1 SOMA DOS ÂNGULOS 2 QUADRILÀTEROS NOTÀVEIS. 2.2 Paralelogramo. 2.1 Trapézio. Matemática 2 Pedro Paulo

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1 Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA IX 1 SOMA DOS ÂNGULOS A primeira (e talvez mais importante) relação válida para todo quadrilátero é a seguinte: A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é sempre. Vamos ver isso na figura abaixo: A área de um trapézio é dada por ( ), em que h é a altura do trapézio, B sua base maior ( na figura 3) e b sua base menor ( na figura 3). Além disso, como os lados e são transversais a dois lados paralelos, os seus ângulos colaterais internos são suplementares: (ângulos colaterais internos) (ângulos colaterais internos) Temos alguns tipos especiais de trapézio: Trapézio Retângulo: Possui dois ângulos retos. Figura 1 ângulos internos de um quadrilátero Afirmamos que Não é difícil provar isso. Note que qualquer quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos por meio de uma diagonal, por exemplo: Figura 4 trapézio retângulo Trapézio Isósceles: Possui lados não paralelos iguais e ângulos da base iguais. Ou seja, no trapézio abaixo, sendo, então. Além disso, nota-se que e, logo também tem-se que. Figura 2 quadrilátero dividido em dois triângulos Assim: Soma dos ângulos do quadrilátero = Soma dos ângulos dos triângulos e 2 QUADRILÀTEROS NOTÀVEIS Nosso maior interesse estará em alguns tipos de quadriláteros com propriedades bem definidas (e que você tem que conhecer!). Chamaremos eles de quadriláteros notáveis. Hora de conhecê-los: 2.2 Paralelogramo Figura 5 trapézio isósceles O paralelogramo é o quadrilátero com dois pares de lados paralelos. Na figura abaixo, tem-se que e. 2.1 Trapézio O trapézio é o quadrilátero com um par de lados paralelos, que são chamados de bases, como está ilustrado na figura abaixo: Figura 3 trapézio Figura 6 paralelogramo Consequências: Lados opostos iguais ( e ) Ângulos opostos iguais ( e ) Ângulos consecutivos suplementares ( ) Diagonais se cortam ao meio A área do paralelogramo é base x altura. CASD Vestibulares Geometria 1

2 2.3 Losango O losango é o quadrilátero com todos os lados iguais ou congruentes. Na figura abaixo, tem-se que. Figura 7 losango ERRATA - No material de Geometria Plana II, o gabarito correto do exercício proposto 9 é, e não - No material de Geometria Plana IV, no exercício proposto 14, na terceira afirmativa, troque A soma de e dá, necessariamente, por A soma de e dá, necessariamente, - No material de Geometria Plana V, a figura do exercício proposto 10 é a seguinte: Consequências: É um paralelogramo ( e ) Diagonais perpendiculares ( ) Diagonais são bissetrizes A área do losango é, em que e são as diagonais maior e menor do losango. 2.4 Retângulo O retângulo é o quadrilátero com todos os àngulos congruentes. Como a soma dos 4 ângulos é, todos eles são retos, como está ilustrado na figura abaixo. Figura 8 retângulo Consequências: É um paralelogramo ( e ) Diagonais congruentes ( ) A área do retângulo é base x altura. 2.5 Quadrado O quadrado é o quadrilátero com todos os àngulos e lados congruentes, como está ilustrado na figura abaixo. Aqui está a versão corrigida das Dicas e Fatos que Ajudam para essa questão (o gabarito continua ) Como é perpendicular a, o ângulo central mede, logo o arco vale. Chame o ponto em que corta de e o ponto que corta novamente a circunferência de ( é diâmetro). Pelo enunciado, o ângulo vale. Note que e calcule Note que é um ângulo de vértice interior que enxerga os arcos e e calcule o arco. Como é um diâmetro, o arco mede, logo. Calcule o arco. Chame o ponto que a tangente à circunferência no ponto corta a reta. Note que o ângulo é um ângulo de vértice exterior que enxerga e. Observação: NÃO é, pois não é raio! - No material de Geometria Plana VI, no final das dicas do exercício proposto 15, a versão corrigida é Seja o ponto em que corta. Então, tem-se: é um ângulo externo ao triângulo Figura 9 quadrado Consequências: O Quadrado é um losango e um retângulo (ele tem as propriedades das duas figuras) A área do quadrado é lado x lado. As correções estão marcadas em negrito acima. - No material de Geometria Plana VII, no início da página 2, troque a primeira frase A mediatriz de um segmento é uma semi-reta que divide o ângulo ao meio. por A mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular a ele, passando pelo seu ponto médio. 2 Geometria CASD Vestibulares

3 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8. (G1 - CFTCE - 06) No paralelogramo, calcule as medidas das diagonais, de acordo com a figura a seguir. 1. Determine o valor de : a) b) c) d) Dados: ; ; ; 9. (UERJ - 00) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) losango b) trapézio c) retângulo d) quadrado 2. Se é trapézio de bases e, determine e. a) b) 10. Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana VI Nível II 11. Classifique em verdadeiro ou falso. 3. Sendo um paralelogramo, determine o ângulo. a) Todo retângulo é paralelogramo b) Todo paralelogramo é retângulo c) Todo quadrado é retângulo d)todo retângulo é quadrado e) Todo paralelogramo é losango f) Todo quadrado é losango g) Um quadrilátero que as diagonais se cortam ao meio é paralelogramo h) As diagonais do losango se cortam ao meio 12. Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana VII 13. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana VI 14. Atividade Proposta nº 2, Geometria Plana VIII 4. (UNIFESP - 02) Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão.o ângulo menor desse paralelogramo mede 15. é trapézio de bases e. Se e são bissetrizes, determine e o ângulo a) b) c) d) e) 5. Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana XIV 6. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana XIV 7. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana XIV 16. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana XII 17. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana XIV CASD Vestibulares Geometria 3

4 18. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana XII 19. Determine a área dos trapézios a) b) 24. O perímetro de um losango é de cm. Calcule a medida de sua área, sabendo que a sua diagonal maior vale o triplo da menor. 25. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana XIV 26. Um fio de de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro. c) a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio? b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados? 27. (FUVEST - 97) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de + é: 20. (FUVEST - 00) Um trapézio retângulo tem bases e e altura. O perímetro desse trapézio é: a) b) c) d) e) 21. (UFMG - 06) Esta figura representa o quadrilátero : a) b) c) d) e) 28. Atividade Proposta nº 2, Geometria Plana XIV 29. Atividade Proposta nº 3, Geometria Plana XIV Sabe-se que - e ; - o ângulo mede ; e - o segmento é perpendicular aos segmentos e. Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento é 30. (UFMG - 97) Observe a figura. a) b) c) d) 22. No trapézio isósceles, é conhecido que a medida da base maior é o dobro da medida da base menor, e que o ângulo mede. Se a medida da base é, deternine, em a área do trapézio. Nessa figura, e é: representa um quadrado de lado. O perímetro do quadrilátero a) b) c) d) 31. Do trapézio da figura, sabe-se que e. Qual o valor do ângulo 23. (G1 - IFSC - 11) O perímetro de um losango é e uma diagonal mede. A outra diagonal mede: a) b) c) d) e) 4 Geometria CASD Vestibulares

5 32. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana XIV 33. Atividade Proposta nº 9, Geometria Plana XIV 34. (FUVEST - 01) Na figura a seguir, os quadrados e têm, ambos, lado e centro. Se, qual o valor de? DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é. No item 1d) note que o triângulo é isósceles, logo. Além disso, o ângulo é externo ao triângulo, logo a) b) c) d) e) 2. Em qualquer trapézio, os ângulos colaterais internos são suplementares. 3. Um paralelogramo possui ângulos opostos de mesma medida. Lembre-se que o problema pede o valor de, e não o de 4. Um paralelogramo possui ângulos internos consecutivos suplementares. 5. Como o quadrado tem área, o seu lado é. Como o quadrado tem área, o seu lado é. Assim, o lado do quadrado é e a sua área é 35. Atividade Proposta nº 7, Geometria Plana XIV 36. (UDESC - 09) No paralelogramo, conforme mostra a figura, o segmento é a bissetriz do ângulo. 6. Se a área de um quadrado é, o seu lado é 7. A área de cada cédula é. Ao todo, são cédulas, logo a área total é. Além disso, lembre-se que equivale a. Então a área total é ( ) 8. Em um paralelogramo, as diagonais se cortam ao meio. 9. Lembre-se que um losango tem todos os ângulos iguais, mas não tem todos os ângulos iguais (quem tem todos os ângulos iguais é o retângulo) Sabendo que e, então o valor do perímetro do paralelogramo é: a) b) c) d) e) 37. Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana III 38. Sejam um quadrado, um triângulo equilátero interior e um triângulo equilátero exterior. Quanto mede o ângulo? 10. Como é o ponto médio de, é o ponto médio de e é o ponto médio de. Assim, é base média do triângulo de base. Então, isto é, os triângulos, e são todos equiláteros. 11. Para cada quadrilátero, preste antenção nas consequências indicadas na teoria. 12. Seja o ponto em que corta. Como é um retângulo, as suas diagonais são iguais e se cortam ao meio. Assim,, logo o triângulo é isósceles de base. Logo. é ângulo externo ao triângulo CASD Vestibulares Geometria 5

6 13. Como é um quadrado, as suas diagonais são bissetrizes. Assim,. Seja. Logo:, então é um triângulo isósceles de base 16. Como a semicircunferência tem raio igual a, a sua área é O diâmetro da semicircunferência é e é um cateto do triângulo retângulo. Logo a área do triângulo retângulo é Usando o Teorema de Pitágoras, tem-se que a hipotenusa do triângulo retângulo é Como é um quadrado, as suas diagonais são perpendiculares. Então. Logo: Note que a base maior do trapézio é, a base menor é e a sua altura é. Então a sua área é: ( ) 14. Seja o ponto em que corta. Como é um retângulo, as suas diagonais se cortam ao meio, logo é ponto médio de. Assim, é uma mediana do triângulo. Como é o ponto médio de, é uma mediana do triângulo. Como e se cortam em, é o baricentro do triângulo. Logo Então, a área total da figura é. Como, equivale a, a área total é. Como o metro quadrado é avaliado em, o valor da área é Assim, cada uma das famílias receberá Como é um triângulo equilátero,. Além disso,. Logo: 17. A figura do problema é a seguinte: 15. Como é um trapézio, os ângulos e são suplementares. Então: Como é uma bissetriz, tem-se: Como o triângulo é retângulo, tem-se: Como é um trapézio, os ângulos e são suplementares. Então: Como é uma bissetriz, tem-se: A área do semicírculo de raio é metade da área do círculo de raio. Logo a área original da superfície do palco era ( ) ( ) 6 Geometria CASD Vestibulares

7 18. A figura do problema é a seguinte: 23. A figura do problema é a seguinte: Baixe a altura a partir do ponto, formando o trtiângulo retângulo. Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo : A base maior do trapézio é, a base menor é e a altura é. Então: Como o losango possui os quatro lados iguais e o seu perímetro é, cada lado vale. Seja o ponto em que as diagonais e se cortam. Como as diagonais são perpendiculares, o triângulo é retângulo. Se é a diagonal que mede,, pois as diagonais se cortam ao meio. Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo : ( ) ( ) 19. a) Baixe a altura formando um triângulo retângulo como a figura da questão 18 e use o Teorema de Pitágoras para calcular a altura. b) Baixe duas alturas a partir dos vértices da base menor, formando dois triângulos retângulos como a figura da questão 17. Note que os dois triângulos retângulos têm a mesma base e use o Teorema de Pitágoras para calcular a altura. c) Baixe a altura formando um triângulo retângulo como a figura da questão 18 e use a trigonometria para calcular a altura. 24. Desenhe as duas diagonais do losango, como a figura da questão 24. Note que se a diagonal maior vale o triplo da menor, no triângulo retângulo formado por um lado e pelas metades das diagonais, o cateto maior vale o triplo do cateto menor. Chame o cateto menor de e use o e teorema de Pitágoras. 25. Como a área do quadrado é, o seu lado vale. Assim,. Como é ponto médio de e é ponto médio de, tem-se que. Assim, as áreas dos triângulos retângulos e são: 20. Baixe a altura formando um triângulo retângulo como a figura da questão 18 e use o Teorema de Pitágoras para calcular o quarto lado. 21. Baixe a altura a partir do ponto, formando o triângulo retângulo. Utilize, então, trigonometria para descobrir a altura do trapézio (representada pelo segmento ) e o segmento. Em seguida, determine o segmento e aplique Pitágoras no triângulo. 22. Baixe a altura a partir do ponto, formando o triângulo retângulo. Utilize, então, trigonometria no triângulo retângulo para descobrir a altura do trapézio, representada pelo segmento. 26. Sejam o lado do quadrado maior e o lado do quadrado menor. Então,. Logo: A primeira parte do fio é (o perímetro do quadrado maior) e a segunda parte é (o perímetro do quadrado menor). Então: CASD Vestibulares Geometria 7

8 27. A figura do problema é a seguinte: 29. A figura do problema é a seguinte: No triângulo retângulo, tem-se: Seja. Note que. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo, tem-se: ( ) No triângulo retângulo, tem-se: ( ) ( ) Logo,. Pelo mesma razão, Note que. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo, tem-se: ( ) ( ) 28. A figura do problema é a seguinte: Pelo mesmo motivo, Logo, e 30. Chame e note que. Então aplique Pitágoras nos triângulos,, e e calcule,, e Como,. Da mesma maneira,. Logo, é um retângulo. A área dos triângulos e é 31. Como, o triângulo é isósceles de base, logo. Além disso, como é um trapézio, tem-se que (ângulos colaterais suplementares). Então: ( ) Como, o triângulo é isósceles de base, logo: Pelo teorema de Pitágoras, tem-se que Note que (ângulos alternos internos). Logo Se é o lado de, Pelo Teorema de Pitágoras no ( ), tem-se que: ( ) ( ) Como, o trapézio é isósceles. Assim: 8 Geometria CASD Vestibulares

9 32. Seja o lado do quadrado.nesse caso, Note que o paralelogramo possui base e altura. Então a sua área é: 35. Seja. Como é paralelo a e é ponto médio de, é base média do triângulo, de base. Então: ( ) Como os triângulos,, e são todos congruentes, tem-se: ( ) De ( ) e ( ), tem-se: Logo, as regiões 1 e 2 têm a mesma área! Assim, como Miguel gasta da tinta para pintar a região 1, ele também vai ter que gastar da tinta para pintar a região Seja a área original da figura 1. Retirando a sua metade, a área da figura 2 é. Retirando um terço do resto, a área da figura é A área de é, logo. Como é ponto médio de,. Como é um quadrado, o triângulo é retângulo. Usando Pitágoras no tiângulo, tem-se: ( ) Retirando um quarto do resto, a área da figura é Usando Pitágoras no triângulo, tem-se: Retirando um quinto do resto, a área da figura 5 é De maneira geral, a área da figura n é. Assim, a área da figura 100 é Como a figura 1 é um quadrado de lado 34. Como tem lado, tem-se: Usando Pitágoras no triângulo :, tem-se: 36. Seja. Como é bissetriz de,. Note que (ângulos alternos internos). Logo. Então o triângulo é isósceles de base. Mas. Então Como é um quadrado de lado, 37. Desenhe a bissetriz do ângulo. Chame o ponto em que a bissetriz corta o lado de. Então. Note que (ângulos alternos internos). Logo. é paralelo a. Além disso, é paralelo a. Assim, o quadrilátero é um paralelogramo ( ) o triângulo é isósceles de base. CASD Vestibulares Geometria 9

10 38. A figura do problema é a seguinte: 7. D 8. As diagonais são 9. A 10. B 11. a) V b) F c) V d) F e) F f) V g) V h) V 12. D 13. D 14. B Seja o lado do quadrado. Então. Além disso, como e são triângulos equiláteros, 15. O valor de é e o ângulo é 16. A 17. B Seja o triângulo é isósceles de base Seja o triângulo é isósceles de base GABARITO 1. a) b) c) d) 2. a) b) 3. O ângulo é 4. A 5. A 6. B 18. D 19. a) b) c) 20. D 21. A 22. A área do trapézio é 23. C 24. A área do losango é 25. D 26. a) e b) e 27. D 28. D 29. E 30. D 31. O ângulo é 32. D 33. C 34. E 35. E 36. E 37. E 38. O ângulo mede 10 Geometria CASD Vestibulares

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