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1 Recordando operações básicas 01. Calcule as expressões abaixo: a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) 35 x 15 = i) 50 x 210 = j) 366 x 23 = k) = l) 364 3= m) = n) = 02. Resolva problemas: j) O dobro do que tenho, mais R$ 150,00 é igual a R$ 550,00. Quanto tenho? k) A soma de dois números é 39. O maior é igual ao dobro do menor. Quais são ao dois números? l) Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja 85. m) O quadrado de um número natural é igual ao seu dobro somado com 24. O dobro desse número menos 8 é igual a" a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 a) Se eu tivesse R$ 1.500,00 a mais do que tenho, ficaria com R$ 4.000,00. Quanto eu tenho? b) Meu avô nasceu em 1902 e faleceu em Com quantos anos faleceu? c) O preço de uma televisão é R$ 520,00. Como paguei À vista, obtive um desconto de R$ 70,00. Quanto paguei? d) Comprei 3 camisas, pagando R$ 45,00. Quanto custou cada camisa? e) Quero distribuir 735 laranjas colocando 35 laranjas em cada caixa. Quantas caixas serão necessárias? f) Numa divisão cujo divisor era 37, achou-se para quociente 15 e para o resto 32. Qual era o dividendo? g) Numa divisão o quociente é 20 e o resto 7. Se o divisor for o menor possível, qual será o dividendo? h) Numa divisão o divisor é 17 e o quociente 03. Se o resto for o maior possível, qual será o dividendo? i) O triplo de um número, menos 11 unidades é igual a 43. Qual é esse número? Critérios de Divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. Atualizada Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1

2 Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em é divisível por 4, pois 16 é divisível por é divisível por 4, pois 24 é divisível por não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. 1) 7000 é divisível por 8, pois termina em ) é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 3) é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 4) não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a =18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. 1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente. 1) Si (soma das ordens ímpares) = = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número é divisível por 11. 2) Si (soma das ordens ímpares) = = 10 Sp (soma das ordens pares) = = 21 Si-Sp = Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: = 21. Então temos a subtração 21-21=0. Como zero é divisível por 11, o número é divisível por Atualizada Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

3 Exercícios 01. A diferença entre o cubo de um número real positivo e o seu quádruplo é igual a 45 vezes o seu inverso. O referido número é: a) divisível por 3. b) divisível por 5. c) múltiplo de 4. d) múltiplo de 7. e) múltiplo de O algarismo que se deve intercalar entre os algarismos do número 76 de modo que o numeral obtido seja divisível por 4 e 9 simultaneamente é: a) 1 b) 7 c) 5 d) Considere um número inteiro formado por cinco algarismos cuja representação na base dez seja abcde. Considere também o fato de que um número dessa forma é divisível por 11 se, e somente se, a+c+e-b-d for divisível por 11. Com base nessas condições, assinale a alternativa na qual consta um número divisível por 11. a) b) c) d) e) A soma de três números naturais consecutivos é um número: a) par b) impar c) primo d) quadrado perfeito e) múltiplo de 3 Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto. Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. 1) O número 161: * não é par, portanto não é divisível por 2; * = 8, portanto não é divisível por 3; * não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; * por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 2) O número 113: * não é par, portanto não é divisível por 2; * = 5, portanto não é divisível por 3; Números Primos Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. * não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; * por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). * por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. Atualizada Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3

4 Exercícios 01. Considere as afirmações: I - Um número natural representado no sistema decimal é divisível por 9 se e somente se a soma de seus dígitos for divisível por 9. II - Se um número inteiro não é impar, então o seu quadrado não é impar. III é um número primo. Associe cada uma delas a letras 'V' se for verdadeira e 'F' caso seja falsa. Na ordem representada temos: a) V - F - V b) V - V - F c) F - V - V d) V - V - V e) V - F F 02. Se P é o produto de todos os números primos menores que 1000, o dígito que ocupa a casa das unidades de P é a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) Um número inteiro positivo m dividido por 15 dá resto 7. A soma dos restos das divisões de m por 3 e por 5 é a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. Decomposição em fatores primos Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 3 x 3 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 2 3 x 3. Regra prática para a fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1. A figura abaixo mostra a fatoração do número 630. Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x = 2 x 3 2 x 5 x 7. Determinação dos divisores de um número Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 1º) decompomos o número em fatores primos; 2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número; De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. 4 Atualizada Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

5 3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo; O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 2 2 x = 2 x 3 2 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3 2 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. Mínimo Múltiplo Comum 4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Máximo Divisor Comum Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. Cálculo do M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5 Múltiplo de um número natural Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0, 7x1, 7x2, 7x3, 7x4,... = 0, 7, 14, 21, 28,... Observações importantes: 1)Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. Atualizada Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5

6 Cálculo do M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 2 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 2 x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. Processo da Decomposição Simultânea Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) h) m.m.c. (2, 64) i) m.m.c. (5, 10) j) mmc. (3, 9) k) m.m.c. (4, 16) l) m.m.c. (2, 4, 8) m) m.m.c. (4, 8, 16) n) m.m.c. (2, 16, 64) o) m.m.c. (32, 64, 128) q) m.m.c. (4, 64, 128) 02. Determine o conjunto dos divisores do número Sabendo-se que 2 x possui 60 divisores, determinar x. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Considere o número inteiro 3600, cuja fatoração em primos é 3600 = Os divisores inteiros e positivos de 3600 são os números da forma 2 x. 3 y. 5 2, com x {0,1,2,3,4}, y {0,1,2} e n {0,1,2}. Determine: I) o número total de divisores inteiros e positivos de 3600 e quantos desses divisores são também divisores de 720. (II) quantos dos divisores inteiros e positivos de 3600 são pares e quantos são quadrados perfeitos. Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = Calcule: a) m.d.c. (5, 8) b) m.d.c. (7,9) c) m.d.c. (12, 19) d) m.d.c. (3, 10) e) m.d.c. (4, 8) f) m.d.c. (3, 12) g) m.d.c. (8, 32) d) m.d.c. (8, 16) e) m.d.c. (16, 32) f) m.d.c. (16, 64) g) m.m.c (2, 4) 6 Atualizada O algarismo que se deve intercalar entre os algarismos do número 76 de modo que o numeral obtido seja divisível por 4 e 9 simultaneamente é: a) 1 b) 7 c) 5 d) O número apresenta n divisores naturais, onde n é igual a: a) 12 b) 36 c) 72 d) 18 e) 24 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

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