Matemática Discreta Aritmética

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1 Matemática Discreta Aritmética 1. Sejam a e b inteiros e m e n naturais não nulos. Prove se verdadeiro ou exiba um contra-exemplo caso falso: (a) Se a b (mod mn) então a b (mod m) e a b (mod n). (b) Se a b (mod m) e a b (mod n) então a b (mod mn). (c) Se a n b n (mod m) então a b (mod m). 2. Mostre que o número é divisível por Determinar todos os naturais menores que 3000 que têm resto 9 na divisão por 37 e simulteneamente resto 15 na divisão por Determine o resto da divisão de por Decida se é divisível por Determine o algarismo das unidades de Determine o algarismo das unidades de 7 x onde x = Determine o algarismo das unidades de Determine o algarismo das unidades de 3 x onde x = Determine o menor inteiro x de modo que x seja divisível por Determine o resto da divisão de por Encontre dois valores de x inteiros satisfazendo 38x 4 (mod 73). 13. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta! (a) Sejam a, b e m inteiros com m 2. a 0 mod m ou b 0 mod m. Vale ab 0 mod m se e somente se Solução: Falso. Contra-exemplo: m = 4, a = b = 2. (b) Se a b mod m e a b mod m então aa bb mod mm. (c) Sejam a, b e m inteiros positivos. Então a 2 b 2 mod m se e somente se a b mod m. (d) Se a, b e m são inteiros com m 2 então (a + b) m a m + b m mod m. Solução: FALSO. Contra-exemplo: a = b = 1, m = 4. Aí (a + b) m 0 2 a m + b m mod m. Obs: Vimos em aula que esta fórmula vale se m é primo. Isso sugere procurar um contra-exemplo com m = 4.

2 Aritmética Matemática Discreta Deseja-se comprar exatamente 401 quilos de um produto que só é vendido em embalagens de 14 e 5 quilos. Apresente todas as possibilidades de compra deste produto. 15. Resolva x x (mod 9). (Braçal) 16. Resolva x x (mod 9). (Braçal) 17. Ache os inteiros que satisfazem 37x 1 (mod 77). 18. Ache todos os números inteiros que satisfazem 37x 1 (mod 77). 19. Calcule (mod 31). 20. Seja um número n, e seja p a soma dos seus algarismos. Mostre, usando aritmética módulo 9, que n é divisível por 9 se e somente se p é múltiplo de A mando da professora de caligrafia, Joãozinho escreveu os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 (nessa ordem) cinquenta vezes. Chamemos de x o número obtido, isto é, x = Qual o resto da divisão de x por 9? Solução: Como 10 1 mod 9, todas as potências de 10 são congruentes a 1 módulo 9. Portanto qualquer inteiro positivo é congruente módulo 9 à soma dos seus dígitos (em decimal). Por exemplo, 2010 = mod 9. No caso em questão, x 50( ) mod 9. Simplificando, x O resto da divisão de x por 9 é Se 21 de junho de 2003 é um sábado, que dia é 21 de junho de 2019? (de quatro em quatro anos um é bissexto) 23. Uma pessoa multiplicou a data do dia do seu nascimento por 12 e o número que indica o mês do nascimento por 31 obtendo 689. Qual o dia/mês do aniversário desta pessoa? 24. Conte os zeros da expansão decimal do fatorial de Encontre x {0, 1, 2, 3, 4} tal que x (mod 5). 26. Sejam A e B números inteiros cujas somas dos dígitos das expansões decimais valem a e b, respectivamente. Justifique a seguinte afirmação. Os produtos AB e ab deixam o mesmo resto quando divididos por As potências inteiras de 3, você conhece: 1, 3, 9, Mostre que todo inteiro positivo é a soma de algumas destas potências, e que você nunca tem que usar mais do que duas vezes a mesma potência (assim, por exemplo, 19 = ). 28. Determinar todos os naturais menores que 3000 que têm resto 9 na divisão por 37 e resto 15 na divisão por 52. Página 2 de 9.

3 Matemática Discreta Aritmética 29. Se p n denota o n-ésimo primo (ie p 1 = 2, p 2 = 3,... ), prove que: (a) p n+1 p 1 p 2 p n + 1. [Dica: Lembre da prova padrão de que existem infinitos números primos.] (b) p n 2 2n 1. [Dica: use o item anterior.] 30. Os números de Fermat são definidos por F n = 2 2n + 1, isto é, F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17,... (a) Prove que F n+1 = 2 + F 0 F 1 F n. (b) Mostre que quaisquer dois números de Fermat distintos são primos entre si. Nota histórica: Pierre de Fermat (1601? 1665) conjecturou que esta fórmula produzia apenas números primos. Isso de fato funciona para 0 n 4. A conjectura foi refutada por Leonhard Euler, que mostrou (em 1732) que fatorou F 5 = Mostre que quaisquer dois números distintos consecutivos na sequência de Fibonacci são primos entre si. 32. Prove que se p é primo e 0 < k < p, então ( p k) 0 (mod p). 33. Determine o algarismo das unidades de 2 x, onde x = Solução: Temos que encontrar 2 x mod 10. As potências de 2 módulo 10 são 2 1 2, 2 2 4, 2 3 8, 2 4 6, 2 5 2, 4, 8, 6,..., repetindo com período 4. Portanto temos que simplificar mod 4. As potências de 3 módulo 4 são 3 1 3, 3 2 1, 3 3 3,..., repetindo com período 2. Como 2010 é par, temos x = mod 4. Portanto 2 x mod 10. A resposta é Deseja-se comprar exatamente 100 gramas de um produto que só é vendido em embalagens de 13 e 7 gramas. Apresente todas as possibilidades de compra deste produto. 35. Sejam inteiros a, b, m, e seja k o mdc entre a e m. Considere a equação ax b (mod m) com incógnita x. (a) Mostre que a equação tem alguma solução se e somente se k divide b. (b) Mostre que o número de soluções da equação incongruentes (modm) entre si é 0 ou k. Página 3 de 9.

4 Aritmética Matemática Discreta (a) Faça uma tabela de inversos multiplicativos módulo 11, usando apenas os números de 0 a 10. Solução: Três são imediatos: 0 não tem inverso e os inversos de 1 e 10 1 são eles próprios. Para os outros, fatoramos números que são 1. Temos 1 12 = 2 6 = 3 4 (logo etc), 1 23 (primo), 1 34 = 2 17 (não adianta), 1 45 = 5 9, 1 56 = 7 8. Resposta: x x (b) Encontre todas as soluções do sistema: 2x + 3y 1 mod 11 x + 4y 4 mod 11 Solução: A tabela do item anterior é útil aqui. Multiplicando a primeira equação por 2 1 6, temos x+7y 6. Subtraindo esta equação da segunda, temos 3y 2. Multiplicando por 3 1 4, temos y 8. Da segunda equação, x 4 4y Deseja-se comprar exatamente 1000 gramas de um produto que só é vendido em embalagens de 19 e 33 gramas. Apresente todas as possibilidades de compra deste produto (se existirem). Solução: Temos que encontrar as soluções da equação 19x+33y = 1000 com x, y inteiros não-negativos. Primeiro encontramos uma solução particular. Começamos calculando mdc(33, 19) pelo algoritmo de Euclides: Usando isso, temos ( ) 1 = 5 4 = = ( ) = = ( ) = = Multiplicando por 1000, achamos uma solução particular da equação 19x + 33y = 1000, a saber, x 0 = 7000, y 0 = Como mdc(19, 33) = 1, a solução geral é x = t, y = t, onde t é um inteiro qualquer. Temos x 0 t 7000/ e y 0 t 4000/ Logo as únicas possibilidades são t = 211 e t = 212, o que dá (x, y) = (37, 9) e (x, y) = (4, 28), respectivamente. Portanto as possibilidades de compra são 37 embalagens de 19g e 9 embalagens de 33g, ou 4 embalagens de 19g e 28 embalagens de 33g. Página 4 de 9.

5 Matemática Discreta Aritmética 38. Elabore tabelas de inversos multiplicativos (quando existirem) módulo m para m = 8, m = 9, m = 10, m = Determine que números possuem raiz quadrada módulo 11. (Isto é, determine para quais inteiros a existe algum x tal que x 2 a (mod 11).) 40. Resolva as seguintes equações (ou sistemas de equações): (a) 3x + 4y 2 (mod 11), 2x + 3y 1 (mod 11). (b) 3x 2 + 4x (mod 11). 41. Determine, usando congruências, o resto da divisão de por Mostre que, se p é primo, se m e n são dois inteiros positivos, e se m n (mod p 1), então a m a n (mod p) para qualquer número inteiro a. 43. (a) Prove que para todo n número natural, a sequência (n+1)!+2, (n+1)!+3, (n+ 1)! + 4,..., (n + 1)! + (n + 1) não tem nenhum número primo. (b) Mostre que (n + 1)! + (n + 2) pode ser primo. 44. Seja n um número inteiro, e G o grafo orientado com os n vértices numerados de 0 a n 1 e com as arestas ligando cada vértice v ao vértice v 2 (mod n). O grau de um vértice v conta o número de arestas saindo e entrando em v. Observe que G não é um grafo simples, pois tem uma aresta ligando o vértice 1 a ele mesmo (esta aresta conta duas vezes no grau de v). (a) Desenho o grafo G para n = 5. (b) Desenho o grafo G para n = 6. (c) O que significa para o grau do vértice v se o número v é um quadrado perfeito módulo n? (d) Existe um n > 1 tal que G seja conexo? 45. Mostre, usando obrigatoriamente a identidade de Bézout ( (a, b), (p, q) : ap + bq = mdc(a, b)), que se c divide ab e a e c são primos entre si, então c divide b: {c ab} {mdc(a, c) = 1} {c b}. 46. Prove se verdadeiro ou apresente um contra-exemplo caso falso. (a) Se p é primo tal que mdc(a, p) = 1 e ab ac (mod p) então b c (mod p). (b) Se n é um número inteiro ímpar então 20 9n é múltiplo de Mostre que se n não é primo (ou seja, existem a > 1 e b > 1 tais que n = a b), então existe um número primo p que divide n tal que p 2 n. 48. Prove que os inteiros k e k 5 têm o mesmo algarismo das unidades. (Dica: Mostre que a diferença entre esses inteiros é múltiplo de 10). Página 5 de 9.

6 Aritmética Matemática Discreta O algoritmo de Euclides estendido pode ser escrito da seguinte forma: dado a e b, construa uma seqüência r n por: r 0 = a r 1 = b i > 0, r i 1 = r i q i + r i+1 e 0 r i+1 < r i. O algoritmo pára no passo i tal que r i+1 = 0 (a) Enumere os passos do algoritmo no caso que a = 42 e b = 9. (b) Mostre no caso geral que, a cada passo do algoritmo, o maior divisor comum é preservado: i, r i+1 0 mdc(a, b) = mdc(r i, r i+1 ). 50. Calcular o resto da divisão de ( ) 444 por Seja p um número primo, e G o grafo com os p 1 vértices {1, 2,..., p 1} e com as arestas ligando cada vértice v ao seu inverso módulo p, ou seja vértice v 1 (mod p). Observe que G não é um grafo simples, pois tem uma aresta ligando o vértice 1 a ele mesmo (esta aresta conta duas vezes no grau de v). (a) Desenho o grafo G para p = 5. (b) Desenho o grafo G para p = 7. (c) Mostre que G sem as arestas ligando um vértice a ele mesmo, pode ser visto com um grafo bipartido. Dica: podera colocar, para cada aresta, o menor vértice numa parte, e o maior na outra. (d) Seja G o grafo com os mesmo vértices que G, e com as arestas simples que não existem em G ({v, w} G (v w {v, w} / G)). Para quais números primos p o grafo G é Euleriano? 52. Seja p um número primo. Lembramos que o pequeno teorema de Fermat estipula que para qualquer número a, a p = p q + a, onde q é o quociente da divisão. (a) Escreva o binômio de Newton para a p2 = (a p ) p = (p q + a) p. (b) Deduza do item anterior que a p2 a p (mod p 2 ). (c) Mostre por indução que: n > 0, a pn a pn 1 (mod p n ). 53. Essa questão demonstra o teorema de Wilson: p > 1 é primo se e somente se (p 1)! 1 (mod p) (a) Vamos mostrar o somente se. Supondo que p não é primo (ou seja, existem a > 1 e b > 1 tais que p = a b), mostre que não existe inverso multiplicativo de (p 1)! módulo p. Lembramos que, se p é primo, para todo a com 0 < a < p, existe um único φ(a) (o inverso multiplicativo) tal que a φ(a) 1 (mod p). (b) Supondo p primo, definimos o conjunto A = {a {1..p 1} tais que a < φ(a)}. Mostre que 1 / A, p 1 / A e que A φ(a) =, onde φ(a) = {φ(a), a A}. (c) Supondo p primo, mostre que {1..p 1} = {1} A φ(a) {p 1}. (d) Deduza que se p é primo, (p 2)! 1 (mod p) e que (p 1)! 1 (mod p). Página 6 de 9.

7 Matemática Discreta Aritmética 54. A divisão Euclidiana de polinômios é definida de forma similar àquela dos números. Define-se o grau gr(p ) de um polinômio P (X) como o maior expoente de X na expressão de P (X). Por exemplo o grau de P (X) = X 2 3 X + 2 é gr(p ) = 2. Para quaisquer dois polinômios N(X) e P (X), a divisão Euclidiana gera dois outros polinômios Q(X) e R(X) tais que: { gr(r) < gr(p ), N(X) = Q(X) P (X) + R(X). A conta é feita com o mesmo algoritmo que o da divisão Euclidiana. Calcule a divisão de N(X) = 5 X 5 12 X 3 6 X 2 +7 X 1 por P (X) = X 2 2 X+3. Teorema dos restos chinês 55. Um laboratório dispõe de duas máquinas (I e II) para examinar amostras de sangue. A máquina I examina 15 amostras de cada vez enquanto que a máquina II examina 21. Deseja-se examinar exatamente 2400 amostras de sangue. Seja (x, y) o número de amostras examinadas respectivamente pelas máquinas I e II. Quantos são os diferentes valores de (x, y) que satisfazem este problema? 56. Determine dois pares distintos de números inteiros (K, L) tais que 63K + 20L = Determine todas as soluções dos seguintes sistemas: { x 2 (mod 3) x 3 (mod 10) x 3 (mod 4) x 7 (mod 6) x 10 (mod 5) 58. Use o teorema chinês dos restos para encontrar as soluções da equação 3x 22 (mod 2275). 59. Encontre valores de a e b de modo que existam exatamente duas (nem mais nem menos) soluções x para o problema abaixo: x a (mod 11) x b (mod 12) 1 x Seja m > 2. Dizemos que um inteiro r é uma raiz primitiva módulo m se podemos definir uma f bijeção do conjunto {1, 2,..., m 1} nele mesmo através da fórmula f(x) r x (mod m). Neste caso, a função inversa é chamada logaritmo discreto módulo m. Determine todas as raízes primitivas módulo m para m = 6, 7, Expresse de todas as formas possíveis o número 602 como a soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja múltiplo de 30 e o segundo seja múltiplo de 14. Página 7 de 9.

8 Aritmética Matemática Discreta Resolva x (mod 55), para x entre 0 e Sabendo que x (mod 55) e que x está entre 0 e 54, calcule x. 64. (a) Escreva todas as soluções do sistema abaixo: { x 1 (mod 8) x 3 (mod 9). (b) Escreva todas as soluções do sistema abaixo: x 1 (mod 8) x 3 (mod 9) x 2 (mod 12). Criptografia RSA simplificada 65. Considere um código RSA definido por x c y mod N onde N = 91 e c = 29. (a) Codifique 51. (b) Decodifique Suponha, que num processo de criptografia RSA, tenhamos escolhido os primos p = 7, q = 11 e o expoente de codificação e = 7. Encontre um coeficiente de decodificação d adequado. 67. Considere um código RSA definido pela função f(x) x c mod 161. (a) Sabendo que 161 = 7 23, decida, justificando, qual dos valores a seguir pode ser o valor de c: 3, 11 ou 13. (b) Considere agora c = 5, codifique 24. (c) Ainda considerando c = 5, decodifique Considere um código RSA onde a codificação associa a uma mensagem x a mensagem codificada x c mod 77. (a) Sabendo que 1 < c < 11, deduza, justificando, o valor de c. (b) Codifique x = 5. (c) Decodifique Alice e Bob querem escolher uma chave para criptografar suas mensagens. Eles decidem usar o protocolo Diffie Hellman de troca de chaves, com módulo p = 19. (a) Bob sugere que eles usem a base 7. Porém Alice responde que essa escolha não é muito boa, e propõe a base 10. Você acha que a proposta de Alice é melhor? Por quê? (b) Bob concorda em usarem a base 10. Ele então pensa no número secreto 7. Que número ele deve comunicar para Alice? (c) Alice responde com o número 7. Que chave Alice e Bob devem usar para se comunicar? Página 8 de 9.

9 Matemática Discreta Aritmética 70. Considere um código RSA definido pela função f(x) = x c (mod 91). (a) Sabendo que 91 = 7 13 e 31 < c < 37, determine o valor de c. (b) Codifique 10. (c) Codifique 20. (d) Decodifique 25. (e) Decodifique Você trabalha para a Polícia Federal, e (com a devida autorização judicial, claro), interceptou o seguinte diálogo: A Olá Bob. B Oi Alice. A Quero enviar uma mensagem para você, mas tenho medo que o telefone esteja grampeado. B Ok, primeiro converta para ASCII. A Tá. Como a mensagem tem 15 caracteres, eu obtive um número em hexadecimal com 30 dígitos. B Ah bom, como a mensagem é curta não precisaremos quebrá-la em blocos. Chame esse número de x, e me diga quanto vale x c mod m, onde A Espera aí... Pronto, deu c = B Deixa eu decodificar aqui... Aha! m = Você pensa: Tolos! Com um módulo tão pequeno a RSA não é segura. Você liga seu computador e em poucos minutos descobre a mensagem enviada por Alice. Página 9 de 9.