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1 VTB 008 ª ETAPA Solução Comentada da Prova de Matemática 0 Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 00 alunos Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação Dentre os que ficaram em recuperação, 70% foram aprovados Determine o percentual de alunos aprovados nessa disciplina Aprovados por média: M =30 Ficaram em recuperação: R=70 Aprovados na recuperação: M =70 0,7=49 Total de aprovados: M=30 49=79 Como a turma tinha 00 alunos, o percentual de aprovados na disciplina foi de79% 0 A matriz quadrada A de ordem 3 é tal que A = A) Calcule A 3 I, em que I é a matriz identidade de ordem 3 B) Sabendo-se que A cumpre a propriedade A 3 3 A = I, determine a matriz inversa de A A) Calcule A 3 I, em que I é a matriz identidade de ordem 3 A 3 I= = B) Sabendo-se que A cumpre a propriedade A 3 3 A= I, determine a matriz inversa de A Como A 3 3 A = I; fatorando o membro esquerdo dessa igualdade por A, temos a expressão A 3 I A= I Daí, segue que A 3 I A=I Da mesma forma, fatorando por A, chegamos a A A 3 I =I Isso implica que A = A 3 I Pelo item anterior, obtemos: A = Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos CCV/UFC/Vestibular 008 Matemática Pág de 5

2 03 Os lados a, b, e c do triângulo ABC são opostos aos ângulos internos α, β e γ, respectivamente, e as medidas, em graus, dos ângulos α, β e γ estão, nessa ordem, em progressão aritmética com razão positiva A) Determine a medida do ângulo β B) Sabendo-se que a medida do lado a é a metade da medida do lado c, determine as medidas dos ângulos α e γ Solução A) Determine a medida do ângulo β Se a razão da progressão aritmética é r 0, temos α=β r e γ=β r Visto que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 80 0, concluímos, imediatamente, que β=60 o B) Sabendo-se que a medida do lado a é a metade da medida do lado c, determine as medidas dos ângulos α e γ Pela Lei dos co-senos, temos b =a c ac cos60 o Substituindo os valores a= c e o cos 60 =,obtemos a relação b = 3 4 c Pela Lei dos senos, temos sen β b = sen γ c Substituindo os valores b= 3 c e sen β= 3, chegamos a sen γ=, ou seja, γ=90 o Como os ângulos estão em progressão aritmética, concluímos que α=30 o Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até quatro pontos, e o B vale até seis pontos 04 Considere o conjunto de dígitos C = {,, 3, 4, 5, 6} A) Dentre todos os números naturais com quatro dígitos que se pode formar utilizando somente elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 4 B) Dentre todos os números naturais com três dígitos distintos que se pode formar utilizando somente elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 3 A) Um número natural com mais de um dígito é múltiplo de 4 se, e somente se, ele termina em 00 ou quando o número natural formado pelos dois últimos dígitos da direita é divisível por 4 Sendo assim, os números naturais de quatro dígitos, abcd, múltiplos de 4 com a, b, c e d C devem terminar em, 6, 4, 3, 36, 44, 5, 56 ou 64 Como podemos escolher qualquer um dos seis dígitos em C para a e qualquer um dos seis dígitos em C para b, dentre os números considerados existem 6 9=34 múltiplos de 4 B) Em revisão Pontuação: A questão vale dez pontos, sendo que cada item vale até cinco pontos CCV/UFC/Vestibular 008 Matemática Pág de 5

3 05 Dada a reta r : y = x do plano cartesiano xy, determine a equação da reta s, a qual é paralela à r, e está, de r, a uma distância igual a e não intercepta o quarto quadrante do plano cartesiano Solução A equação procurada da reta tem a forma s : y=x b com b 0, pois ela é paralela à reta r : y=x e não intercepta o quarto quadrante A distância do ponto P 0,b para a reta r é igual a, portanto b= sec α= tg α = = 5 Daí, segue a equação da reta s, s : y=x 5 06 Calcule o valor numérico da expressão log tg 5 log 3 tg 0, em que log indica o logaritmo na base 0 e tg indica a tangente do ângulo Observe que os ângulos são complementares, = e cos = sen e sen = cos Sendo assim, CCV/UFC/Vestibular 008 Matemática Pág 3 de 5

4 Essas igualdades implicam que 3 tg = tg 5 0 Agora, utilizando as propriedades do logaritmo, podemos calcular o valor pedido, log tg 5 log 3 tg 0 =log tg 3 tg 5 0 =log =0 07 As arestas de um cubo medem unidade de comprimento Escolhido um vértice V do cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo que as arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas nas arestas do cubo (como descrito na figura) e tenham a mesma medida, x= VA = VB = VC, com 0 x A) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x B) Considere a esfera inscrita nesse cubo Determine o valor de x para que o plano determinado pelos pontos A, B e C seja tangente a essa esfera A) Considerando a face ABV do tetraedro como a sua base, a altura fica sendo a aresta VC Como ABV é um triângulo retângulo com medida dos catetos igual a x e a medida da altura é x= VA, então área ABV = x x e o volume é vol VABC = 6 x3 B) Calculemos o volume desse tetraedro considerando o triângulo eqüilátero ABC de lados x como a base Seja x o o valor procurado Sendo assim, área ABC = x o x o 3 = 3 x o O dobro da medida h da altura do tetraedro em relação ao vértice V será a medida da diagonal l do cubo menos a medida d do diâmetro da esfera Pelo Teorema de Pitágoras, l= 3, e pelo fato de a esfera ser inscrita ao cubo, temos d= Logo, h= 3 Calculando o volume do tetraedro, chegamos a vol VABC = 3 6 x 3 o Pelo item anterior, podemos escrever a igualdade 3 6 x 3 o = 6 x 3 o 3 3 Resolvendo essa equação, encontramos o valor x o = Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos CCV/UFC/Vestibular 008 Matemática Pág 4 de 5

5 08 Os números a, b, c e d são reais Determine os coeficientes do polinômio P(x) = ax 3 + bx + cx + d, sabendo-se que o polinômio Q(x) = ax + bx + divide P(x) e que P(a) = Q(a) = a 0 Efetuando a divisão de P x por Q x concluímos que P x =Q x x c x d Por hipótese, Q x divide P x, logo, devemos ter c= e d=0 Reescrevamos os polinômios: {P x =ax 3 bx x Q x =ax bx Da condição P a =a, chegamos à igualdade a a b =0, de onde segue que b= a Substituindo o valor de b no coeficiente de Q (x) e reescrevendo esse polinômio, obtemos Q x =ax a x Novamente, pela hipótese Q a =a, obtemos o valor a=, e, conseqüentemente, b= Pontuação: Até dez pontos CCV/UFC/Vestibular 008 Matemática Pág 5 de 5

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