Revisão de Trigonometria

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1 Revisão de Trigonometria Curso: Engenharia Disciplina: Mecânica Geral Unidade de Conteúdo: Conceitos básicos Autor: Alexandre Aparecido Neves 1

2 Um pouco de história A trigonometria, vem do grego e significa: a medida dos ângulos de um triângulo, é uma parte da Matemática dedicada ao estudo das relações entre os valores dos ângulos e o comprimento dos segmentos que os determinam. A construção das grandes pirâmides egípcias motivou a criação de um grande número de conceitos matemáticos e a Astronomia foi a grande impulsionadora da Trigonometria. Historicamente, a origem dos primeiros conceitos associados a trigonometria, datam de mais de dois mil anos. O vocábulo Trigonometria foi criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus ( ), do grego trigonon (triângulo) e metron (medida). Hiparco, (astrônomo e matemático grego -190 a.c a. C.), considerado o pai da Trigonometria, ainda não usava esta terminologia. Empregou a medida da corda correspondente ao círculo de raio unitário para determinar ângulos. O desconhecimento dos números negativos, que se popularizou apenas no século XVII, dificultou o desenvolvimento da Trigonometria. O documento mais antigo conhecido sobre o assunto, data-se do século II d.c. e denominou-se Almagesto, de autoria de Ptolomeu. Afirma-se que Ptolomeu deixou o planeta Terra aos 78 anos. Este grande astrônomo grego acreditava que a Terra era o centro do Universo, ao redor da qual giravam Mercúrio, Lua, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno, em órbitas que seriam círculos perfeitos! Sua concepção foi considerada como válida até o século XVI, quando Nicolau Copérnico (astrônomo polonês /1543) a substituiu pela teoria heliocêntrica (válida até hoje) e confirmada por Galileo Galilei (físico e astrônomo italiano /1642). No final do século I, Menelau, astrônomo de Alexandria, escreveu Esferica, em que estuda sistematicamente a trigonometria esférica. Os árabes elaboraram as primeiras tabelas trigonométricas e as relações elementares entre as 2

3 razões. Tudo isso contribuiu para o desenvolvimento das técnicas de navegação. Pouco a pouco, a Trigonometria foi adquirindo o seu conteúdo atual. O estudo das funções trigonométricas recebeu um forte impulso a partir dos estudos do matemático suíço Euler (século XVIII), que, utilizando números complexos, conseguiu relacionar as funções trigonométricas com as funções exponenciais e as funções logarítmicas. Triângulo Retângulo É um triângulo que possui um ângulo reto, isto e, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, então a soma dos outros dois ângulos medirá 90º. Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90º, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares. Os lados de um triângulo retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos. Para facilitar e padronizar o estudo da Trigonometria, vamos adotar as seguintes notações: 3

4 Lado Vértice= ângulo Medida a - A= Ângulo reto A=90º Hipotenusa b - B= ângulo agudo B<90º Cateto c - Cateto C= ângulo agudo C<90º Figura 1 Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Observe a figura anterior. Se estivermos utilizando o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C. 4

5 Exercícios de aplicação Agora vamos verificar o entendimento do conteúdo abordado até esse instante. Resolva os exercícios a seguir: 1. Para cada caso abaixo, determine o que está sendo solicitado: a) Qual é o cateto oposto a A? b) Qual é o valor da hipotenusa? c) Qual é o cateto adjacente a C? A 5 3 B 4 C 2. a) Qual é o cateto oposto a B? b) Qual é o valor da hipotenusa? c) Qual é o cateto adjacente a C? 12 A 5 B 13 C 5

6 Razões trigonométricas Considere um triângulo retângulo BAC, conforme a Figura 2: C b a A c B Figura 2 Hipotenusa: BC = a Catetos: Ângulos: AC = b AB = c Â,Bˆ, Ĉ Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: Seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Seno Ĉ c a Seno Bˆ Cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Cosseno Ĉ b a Cosseno Bˆ Tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. Tangente Ĉ c b b a Tangente Bˆ c a b c 6

7 Exercícios de aplicação 1. Para cada triângulo, determine o que é solicitado: a) Qual é o valor de seno C? b) Qual é o valor de tangente B? C 8 10 A 6 B c) Qual é o valor de seno C? d) Qual é o valor de cosseno de A? C B 10 A 7

8 Teorema de Pitágoras Pitágoras enunciou: Para qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Observe a figura: a 2 +b 2 a c a 2 b b 2 Para exemplificar melhor, 25 Figura 3 9 Área do quadrado de um cateto Área do quadrado do outro cateto + = Área do quadrado da hipotenusa = = Figura 4 Daí temos: (Hipotenusa) 2 = (cateto oposto) 2 + (cateto adjacente) 2 8

9 Exercícios de aplicação Utilizando o Teorema de Pitágoras, calcule o valor de x em cada caso abaixo: a) x b) 1 x 10 9

10 Resolução de triângulos com ângulos conhecidos (o uso da calculadora) Em muitos casos, para a resolução dos triângulos é necessário conhecermos pelo menos o valor de um ângulo e a partir daí, proceder a solução do triângulo. Com o auxílio de uma calculadora científica, podemos encontrar os valores de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Para facilitar o trabalho, encontra-se disponível no BlackBoard junto deste arquivo, uma planilha desenvolvida em Excel com o nome Calculadora Trigonométrica e que vamos aprender a utilizá-la a partir de agora. Figura 5 - Tela da Calculadora Passos: 1. Seguindo o procedimento descrito na planilha, digite o valor correspondente ao ângulo; 10

11 Figura 6 2. Após digitar o valor do ângulo na célula verde, clique no botão correspondente: seno, cosseno, tangente; Figura 5 - Tela da Calculadora 3. No caso do exemplo, o valor do cosseno de 30º é igual a 0,8660. Exemplo Para o triângulo abaixo, calcule o valor de x: Solução comentada: 1º passo: Devemos identificar qual é o valor da hipotenusa: Nesse exercício, hipotenusa é igual a 6. 11

12 2º passo: Identificamos pelo ângulo dado, qual é o cateto oposto: Nesse exercício, cateto oposto é igual a x. 3º passo: Qual é a razão trigonométrica que relaciona hipotenusa e cateto oposto? a) seno = cateto oposto/hipotenusa; b) cosseno = cateto adjacente/hipotenusa; c) tangente = cateto oposto/cateto adjacente/ A razão trigonométrica que relaciona cateto oposto e hipotenusa é seno. 4º passo: Montamos a razão trigonométrica; sen catetooposto hipotenusa 5º passo: Substituindo os valores; sen 30º x 6 6º passo: Determina-se o valor de seno de 30º, com o uso da calculadora; 0,5 x 6 7º passo: Determina-se o valor x, com uma multiplicação; x x 6*0,5 3 12

13 Com o que foi estudado até aqui, você deve resolver os exercícios referentes ao arquivo Exercícios de Trigonometria Básica, para dar continuidade ao conteúdo da disciplina de Mecânica Geral. Ao surgir dúvidas, envie uma mensagem ao seu tutor para esclarecimento e acesse o Fórum de Discussões pois, sua dúvida também pode ser a dúvida de um outro aluno. Bom trabalho Professor Alexandre 13