Triângulos e suas medidas Trigonometria

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1 Resumos Matematik Triângulos e suas medidas Trigonometria Não é um manual escolar. Não dispensa a consulta de um manual escolar. Recomendamos a presença nas aulas e o aconselhamento com um professor. Setembro 015 Todos os direitos reservados

2 Resumos Matematik Triângulos e suas medidas - Trigonometria Pág. Triângulos... 3 Classificação de Triângulos Resolução de equações trigonométricas Quanto aos ângulos Quanto aos lados O Triângulo Rectângulo O Teorema de Pitágoras As medidas do Triângulo Trigonometria.. 9 As razões trigonométricas... 9 Valores das razões trigonométricas de ângulos fundamentais 14 Relações entre as razões trigonométricas Apêndice Formulário Pág de 16

3 Triângulos Há várias definições de triângulos. O triângulo, tal como o seu nome indica, é uma figura geométrica com três ângulos. Há quem defina triângulo como uma figura geométrica com três lados, mas não é por acaso que o nome não é trilátero, mas sim triângulo. Isto não é um triângulo Isto é um triângulo! O estudo dos triângulos ocupou muitos sábios durante muitos anos. Existem escritos sobre triângulos com mais de 300 anos! Muito provavelmente este interesse pelos triângulos resultou da necessidade de medir perímetros e áreas de propriedades agrícolas. Pode não parecer, mas ainda hoje estas disputas fazem muita gente perder a cabeça Mas vamos ao que interessa. Classificação de Triângulos Há duas classificações de triângulos: 1. Quanto aos ângulos Triângulo acutângulo Triângulo rectângulo Triângulo obtusângulo Todos os ângulos são agudos, isto é, têm mais de 0 e menos de 90 Tem um ângulo recto, isto é, tem um ângulo com 90 α=90 Tem um ângulo obtuso, isto é, tem um ângulo com mais de 90 e menos de <α<180 Pág 3 de 16

4 . Quanto aos lados Triângulo equilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno Todos os lados iguais Dois lados iguais Todos os lados diferentes As duas classificações são independentes. Por exemplo, podemos ter um triângulo rectângulo isósceles, e também podemos ter um triângulo rectângulo escaleno (como nesta última figura). O Triângulo Rectângulo Este é o mais famoso de todos os triângulos. E porquê? Porque qualquer triângulo pode sempre ser dividido em, pelo menos, dois triângulos rectângulos. Assim, se soubermos como calcular o perímetro de triângulos rectângulos, sabemos certamente como resolver o mesmo género de problemas com quaisquer outros triângulos. Um triângulo acutângulo Dividido em dois Dois triângulos rectângulos Um triângulo obtusângulo Dividido em dois Dois triângulos rectângulos Pág 4 de 16

5 Além de ser possível dividir qualquer triângulo em, pelo menos, dois triângulos rectângulos, também é possível decompor em triângulos rectângulos a generalidade das figuras geométricas cujos lados são segmentos de recta. Alguns exemplos: Um hexágono (seis lados) Dividido em seis triângulos Cada um deles dividido em dois triângulos rectângulos Um trapézio isósceles Dividido em três partes Dois triângulos rectângulos (e um quadrilátero) O triângulo rectângulo é tão famoso que os seus lados têm nomes próprios. Convém saber! Os s são os lados do ângulo de 90. O outro lado do triângulo é a. A é sempre o maior dos três lados. Os nomes dos s dependem do ângulo agudo que estamos a considerar. Pág 5 de 16

6 Relativamente ao ângulo β, temos: oposto a adjacente a Relativamente ao ângulo θ, temos: adjacente a oposto a Como em todos os triângulos, a soma das amplitudes dos três ângulos internos é sempre igual a 180. α + β + θ = 180 Uma vez que existe sempre um ângulo recto, a soma das amplitudes dos dois ângulos agudos é sempre igual a β + θ = 180 β + θ = β + θ = 90 O prolongamento de qualquer lado gera sempre dois ângulos suplementares (ângulos suplementares são aqueles cuja soma das amplitudes do ângulo interno com o respectivo ângulo externo é igual a 180 ). Isto dá um jeitão na resolução de exercícios, pois muitas vezes só temos um ângulo externo! Pág 6 de 16

7 θ + φ = 180 β + ω = 180 Basta saber um dos ângulos externos e ficamos a saber os ângulos internos todos! Exemplo: Qual a amplitude dos ângulos internos do triângulo? Resposta: θ + 10 = 180 (ângulos suplementares) θ = θ = 60 Sabendo θ, calculamos β. θ + β = β = 90 β = β = 30 O Teorema de Pitágoras Em qualquer triângulo rectângulo, o quadrado da é sempre igual à soma do quadrado dos s. h²= b²+ c² Pág 7 de 16

8 Outra maneira de ver o Teorema de Pitágoras: Se fizermos as contas, a área do rectângulo verde é igual à soma das áreas dos quadrados azul e laranja. E como se calcula a área de cada quadrado? É fácil, é só fazer a medida do lado, ao quadrado! Então, o que escrevemos na primeira frase é, em linguagem matemática, h²= b²+ c². Mas isto é o Teorema de Pitágoras! Pois é! Para que serve o Teorema de Pitágoras? Em primeiro lugar, serve para sermos civilizados. Os macacos não sabem o Teorema de Pitágoras Em segundo lugar, serve para calcular o tamanho de qualquer um dos lados do triângulo rectângulo, quando temos os outros dois. Para fazer esse cálculo recorremos a uma equação, sendo que o lado em falta é a nossa incógnita. Exemplos: Quanto mede a do triângulo? O triângulo é rectângulo? Então aplicamos o Teorema de Pitágoras! h² = 3² +4² h² = h = ± 5 h = ±5 Atendendo que h > 0, pois é um comprimento, tem-se que h = 5 A mede 5. Pág 8 de 16

9 Quanto mede o do triângulo? O triângulo é rectângulo? Então aplicamos o Teorema de Pitágoras! 5² = c² +4² 5-16 = c² c = ± 9 c = ±3 Atendendo que c > 0, pois é um comprimento, tem-se que c = 3 O mede 3. Quanto mede o do triângulo? O triângulo é rectângulo? Então aplicamos o Teorema de Pitágoras! 5² = 3² +c² 5-9 = c² c = ± 16 c = ±4 Atendendo que c > 0, pois é um comprimento, tem-se que c = 4 O mede 4. As medidas do Triângulo - Trigonometria A trigonometria nasceu com o triângulo rectângulo. Hoje aplica-se a variadíssimas áreas do conhecimento, tanto nas matemáticas puras quanto nas matemáticas aplicadas. A trigonometria relaciona o comprimento dos lados de um triângulo rectângulo com qualquer um dos seus ângulos agudos. A trigonometria permite identificar a amplitude de ângulos partindo do comprimento dos lados, ou identificar o comprimento dos lados partindo da amplitude de qualquer um dos ângulos agudos, tudo isto no triângulo rectângulo. As razões trigonométricas São seis as razões trigonométricas: 1. Seno. Co-seno 3. Tangente 4. Co-tangente 5. Secante 6. Co-secante Pág 9 de 16

10 Todas estas razões trigonométricas são relativas a um determinado ângulo agudo, que devemos identificar. No exemplo seguinte vamos indicar como se calculam as razões trigonométricas referentes ao ângulo β (nota: no cálculo das razões trigonométricas usamos os comprimentos dos lados do triângulo. No exemplo apenas nos referimos aos lados, por mera simplificação de linguagem). oposto a adjacente a Seno β Co-seno β Tangente β Co-tangente β Secante β Co-secante β cat. oposto sen β = cat. adjac. cos β = cat. oposto tg β = cat. adjac. cat. adjac. cotg β = cat. oposto sec β = cat. adjac. cosec β = cat. oposto O actual programa do 11º ano de escolaridade, aprovado pelo Ministério da Educação português, apenas refere como razões trigonométricas a estudar o seno, o co -seno e a tangente. Assim sendo, eis o que tem que ficar sabido: Seno β Co-seno β Tangente β oposto adjacente oposto sen β = cos β = tg β = adjacente Ao contrário do tamanho dos lados de triângulos semelhantes (que variam consoante o tamanho dos ditos triângulos), a amplitude dos ângulos mantém-se. E para as mesmas amplitudes de ângulos temos sempre o mesmo valor das correspondentes razões trigonométricas. Exemplos: Pág 10 de 16

11 Em triângulos semelhantes o tamanho dos lados varia de acordo com a respectiva razão de semelhança mas a amplitude dos ângulos mantém-se inalterada. α = β Se a amplitude dos ângulos se mantém inalterada, então também as razões trigonométricas se mantêm inalteradas! tg α = 3 4 tg β = 6 8 tg β = 3 4 α = β Para que servem as razões trigonométricas? Pág 11 de 16

12 Com as razões trigonométricas passamos a poder relacionar o tamanho dos lados do triângulo rectângulo com a amplitude dos seus ângulos. Passamos a conseguir calcular o comprimento dos lados partindo do conhecimento da amplitude dos ângulos, ou a calcular a amplitude dos ângulos partindo do conhecimento do comprimento dos lados. Exemplos: Sabendo que α = 36, 87, calcule o comprimento do c. Temos a amplitude de um ângulo (α), o comprimento do oposto (c) e o comprimento do adjacente (4). Qual a razão trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa razão trigonométrica é a tangente! Então, tg 36, 87 = c 4 0, 75 = c 4 4 0, 75 = c c = 3 (o valor de tg 36,87 foi aproximado às centésimas). O c mede 3. Sabendo que α = 36, 87, calcule o comprimento da. Temos a amplitude de um ângulo (α), o comprimento do adjacente (4) e o comprimento da. Qual a razão trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa razão trigonométrica é o co-seno. Então, cos 36, 87 = 4 h 0, 80 = 4 h h 0, 80 = 4 h = 4 0, 80 h = 5 (o valor de cos 36,87 foi aproximado às centésimas). A mede 5. Pág 1 de 16

13 Calcule a amplitude do ângulo α. Temos a amplitude de um ângulo (α), o comprimento do oposto ( 3) e o comprimento do adjacente (3). Qual a razão trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa razão trigonométrica é a tangente! Então, tg α = 3 3 Atendendo que α é a amplitude de um ângulo agudo, tem-se que: α = tg 1 ( 3 ) α = 30 3 Portanto, α = 30. NOTA: tg 1 representa a função inversa da tangente, também chamada arco de tangente. Podemos escrever tg 1 ou arc tg. Usa a máquina de calcular para fazeres estas contas. Cuidado com o sistema de medição de ângulos que está programado na tua máquina de calcular! Calcule a amplitude do ângulo β. Temos a amplitude de um ângulo (β), o comprimento do oposto ( 3) e o comprimento da (). Qual a razão trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa razão trigonométrica é o seno! Então, sen β = 3 Atendendo que β é a amplitude de um ângulo agudo, tem-se que: β = sen 1 ( 3 ) β = 60 Portanto, β = 60. NOTA: sen 1 representa a função inversa do seno, também chamada arco de seno. Podemos escrever sen 1 ou arc sen. Usa a máquina de calcular para fazeres estas contas. Cuidado com o sistema de medição de ângulos que está programado na tua máquina de calcular! Pág 13 de 16

14 Valores das razões trigonométricas de ângulos fundamentais Sistema sexagesimal unidade: grau Sistema circular unidade: radiano 0 π 6 π 4 π 3 π seno co-seno tangente Relações entre as razões trigonométricas Qualquer que seja o ângulo, sen α + cos α = 1 Esta é a fórmula fundamental da trigonometria. Para que serve a fórmula fundamental da trigonometria? Para calcular um co-seno quando temos um seno, ou para calcular um seno quando temos um co-seno. Exemplo: Calcule o valor do cos α sabendo que sen α = 3 Conhecemos o valor do seno e queremos saber o valor do co-seno. Como resolver? Aplicamos a fórmula fundamental da trigonometria! ( 3 ) + cos α = cos α = 1 cos α = cos α = 1 4 cos α = ± 1 4 cos α = ± 1 Portanto, cos α = 1 ou cos α = 1 Pág 14 de 16

15 Qualquer que seja o ângulo, sen α tg α = cos α Com esta fórmula e a fórmula fundamental da trigonometria conseguimos, sabendo uma razão trigonométrica, calcular qualquer outra. Exemplo: Calcule o valor do sen α sabendo que tg α = 3 Conhecemos o valor da tangente e queremos saber o valor do seno. Como resolver? Aplicamos a fórmula da tangente, em associação com a fórmula fundamental da trigonometria! sen α Sabemos que tg α =, e que cos α sen α + cos α = 1. Então, para fazer aparecer uma tangente na fórmula fundamental da trigonometria, vamos dividir tudo por cos α! 3 sen α cos α + cos α cos α = 1 cos α tg α + 1 = 1 cos α A partir daqui, e com o valor da tangente, vamos calcular o valor do co-seno. Calculado o valor do co-seno, voltamos à fórmula fundamental da trigonometria e calculamos o valor do seno. Está feito! ( 3 3 ) + 1 = 1 cos α = 1 cos α cos α = 3 4 Agora voltamos à fórmula fundamental da trigonometria para calcular o sen α! sen α = 1 sen α = sen α = 1 4 sen α = ± 1 4 sen α = ± 1 Portanto, sen α = 1 ou sen α = 1 Pág 15 de 16

16 Apêndice Formulário oposto a adjacente a sen β cos β Equação comprimento do oposto sen β = comprimento da cos β = tg β tg β = comprimento do adjacente comprimento da comprimento do oposto comprimento do adjacente Fórmula fundamental da trigonometria Variante da fórmula fundamental da trigonometria sen α + cos α = 1 sen α tg α = cos α tg α + 1 = 1 cos α Outras fórmulas úteis (não são do programa): Para qualquer triângulo Lei dos senos Lei dos co-senos (nota: o Teorema de Pitágoras é um caso particular da Lei dos co-senos, pois nesse caso α = 90 e cos 90 = 0). sen α A = sen β sen θ = B C A = B B C cos α + C B = A A C cos β + C C = A A B cosθ + B Fim Pág 16 de 16