Sendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível por Q(x) = x 3, o resto de sua divisão por D(x) = x 5 é

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1 Questão 01) O polinômio p(x) = x 3 + x 2 3ax 4a é divisível pelo polinômio q(x) = x 2 x 4. Qual o valor de a? a) a = 2 b) a = 1 c) a = 0 d) a = 1 e) a = 2 TEXTO: 1 Para fazer um estudo sobre certo polinômio P(x), um estudante recorreu ao gráfico da função polinomial y = P(x), gerado por um software matemático. Na figura, é possível visualizar-se a parte da curva obtida para valores de x, de 5 até 2,7. Questão 02) Sendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível por Q(x) = x 3, o resto de sua divisão por D(x) = x 5 é 01) 22 02) 34 03) 40 04) 56 1

2 05) 60 Questão 03) Em uma maratona de conhecimentos, o vencedor da prova sobre expressões algébricas encontrou corretamente o resto da divisão do polinômio x 10 + x 9 + x x 9 por x 2 1. Esse resto é 01. 5x x x Questão 04) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x 4 x 3 9x 2 3x + 7 por g(x) = 2x 2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a: a) b) 3 c) d) 5 e) 5 3 Questão 05) A equação x 5 = 8x 2 possui duas raízes imaginárias, cuja soma é a) -2. b) -1. c) 0. d) 1. e) 2. Questão 06) O resto da divisão do polinômio 2

3 x f = 3 x 1 0 por g = x 2 1 é 2 1 x 1 a) 6x 3 b) 6x + 3 c) 3x 6 d) 6x e) 3 Questão 07) Na divisão do polinômio P(x) por x - 3, encontramos o quociente Q(x) e resto 2. Sabendo-se que Q(7) = 10, o valor de P(7) é igual a a) 36 b) 32 c) 28 d) 42 e) 46 Questão 08) Sobre os polinômios A(x) = x 3 x e B(x) = x 1, são feitas as seguintes afirmações: I. Em um sistema cartesiano ortogonal, os gráficos A(x) e B(x) se interceptam em três pontos. II. Os dois polinômios não possuem raízes em comum. III. O resto da divisão de A(x) por B(x) é zero. IV. A soma das raízes dos dois polinômios vale 1. Associando V para as afirmações verdadeiras ou F para as falsas obtemos, respectivamente, a) I - F ; II - F ; III - V e IV V. b) I - F ; II - V ; III - F e IV V. c) I - F ; II - F ; III - V e IV F. d) I - V ; II - F ; III - V e IV V. e) I - V ; II - F ; III - V e IV F. Questão 09) Sabe-se que o polinômio f = 4x + 4x 9x x + k, no qual k é um coeficiente real, é divisível por (x 1) (2x 1). A forma fatorada de f é 3

4 a) (x 1) (2x 1) (x 2) (2x +1) b) (x 1) (2x 1) (x + 1) (2x +1) c) (x 1) (2x 1) (x + 2) (2x +1) d) (x 1) (2x 1) (x + 3) (2x +1) e) (x 1) (2x 1) (x 3) (2x +1) Questão 10) Se R(x) é o resto da divisão de x 25 + x 23 + x 2 x 1 por x 2 1, então R(2) vale: a) 1 b) 1 c) 0 d) 2 e) 2 Questão 11) Se o polinômio f = x³ - 2x² + ax + b é divisível pelo polinômio g = 2x² - x + 1, então os números reais a e b são tais que a) a + b = 2 b) c) a b a.b = = a d) = b 3 e) a = -2b Questão 12) 1 2 Sejam f e g polinômios não nulos. Se f é divisível por g e g é divisível por f, então, é correto afirmar que: a) f é igual a g b) f tem mais raízes que g c) f tem menos raízes que g d) f e g têm graus diferentes e) f e g têm as mesmas raízes Questão 13) Na divisão do polinômio p 2 x x a) x, o resto é 1 b) x 1, o resto é 2 c) x + 2, o resto é 1 d) x 3, o resto é 9 = + 1 pelo binômio 4

5 e) x + 4, o resto é 8 Questão 14) Sobre os polinômios p = x² + x 2 e q = x² - 3x + 2, é correto afirmar que seu a) mínimo múltiplo comum é (x 2).(x² - 1) b) máximo divisor comum é (x + 1) c) mínimo múltiplo comum é (x 1). (x 4) d) máximo divisor cumum é (x 2) e) mínimo múltiplo comum é (x² - 4).(x 1) Questão 15) O resto da divisão de p(x) = x 5 + 4x 4 + 2x 3 + x 2 + x 1 por q(x) = x + 2 é: a) 17 b) 15 c) 0 d) 15 e) 17 Questão 16) Dividindo-se o polinômio f = x 4 2x 3 + 8x 2 por g = x 2 + x 1 obtêm-se quociente q e resto r. O resto da divisão de q por r é a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6 Questão 17) Se o polinômio p(x) = x 4 + 2x³ + ax² + bx + c é divisível por q(x) = x 2 x 2, então a + b vale: a) 11 b) 1 c) 0 d) 1 e) 11 Questão 18) O polinômio p(x) = x 4 + x³ - x² - 2x 2 é divisível por x² + a, para um certo número real a. Pode-se, pois afirmar que o polinômio p: a) não tem raiz reais. 5

6 b) tem uma raiz real c) tem exatamente duas raízes reais distintas d) tem exatamente três raízes reais distintas e) tem quatro raízes reais distintas Questão 19) O quociente da divisão de P(x) = 2x + 3x 4x 3x + 2 por ( x 1) (x + 1) (x + 2) é igual a: a) 2x 1 b) 1 2x c) 2x + 1 d) 1 2x e) 2x Questão 20) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x² - 3x + 1, obtém-se o quociente 3x + 1 e resto x + 2. Nessas condições, o resto da divisão de p(x) por x 1 é: a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2 Questão 21) Ao dividir o polinômio A(x), que possui grau 4 e coeficientes reais, pelo polinômio B(x) = x 3-4x, obtêm-se quociente Q(x) e resto R(x). Sabe-se que 2 é uma raiz de R(x). Assim, sendo n o número total de raízes reais de A(x), conclui-se que o conjunto de todos os valores que n pode assumir é a) {0, 2, 4}. b) {0, 2}. c) {0, 4}. d) {2, 4}. e) {4}. Questão 22) O resto da divisão do polinômio P(x) = x 100 por x + 1 vale: a) -100 b) -1 c) 0 d) 1 e) 100 6

7 Questão 23) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 12x 3 16x 2 3x + 4 = 0. Podemos afirmar que: a) S ]-1, 0[ ]0, 1[ ]1, 2[ b) S ]-2, -1[ ]0, 1[ ]3, 4[ c) S [0, 4] d) S ]-2, -1[ ]1, 2[ ]3, 4[ e) n.d.a. Questão 24) Sabendo-se que 3x 1 é fator de 12x 3 19x 2 + 8x 1 então as soluções reais da equação 12(3 3x ) 19(3 3x ) + 8(3 x ) 1 = 0 somam: a) log 3 12 b) 1 1 c) log312 3 d) -1 e) log 3 7 Questão 25) Se a, x, y, z são números reais tais que a) b) c) d) e) x y a 1 x y a 2 1 x + y a + 1 x + y a 1 (x y) (a + 1) a 1 z 2x 2y + ax ay 2 + a : a a a + 1 a 1 =, então z é igual a Questão 26) Se x 2 + 2x + 5 divide x 4 + px 2 + q exatamente (isto é, o resto da divisão do segundo polinômio pelo primeiro é zero), então: a) p = - 2 e q = 5; b) p = 5 e q = 25; c) p = 10 e q = 20; d) p = 6 e q = 25; e) p = 14 e q = 25; 7

8 Questão 27) Considere os polinômios p(x) = -x + 1 e q(x) = x 3 x. É correto afirmar: a) Os polinômios p(x) e q(x) não possuem raiz em comum. b) O gráfico p(x) intercepta o gráfico de q(x). c) O polinômio p(x) possui ima raiz dupla. d) O resto da divisão de q(x) por p(x) é diferente de zero. e) O polinômio q(x) possui uma raiz dupla. Questão 28) Os valores de a e b que tornam o polinômio P(x) = x 4 ax³ - 8x² + 8x + b divisível por x² - 1 são tais que: a) seu produto é 12 b) sua soma é 12 c) seu produto é 50 d) sua soma é 15 e) seu produto é 15 Questão 29) Sejam os polinômios P(x) = x 4 + ax 2 + bx 1 e Q(x) = x 3 + x 2 + x + 1. Se P(x) é divisível por Q(x), então a afirmativa correta é: a) a = 0 e b = -1 b) a = 0 e b = 0 c) a = 0 e b = 1 d) a = 1 e b = 0 e) a = 1 e b = 1 Questão 30) Dividindo o polinômio p (x) = x n + x n x + 1 por (x m), (x r) ou (x s) com m, r, s todos distintos, obtemos sempre resto zero. É correto afirmar que n é: a) maior que 3. b) maior ou igual a 3. c) igual a 2. d) igual a 1. e) igual a zero. GABARITO: 1) Gab: E 8

9 2) Gab: 04 3) Gab: 01 4) Gab: D 5) Gab: A 6) Gab: A 7) Gab: D 8) Gab: D 9) Gab: C 10) Gab: D 11) Gab: D 12) Gab: E 13) Gab: C 14) Gab: E 15) Gab: A 16) Gab: A 9

10 17) Gab: A 18) Gab: C 19) Gab: A 20) Gab: B 21) Gab: D 22) Gab: D 23) Gab: A 24) Gab: A 25) Gab: A 26) Gab: D 27) Gab: B 28) Gab: D 29) Gab: B 30) Gab: B 10