u Exemplo 3: Dados a o b = 8 e (a b ) = 0 temos que : med alg proj a b = b a = b a cos0 = 8 = 4 Daí proj a b = 4a Propriedades do produto escalar v u = u v u v = 0 u v 3 u u = u 4 t ( v u ) = (t v ) u = v (t u ) 5 u ( v + w ) = u v + u w Nas propriedades acima u v e w são vetores quaisquer e t é um número real s quatro primeiras propriedades decorrem diretamente da definição do produto escalar Faremos a seguir a prova da propriedade 5

7 3 Se um dos vetores for nulo a verificação é imediata Consideremos na figura ao lado os vetores u v e w não nulos e os pontos B e C tais que: v v + w w u B C = + v B = + w e C = + u Inicialmente observamos que: med alg proj u (v + w) = med alg proj u v + med alg proj u w u seja ( v + w ) u = vu + w u Daí ( v + w )( u u ) = v ( u u ) + w ( u u ) Então ( v + w ) u = v u + w u Pela propriedade temos: u ( v + w ) = u v + u w Expressão cartesiana do produto escalar Fixada uma base ortonormal { i j k } e dados os vetores u = (x y z) e = (x y z ) temos: v = ( xi y j z k + u v = (x + (z x x + ) ( x i + y j + zk ) = )i i + (xy )i j + (xz )i k + (yx ) j i + (y )k i + (z y )k j + (z z )k k y ) j j + (y Como { i j k } é uma base ortonormal seus vetores satisfazem às relações: i j = j k = k i = 0 ssim a expressão acima se reduz a: e i i = j j = k k = u v = xx + yy + zz z ) j k +

8 4 bservamos então que: ) u = u u = x + y + z Daí u = x + ) v u v = x x + y y + z z 0 ou seja u = u ^ v x x + yy + zz = 0 + y z Daqui em diante o sistema considerado será o ortonormal exceto quando se explicitar o contrário Exemplo 4: Dados os vetores u = ( ) ) u v = = 6 e v = (0) temos: ) u = = 9 = 3 u 3) u = = () = u u v 6 4) cos( u v) = = = u v 3 5) u w sendo w = (0 ) logo ( u v) = 45 pois u w = 0 6) proj u v = (v u )u = (0) = = = ) med alg proju v =

9 5 Cossenos diretores de um vetor Fixada uma base ortonormal { i j k } chamamos cossenos diretores de um vetor v o os cossenos dos ângulos que v forma com os vetores desta base Considerando v = (x y z) α = (v i) β = (v j) e γ = (v k) temos: v i x v j y v k z cos α = = cosβ = = e cos γ = = v i v v j v v k v v Como v = segue daí que v = (cos a cos b cos g) v Daí cos a + cos b + cos g = Chamamos a b e g ângulo diretores de v Exemplo 5: Dados cos(v i) = cos α = cos(v j) = cosβ = 0 (v k) obtuso e v = 5 temos: ) cos γ = cos α cos β = 0 = Logo cos γ = ) v = v v = = 0 5