m 1 Grupo A é 3, então ( P + Q R) Como o maior expoente da variável x do polinômio P + Q R Analogamente ao item a, (PQ) = 3.
|
|
- Guilherme Correia
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Grupo A. Seja x o grau do divisor, então p x + q x p q. Sendo r o grau do resto, então r<xer N, logo o maior valor possível para o resto é p q.. a) P + Q R x + x x x x x x Como o maior expoente da variável x do polinômio P + Q R é, então ( P + Q R). b) P Q ( x)( x + x) x + x x x x x + x Analogamente ao item a, (PQ). c) ( P + Q) R [ x + ( x )]( x + x) 5 4 ( x x )( x + x) x + x x x x Analogamente ao item a, [( P + Q) R] 5.. ( P) m 0 m m e m. ( P) ( P) m 0 m 0 m ou m m 0 m 0 m 0 m m m m ou m m m m m 4. a) f( x) 0 x 5x x ou x. b) g( x ) 0 ax + bx + c 0 a b c Px ( ) axx ( + 0) + bxx ( + ) + cxx ( + 4) + 5a b+ c ax + 0ax + bx + bx + cx + 4cx + 5a b + c ax + bx + cx + 0ax + bx + 4cx + 5a b + c ( a + b + c) x + ( 0a + b + 4c) x + 5a b + c
2 Como Px ( ) 0, então: a + b + c 0 0a + b + 4c 0 5a b + c 0 L + L L+ L a + b + c 0 5a + 5c 0 6a + c 0 L + L a + b + c 0 a + c a + b + c 0 5a + 5c 0 5a b + c 0 a + b + c 0 a + c 0 a + c 0 Logo o sistema é possível e indeterminado. Para c k, k R: k k a + k 0 a e + b + k 0 b k k V ; k; k, k R 6. hx ( ) 0 ( a+ b 5) x + ( b+ c 7) x+ a+ c 0 a + b 5 0 a + b + c 0 L+ L b + c 7 0 b + c 7 0 a + c 0 a + c 0 b b + c 7 a + c 0 Logo V {, 6, }. b c 7 a + c 0 7. Qx ( ) ax ( + x+ ) + ( bx+ c)( x+ ) ax + ax + a + bx + bx + cx + c ( a + b) x + ( a + b + c) x + a + c Como P Q, então: a + b a + b + c a + c 4 + b c a 4 a + b + c a + c b c a 4 Logo a + b + c + ( ) + 4. b 6 c a + 0 a + b c a + ( ) b 6 c a
3 8. Seja f ( x ) ax + bx + c, a 0, a, b, c R. Temos: f( 0) a 0 + b 0 + c f() a + b + c 4 f( ) a ( ) + b ( ) + c 0 c a + b + c a b + c 4 0 c a + b a b L+ L c a a b c a b c a b Logo, f( x) x + x Observe que P( 0) a 0 + b 0 + c 0 + d d. Logo basta calcularmos o valor de d. Assim: P( ) a ( ) + b ( ) + c ( ) + d P( ) a ( ) + b ( ) + c ( ) + d P() a + b + c + d P( ) a + b + c + d 8a + 4b c + d a + b c + d a + b + c + d 8a + 4b + c + d 6b 0 L L b + d 0 a + b + c + d 8a + 4b + c + d Logo, P(0) d 0. L+ L4 L + L 8b + d 0 b + d 0 a + b + c + d 8a + 4b + c + d b 0 d 0 a + b + c + d 8a + 4b + c + d 0. alternativa C Temos que Ax ( ) Qx ( ) Bx ( ) + Rx ( ) Ax ( ) Qx ( ) Bx ( ) + Rx ( ) Ax ( ) Qx ( ) Bx ( ) + Rx ( ). Logo o quociente e o resto da divisão de A(x) por B(x) são, respectivamente, Qx e R(x).
4 . alternativa D Temos que P( x) x + x + x + Q( x)( x + ) + x +. Para x, Q( )( + ) Q( ) + Q( ) 4. Para x, Q( )( + ) Q( ) Q( ) 9. Para x 0, Q( 0)( 0 + ) + ( 0 + ) Q( 0) + Q( 0) 0. Para x, Q( )( + ) Q() + Q().. Pelo Teorema de D'Alembert 4 Px ( ) x 7x + 4x m+ é divisível por x se, e somente se, P( ) 0. 4 Logo, m m m.. Fazendo a soma das frações, obtemos: A B c + + x + x x + 5 Ax ( )( x+ 5) + Bx ( + )( x+ 5) + Cx ( + )( x ) ( x + )( x )( x + 5) Ax ( + x 5) + Bx ( + 7x+ 0) + Cx ( x 6) ( x + )( x )( x + 5) x ( A + B + C) + x( A + 7B C) + ( 5A + 0B 6C) ( x + )( x )( x + 5) Portanto: x ( A + B + C) + x( A + 7B C) + ( 5A + 0B 6C) ( x + )( x )( x + 5) x + 40x + 5 ( x + )( x )( x + 5) Utilizando a identidade dos polinômios, montamos o sistema a seguir: A + B + C A + 7B C 40 5A + 0B 6C 5 L+ L 6L+ L A + B + C A + 8B 4 9A + 6B 7 4
5 L + L A + B + C A + 8B 4 B 5 Logo A, B 5 e C. C A B 5 4. Note que se Px ( ) 4x + x + ( m 4) x+ mé divisível por x +, então: Px ( ) Qx ( ) ( x+ ) Px ( ) Qx ( ) x + Px ( ) Q'( x) x +. Assim, basta determinarmos os valores de m para os quais P(x) é divisível por x +. Pelo Teorema de D'Alembert P(x) é divisível por x + se, e somente se, P 0. Então, P + + m 4 ( 4) + m m m 0 m Logo, Px ( ) 4x + x + ( 6 4) x 6 4x + x 0x 6. Dividindo P(x) por x + pelo algoritmo de Briot-Ruffini: Obtemos o quociente 4x 4x 4, então: Px ( ) ( 4x 4x 4) x + Px ( ) ( 4x 4x 4) x + Px ( ) ( x x ) ( x+ ) Portanto o quociente da divisão de P(x) por x + x x. é 5
6 A B Ax ( ) + Bx ( ) Ax A + Bx B 5. + n ( x ) ( x ) ( x )( x ) ( x )( x ) ( A + B) x + ( A B) ( x )( x ) x + A B Como + ( x )( x ) ( x ) ( x ), então: x + ( A + B) x + ( A B) A B + ( x )( x ) ( x )( x ) A B A + B ( ) A B A + B 6 A B L+ L B 7 A 7 B 7 A 4 6. Uma maneira: Utilizando a Divisão Euclidiana, temos: 00 x + x + x ( x x ) x + x x 98 + x ( x x ) x 96 + x + x ( x ) + x + x Logo, obtemos quociente x + x x + e resto x +. Outra maneira: Da fórmula da soma dos termos de uma PG: 00 x x + x x + x x ( x )( x + x x + ) x 00 + x + ( x )( x 98 + x x + ) + x Logo o quociente é x + x x + e o resto é x +. 6
7 Dividindo x + x + x + ax 4x + por x + x x + : 4 x 5 + x + x + ax 4x + x + x x + 4 x 5 x + x x x + 4 4x + ( a ) x 4x + 4x 8x + 4x ( a ) x Obtemos quociente x + 4 e resto ( a ) x. 5 4 Para que x + x + x + ax 4x + seja divisível por x + x x +, o resto da divisão anterior deve ser zero, ou seja, ( a ) x 0, x R a 0 a. 8. O polinômiop( x) x + ( ax ) + ( + ax ) é divisível por x a se, e somente se, o resto da divisão de P(x) por x a é nulo, ou seja, Pa ( ) 0. Assim: Pa ( ) a + ( aa ) + ( + a) a 0 a + a a + a + a a + a 0 a ou a 9. De acordo com o enunciado, temos F( x) G( x) Q( x) + R( x) F( x) R( x) Gx ( ) Qx ( ) 4 4 x + x + x x + ( x x + ) x + x x +. x + x + Fazendo a divisão na chave: x 4 + x x + x + x 4 x x x + x + x + x x + x 0 7
8 Ou, ainda, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini: De qualquer forma, G( x) x x+. 0. alternativa A Temos P(x) P( x) Px ( ) P( x) Qx ( ) + Rx ( ) R(x) Q(x) Px ( ) Rx ( ) P( x) P( x) Qx ( ) x 4x + 5x P( x). x Fazendo a divisão na chave: x 4x + 5x x x + x x + 5x + x x x x + Logo, P ( x) x x +. 0 x x + x 4x + 7x x + x. Como a expressão é independente de x, então é uma constante, logo: x + 5x 8 k x + 5x 8 k( ax + 0x + b) ax + 0x + b x + 5x 8 akx + 0kx + bk a a ak 6 0k 5 k k bk 8 b 6 b 8 Logo, a + b
9 . alternativa C Obtemos a soma dos coeficientes de um polinômio fazendo x. Logo a soma dos coeficientes do polinômio é: ( 4x x x ) 6 ( 4 ) 6 ( ) 6. a) Fatorando A(x) eb(x) em polinômios irredutíveis em Rx ( ), temos: A( x) ( x a ) ( x + ax a x a ) [( x + a )( x a )] [ x ( x + a) a ( x + a)] ( x + a ) ( x a ) [( x a )( x + a)] ( x + a ) ( x a ) ( x + a) [( x + a)( x ax + a )] [( x a)( x + ax + a )] ( x + a) ( x + a) ( x a) ( x ax + a ) ( x ax + a ) e B( x) ( x a x + a ) ( x + a x + a ) 4 4 [( x a ) ] ( x + a x + a a x ) 4 [( x a)( x + a)] [( x + a ) ( ax) ] 4 4 ( x + a) ( x a) ( x ax + a )( x + ax + a ) Observando as fatorações, vemos que: mdc ( A, B) ( x + a) ( x a )( x ax + a )( x + ax + a ) 4 4 mmc ( A, B) ( x + a) ( x a) ( x ax + a ) ( x + ax + a ) b) Para calcular o mdc dos polinômios Ax ( ) 6x x + 9x e 4 Bx ( ) 4x x + x 6x+, usaremos o método das divisões sucessivas: 4x 4 x + x 6x + 6x x + 9x 4x x 6x + 4 x x x + 7 x 4 x + x 65 9 x + 5x x + x 9 9
10 x Como o resto x + é diferente do polinômio nulo, 9 9 continuamos o método das divisões, agora dividindo x 6x x + 9x por x + : 9 9 x x x + 9x x x + 9x x 7x + 8 4x + 6x + 4x 6x + 0 Como o resto da divisão de 6x x + 9x por x x + é zero e o mdc deve ser um polinômio mônico, 9 9 temos que: 9 x x mdc ( AB, ) x + x ( x ) x O mmc de A(x) e B(x) é um polinômio mônico: mmc ( AB ( ) ( ), ) k Ax Bx mdc ( AB, ), k R *. Ax ( ) Para calcular tal polinômio, primeiro calculamos. mdc ( AB, ) 9 x x x + 9x x + 6 6x + 9x x 6x 4 4x + 6x + 4x 6x + Assim, Ax ( ) Bx ( ) mdc ( AB, ) 0 Ax ( ) mdc ( AB, ) 6x 4 6 x. Ax ( ) Bx ( ) 6 x mdc ( AB, ) 4 4 x x + x x Ax ( ) Bx ( ) mdc ( AB, ) 0
11 4 4 x x x + x x e, portanto, mmc ( AB, ) x x x x x mmc ( AB, ) x x x + x x alternativa A Temos: A x 9x + 0 ( x 0)( x + ) B x 00 x 0 ( x + 0)( x 0) C x + x + 0x x( x + x + 0) x( x + )( x + 0) Consequentemente, o mínimo múltiplo comum de A, B e C é dado por: x ( x + )( x 0)( x + 0) ( x + x)( x 00) 4 x + x 00x 00x Grupo B 5. alternativa D a) Falsa. Considere, por exemplo, os polinômios Px ( ) x e Qx ( ) x + ; ambos têm grau, mas x + ( x + ), que é um polinômio de grau 0. b) Falsa. Se P(x) for divisível por Q(x), então o resto é o polinômio nulo (para qual não está definido o grau) ou um polinômio de grau estritamente menor que. c) Falsa. O grau do quociente da divisão de um polinômio P(x) por Q(x), em que P n e Q m, com m n, ém n. Logo, como ambos têm grau, o grau do quociente é 0. d) Verdadeira. Dados dois polinômios quaisquer P(x) eq(x) de graus m e n, o grau de Px ( ) Qx ( ) é dado por m + n. e) Falsa. Considere o exemplo dado na alternativa A. 6. Temos que: Px ( ) + é divisível por ( x +, ) logo Px ( ) + ( x+ ) Qx ( ) P( ). P(x) é divisível por ( x, ) logo Px ( ) ( x ) Q( x) P().
12 Daí obtemos o sistema ( ) + ( ) + a ( ) + b + + a + b b a Utilizando o método da chave: 4 x 4x 0x + ax + b x x x + x 5x x x 8 x 5x + ax + x x + 5x 8x + ( a + 5) x + b 8x 8x + 90 ( a ) x + b + 90 R( x) Para que um polinômio seja divisível por outro, necessariamente Rx ( ) 0. Daí obtemos a 0 a b b Para que o polinômio x + 4x x + ax + b seja um quadrado perfeito, podemos escrevê-lo na forma ( px + qx + r ). Desenvolvendo o quadrado, obtemos: x 4 + 4x x + ax + b 4 p x + pqx + ( q + pr ) x + qrx + r. Portanto p pq 4 r q + pr qr a b Se p q r a b 9 p ou p pq 4 q + pr qr a r b
13 Se p q r a b 9 Nas duas situações, a e b a) Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos: k k 0 k 0k 0 0 Logo o quociente e o resto da divisão de f por x + k são, respectivamente, x x 0e 0. b) De acordo com o item anterior, podemos escrever f ( x + k) ( x x 0 ). Como as raízes do polinômio x x 0são e 5, podemos decompor f da seguinte forma: f ( x + k) ( x 5) ( x + ) 0. Utilizando o teorema do resto, do enunciado temos que P( ), P() 4 e P( ). A divisão de P(x) por ( x ) ( x + ) pode ser representada por Px ( ) ( x ) ( x+ ) Qx ( ) + Rx ( ), onde R(x) tem grau máximo igual a, já que o divisor possui grau igual a. Representando R( x ) ax + bx + c, temos: P( x ) ( x ) ( x + ) Q( x ) + ax + bx + c P( ) P() P( ) [( ) ] ( + ) Q( ) + a ( ) + b ( ) + c ( ) ( + ) Q() + a () + b () + c [( ) ]( + ) Q( ) + a( ) + b ( ) + c 0 Q( ) + a b + c 0 Q() + a + b + c 0 Q( ) + 4a b + c a b + c a + b + c 4a b + c
14 a b + c b 4a b + c a + c 0 b 4a + c L+ L L+ L a + c 0 b a c b a Logo o resto da divisão desejada é R( x ) ax + bx + c x + x.. alternativa E Como x 5x + 4 tem raízes e 4, temos x 5x + 4 ( x )( x 4) e, além disso, Px ( ) ( x )( x 4) Qx ( ) + 4x+. Por outro lado, o resto da divisão de P(x) por x 8 é igual a 8 P P( 4) ( 4 )( 4 4) Q( 4) Q( 4) alternativa A Pelo teorema do resto: P( ) 0, pois P(x) é divisível por x. Além disso, o resto da divisão de q(x) por x é igual a q(). Obtém-se q() substituindo x em Px ( ) ( x ) qx ( ) + 0, ou seja, P( ) ( ) q( ) + 0. Como P() 0, temos 0 q( ) + 0 q( ) 5.. Pelo teorema do resto: f( ) ( ) + ( ) + k( ) f() + + k f ( ) k f() k + Como os restos são iguais, k k + k, logo f() f( ). O divisor é de grau, logo podemos escrever o resto na forma Rx ( ) ax+ b. Além disso, f( x) ( x + ) ( x ) q( x) + ax + b. Substituindo x por e, obtemos o sistema a + b b a + b a 0. Logo o resto é Rx ( ). 4
15 4. alternativa D Como ( x + )( x )( x ) é de grau, o resto da divisão de Px ( ) por tal polinômio tem grau menor ou igual a, ou seja, R( x ) ax + bx + c, a, b, c R. Assim, podemos escrever: Px ( ) ( x+ )( x )( x ) Qx ( ) + ax + bx+ c Além disso, já que P( ) 5, P( ) e P( ), temos: ( + )( )( ) Q( ) + a( ) + b( ) + c 5 ( + )( ) ( ) Q( ) + a + b + c ( + )( )( ) Q( ) + a + b + c a b + c 5 a + b + c 4a + b + c a b c Consequentemente, Rx ( ) x x+. 5. Sendo q(x)er( x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de px ( )por ( x ), temos px ( ) qx ( ) ( x ) + rx ( ). Lembrando que o resto da divisão de r( x)por x é, temos r (). Assim, p() q()( ) + r() r(). 6. Sendo Px ( ) Qx ( ) Dx ( ) + Rx ( ), temos: Px ( ) ( x 4)( x + ) + ax+ b, onde Rx ( ) ax+ b P ( ) 0 P( ) ( )( ) a + b 0 6 a + b R( ) 9 R( ) a + b 9 a + b a + b 6 a a + b 9 b 7. Como Px ( ) ( x 4)( x + ) + ax+ b, 4 Px ( ) ( x 4)( x + ) + x+ 7 Px ( ) x x + x+. 7. alternativa A ( x )( x + x + x + x + x + x ) ( x ) x ( x + x + x + x + x + ) 4 4 ( x ) x ( x ( x + ) + x ( x + ) + x + ) x ( x )( x + )( x + x + ) x ( x )( x + x + ) x ( x )(( x ) + x + ) x (( x ) ) x ( x ) 4 4 x (( x ) ) x ( x + )( x ) 5
16 8. alternativa C Temos: x n x x n + x n n n x + x + + x n x n + x n x n x x + 0 n n n Assim Qx ( ) x + x + x + + x+. 9. alternativa B SendoP( x) x 7 x 7 + p, pelo teorema do resto, para que a divisão de P(x) por x tenha resto zero, devemos ter 7 7 P() 0 + p 0 p. 40. alternativa C Fazendo a divisão de f por x, temos: x 4 x x + x + x x 4 + x x x x x + x + x x x + x 0 Logo, f ( x )( x x ) ( x )( x )( x + ) ( x + )( x )( x )( x + ) ( x )( x )( x + ). Consequentemente, outro divisor de f é, por exemplo, ( x + ). 6
17 4. alternativa A Pelo método da chave: x ax + bx + x + 5x a + 5 x 5x + x x ( a + 5) x + ( b + ) + a + 5 a + 5 ( a + 5) x + 5 b + 5a + 9 x a 5 R( x) Para que um polinômio seja divisível por outro, obrigatoriamente b + 5a a 5 Rx ( ) 0, daí a 5 0 b. Portanto a soma pedida é ( ) + ( 5) Para que os polinômios sejam idênticos, devemos ter: a + b b + c a b c 0 a b 0 c Portanto a soma pedida é alternativa D O polinômio Px ( )tem como raízes (dupla) e (simples). então: P( x ) K ( x ) ( x ) x + ax + bx + c K Logo, Px ( ) x x + 5x 6. Portanto a soma pedida é ( ) ( 6). 44. é raiz dupla de Px ( ). Utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini, temos: 0 a b a + a + b + a + Necessariamente, temos a + b + 0 a + 0 a b. 7
18 45. alternativa C Pelo teorema do resto, o resto da divisão de P(x) por x k é P(k), logo P(k) R. R Analogamente, o resto da divisão de Px ( ) + por x k é R R Pk ( ) +, logo Pk ( ) + 4. Assim, R R R 4 R Como m é raiz de P(x), então: 6 5 Pm ( ) 0 m ( m+ ) m m m m m m Logo, Px ( ) x ( + ) x + x x +. Pelo teorema do resto, o resto da divisão de P(x) por x é 6 5 P(). Assim, P() x alternativa C Note que: p x 4x + ( x )( x ) q x x + ( x ) r x 9 ( x + )( x ) Logo, m x e n ( x )( x )( x + ) x x 9x + 9. Finalmente, n m x x 9x + 9 x + x x 0x Observemos que x 4 é raiz dupla de P(x), enquanto x éraiz simples. Sendo P(x) do º grau, temos Px ( ) ax ( + )( x 4). Já que P( 0), obtemos a( 0 + )( 0 4) 6a a e, portanto, Px ( ) ( x+ )( x 4) ( x + )( x 8x + 6) ( x 8x + 6x + x 8x + 6) x 4x + 6x +. 8
GABARITO. 01) a) c) VERDADEIRA P (x) nunca terá grau zero, pelo fato de possuir um termo independente de valor ( 2).
01) a) P (1) = 1 + 7 1 17 1 P (1) = 1 + 7 17 P (1) = 11 P (1) é sempre igual a soma dos coeficientes de P (x) b) P (0) = 0 + 7 0 17 0 P (0) = 0 + 0 0 P (0) = P (0) é sempre igual ao termo independente
Leia maisFunções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Dispositivo de Briot-Ruffini. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Dispositivo de Briot-Ruffini 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Dispositivo de Briot-Ruffini
Leia maisErivaldo. Polinômios
Erivaldo Polinômios Polinômio ou Função Polinomial Definição: P(x) = a o + a 1.x + a 2.x 2 + a 3.x 3 +... + a n.x n a o, a 1, a 2, a 3,..., a n : Números complexos Exemplos: 1) f(x) = x 2 + 3x 7 2) P(x)
Leia maisPOLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma:
POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: n P(x) a a x a x... a x, onde 0 1 n Atenção! o P(0) a 0 o P(1) a a a... a 0 1 n a 0,a 1,a,...,a n :coeficientes
Leia maisPOLINÔMIOS. Nível Básico
POLINÔMIOS Nível Básico. (Eear 07) Considere P(x) x bx cx, tal que P() e P() 6. Assim, os valores de b e c são, respectivamente, a) e b) e c) e d) e. (Epcar (Afa) 05) Considere o polinômio a) x 0 não é
Leia maisMatemática A - 10 o Ano
Matemática A - 10 o Ano Resolução da Ficha de Trabalho Álgebra - Divisão Inteira de Polinómios Grupo I 1. Considerando os polinómios p e b no enunciado temos que o termo de maior grau de p b é a nx n b
Leia maisFunções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Quantidade de Raízes e Consequências. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Quantidade de Raízes e Consequências 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Quantidade de Raízes
Leia maisDenominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma:
EQUAÇÕES POLINOMIAIS. EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: p(x) = a n x n + a n x n +a n x n +... + a x + a 0 = 0 onde
Leia maisDefinição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n
POLINÔMIO I 1. DEFINIÇÃO Polinômios de uma variável são expressões que podem ser escritas como soma finita de monômios do tipo : a t k k onde k, a podem ser números reais ou números complexos. Exemplos:
Leia maisPolinômios. Acadêmica: Vanessa da Silva Pires
Polinômios Acadêmica: Vanessa da Silva Pires Situação 01: Se você somar 1 ao produto de quatro inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito. Situação 02: Na resolução de problemas,
Leia maisEquação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x
EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a
Leia maisAULA 01 (A) 9. (B) 1. (C) 0. (D) 7. (E) 10. (E) Se k 5 então axterá ( ) grau 1. (D) d(3) 4. (E) d(4) 12.
AULA 01 Observe cada um dos polinômios a seguir: x p( x) x 9x 4x x x 7 3 (I) 7 6 5 3 x 3x (II) mx ( ) 5 4 3 (III) n( x) 8x 3x 10x 3 6 Se organizarmos estes polinômios em ordem crescente de grau teremos
Leia maisFunções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Teorema do Resto. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Teorema do Resto 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Teorema do Resto 1 Exercícios Introdutórios
Leia maisFunções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Divisão de Funções Polinomiais. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Divisão de Funções Polinomiais 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Divisão de Funções Polinomiais
Leia maisQUESTÕES DE VESTIBULARES
QUESTÕES DE VESTIBULARES 01- (ACAFE) Dados os polinômios: p(x) = 5-2x + 3x 2, q(x) = 7 + x + x 2 - x 3 e r(x) = 1-3x + x 4. O valor de p(x) + r (x) - q(x) para x = 2 é: A) 5 B) 13 C) 11 D) 24 E) 19 02-
Leia maisAlexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais
MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Iremos agora desenvolver um método para resolver integrais de funções racionais,
Leia maisFicha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais
Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais 1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 4 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. De um modo geral, que relação
Leia maisMatemática E Extensivo V. 6
Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = + 7 7
Leia maisProjeto Jovem Nota 10 Polinômios Lista C Professor Marco Costa
1 1. (Fuvest 97) Suponha que o polinômio do 3 grau P(x) = x + x + mx + n, onde m e n são números reais, seja divisível por x - 1. a) Determine n em função de m. b) Determine m para que P(x) admita raiz
Leia maisFunção polinomial. Pré-Cálculo. Função polinomial. Função polinomial: exemplos. Humberto José Bortolossi. Parte 6. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Função polinomial Parte 6 Parte 6 Pré-Cálculo 1 Parte 6 Pré-Cálculo 2 Função polinomial Função polinomial:
Leia maisExercícios de Aprofundamento 2015 Mat - Polinômios
Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios. (Espcex (Aman) 05) O polinômio (x) x x deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( ) é a) 0. b) 4. c) 0. d) 4. e) 0. 5 f(x) x x x, uando dividido
Leia maisEQUAÇÕES POLINOMIAIS
EQUAÇÕES POLINOMIAIS Prof. Patricia Caldana Denominamos equações polinomiais ou algébricas, as equações da forma: P(x)=0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as
Leia maisApostila adaptada e editada da intenert pelo Professor Luiz
Definição POLINÔMIOS Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(=a n x n + a n-1.x n-1 + a n-.x n- +... + a x + a 1 x + a 0. Onde: a n, a n-1, a n-,..., a, a
Leia mais4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais
MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por
Leia maisÁlgebra. Polinômios.
Polinômios 1) Diga qual é o grau dos polinômios a seguir: a) p(x) = x³ + x - 1 b) p(x) = x c) p(x) = x 7 - x² + 1 d) p(x) = 4 ) Discuta o grau dos polinômios em função de k R: a) p(x) = (k + 1)x² + x +
Leia maisMatemática E Extensivo V. 8
Matemática E Extensivo V. 8 Resolva Aula 9 9.) D x + x 7x 6 = x = é raiz. Aula.) x + px + = Se + i é raiz, então i também é. 5 7 6 Soma = b a = p p = + i + i p = p = Q(x) = x + 5x + Resolvendo Q(x) =,
Leia maisMatemática E Intensivo V. 2
Matemática E Intensivo V. Exercícios 0) a) b) c) 8 8 8 a) 8 = =!! C = = ( 8 )!!!! b) 0 0 0 0 = =!! C = = ( 0 )!! 8!! n 0 n n c) Cn 0 = =!! = = ( n 0)! 0! n! 0) 0x O terceiro termo é dado por: T r + = n
Leia maisTécnicas de. Integração
Técnicas de Capítulo 7 Integração TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de
Leia maisPolinômios (B) 4 (C) 2 (D) 1 3 (E). 2
Polinômios. (ITA 2005) No desenvolvimento de (ax 2 2bx + c + ) 5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a (A) 2 (B) 4 (C) 2 (D)
Leia maisVisite : e) ) (UFC) O coeficiente de x 3) 5 é: a) 30 b) 50 c) 100 d) 120 e) 180
) (ITA) Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições = P() = P() = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos: a) P(0) = 4 b) P(0) = 3 c) P(0) = 9 d) P(0) = e) N.D.A. ) (UFC) Seja P(x) um
Leia maisFICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS
FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Na figura está representado um paralelepípedo ABCDEFGH.
Leia maisPrimeira Lista de Exercícios
Primeira Lista de Exercícios disciplina: Introdução à Teoria dos Números (ITN) curso: Licenciatura em Matemática professores: Marnei L. Mandler, Viviane M. Beuter Primeiro semestre de 2012 1. Determine
Leia maisDIVISÃO DE POLINÔMIOS
DIVISÃO DE POLINÔMIOS Prof. Patricia Caldana A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enuncia-lo como sendo: A divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo
Leia maisPrimeira prova de Álgebra II - 30/09/2010 Prof. - Juliana Coelho
Primeira prova de Álgebra II - 0/09/2010 Prof. - Juliana Coelho JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS! Questões contendo só a resposta, sem desenvolvimento ou justificativa serão desconsideradas! QUESTÃO 1 (2,0 pts)
Leia maisPolinômios. 02) Se. (x 1), então. f(x) (x 2) (x 1) 5ax 2b, com a e b reais, é divisível por a b 1. 04) As raízes da equação
Polinômios 1. (Ufsc 015) Em relação à(s) proposição(ões) abaixo, é CORRETO afirmar ue: 01) Se o gráfico abaixo representa a função polinomial f, definida em por f(x) ax bx cx d, com a, b e c coeficientes
Leia maisDISCIPLINA: Matemática III PROFESSORA: Juliana Schivani ALUNO(a): Data: / /.
DISCIPLINA: Matemática III PROFESSORA: Juliana Schivani ALUNO(a): Data: / /. 1. (Ufjf-pism 017) Qual é o polinômio que ao ser multiplicado por g(x) 3 x 2x 5x 4 tem como resultado o polinômio 6 5 4 h(x)
Leia maisMatemática A - 10 o Ano Ficha de Trabalho
Matemática A - 10 o Ano Ficha de Trabalho Álgebra - Divisão Inteira de Polinómios Grupo I 1. Tendo em conta que n N; a n, a n 1,..., a 1, a 0 R e a n 0; b n, b n 1,..., b 1, b 0 R e b n 0, considere os
Leia maisMATEMÁTICA MÓDULO 1 TEORIA DOS NÚMEROS 1. DIVISIBILIDADE 1.1. DEFINIÇÃO 1.2. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
TEORIA DOS NÚMEROS 1. DIVISIBILIDADE Neste momento inicial, nosso interesse será em determinar quando a divisão entre dois números inteiros é exata, ou seja, quando o resto da divisão é 0. Antes de mais
Leia maisCálculo Numérico / Métodos Numéricos. Solução de equações polinomiais Briot-Ruffini-Horner
Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de equações polinomiais Briot-Ruffini-Horner Equações Polinomiais p = x + + a ( x) ao + a1 n x n Com a i R, i = 0,1,, n e a n 0 para garantir que o polinômio
Leia maisFácil e Poderoso. Dinâmica 1. 3ª Série 4º Bimestre. DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO. Matemática 3ª do Ensino Médio Algébrico-Simbólico
Fácil e Reforço escolar M ate mática Poderoso Dinâmica 1 3ª Série 4º Bimestre DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO Matemática 3ª do Ensino Médio Algébrico-Simbólico Polinômios e Equações Algébricas. Primeira
Leia maisMATEMÁTICA 1 MÓDULO 2. Divisibilidade. Professor Matheus Secco
MATEMÁTICA 1 Professor Matheus Secco MÓDULO 2 Divisibilidade 1. DIVISIBILIDADE 1.1 DEFINIÇÃO: Dizemos que o inteiro a é divisível pelo inteiro b (ou ainda que a é múltiplo de b) se existe um inteiro c
Leia maisPolinômios. 2) (ITA-1962) Se x³+px+q é divisível por x²+ax+b e x²+rx+s, demonstrar que:
Material by: Caio Guimarães Polinômios A seguir, apresento uma lista de vários exercícios propostos (com gabarito) sobre polinômios. Os exercícios são para complementar a vídeo-aula a respeito de polinômios
Leia maisMatemática E Extensivo V. 6
Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +
Leia mais3 + =. resp: A=5/4 e B=11/4
ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI-UNITAU EXERCÍCIOS PARA ESTUDO DO EXAME FINAL - 3º ENSINO MÉDIO - PROF. CARLINHOS BONS ESTUDOS! ASSUNTO : POLINÔMIOS 1) Identifique as expressões abaixo que são
Leia maisEquações Algébricas - Propriedades das Raízes. Teorema da Decomposição. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Equações Algébricas - Propriedades das Raízes Teorema da Decomposição 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Equações Algébricas - Propriedades das Raízes Teorema da Decomposição 1 Exercícios
Leia mais1 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por. 2x 1 0 x 1 2. b a x. ba 2. e b 2 c
CAPÍTULO 1 Exercícios 1..n) Como x 0 para todo x, o sinal de x(x ) é o mesmo que o de x; logo, x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0.. n) Como x 1 1 0 para todo x, multiplicando-se os dois
Leia maisA = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.
Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos
Leia maisMatemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =
Erivaldo UDESC Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0,353535... = 35 99 2) 2,1343434... = 2134 21 99 0 Decimal (Indo-Arábico): 2107 = 2.10 3 + 1.10 2 + 0.10 1 + 7.10 0 Número de
Leia maisobs: i) Salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade. ii) O conjunto dos naturais inclui o zero.
Lista 1 - Teoria de Anéis - 2013 Professor: Marcelo M.S. Alves Data: 03/09/2013 obs: i) Salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade. ii) O conjunto dos naturais inclui o zero. 1. Os conjuntos
Leia mais... Onde usar os conhecimentos os sobre...
IX NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS Por que aprender sobre Números Complexos?... Ao estudar os Números Complexos percebemos que sua ligação à geometria nos dá uma perspectiva mais rica dos métodos geométricos
Leia maisResolução: P(i) = 2. (i) 4 (i) 3 3(i) 2 + (i) + 5 = 2 + i + 3 + i + 5 = 10 + 2i. Resolução: Resolução:
EXERCÍCIOS 01. Calcule o valor numérico de P(x) = 2x 4 x 3 3x 2 + x + 5 para x = i. P(i) = 2. (i) 4 (i) 3 3(i) 2 + (i) + 5 = 2 + i + 3 + i + 5 = 10 + 2i 02. Dado o polinômio P(x) = x 3 + kx 2 2x + 5, determine
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A Tema II Funções e Gráficos. Funções polinomiais. Função módulo.
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A Ponto três do plano de trabalho nº 5 Tarefa nº 4. Considere a família de funções polinomiais: f(x) = a(x + )(x )(x + 5), a \ {0}.. Represente
Leia maisProjeto Jovem Nota 10 Polinômios Lista A Professor Marco Costa
1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Ufv 2000) Sabendo-se que o número complexo z=1+i é raiz do polinômio p(x)=2x +2x +x+a,calcule o valor de a. 2. (Ita 2003) Sejam a, b, c e d constantes reais. Sabendo que a divisão
Leia maisMatemática E Intensivo V. 2
Matemática E Intensivo V. Exercícios 0) E P 6 6! 70 0) motorista possibilidades p. p. p. p. p 8 possibilidades 0) motorista P 6. P 0 0) E P 0 68800 Então precisam de 68800 dias. Aproximadamente 99,9 anos
Leia maisPolinômios irredutíveis
Polinômios irredutíveis Sérgio Tadao Martins 23 de janeiro de 2009 1 Introdução: polinômios em uma variável Um polinômio de grau n em uma variável x é uma expressão da forma p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
Leia mais8. Calcular, para que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja: a) do 3 grau b) do 2 grau c) 1 grau
8. Calcular, para que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja: a) do 3 grau b) do 2 grau c) 1 grau 9. Quais das seguintes funções são polinomiais? Justifique. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) 10. Sendo ( ), calcule:
Leia maisRACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR
RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 11 ÁLGEBRA LINEAR I - POLINÔMIOS POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1 Definição Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi, onde a e b são números reais e i
Leia maisTécnicas de Integração
Técnicas de Integração INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni UNESP, FEG, Depto de Matemática Guaratinguetá, agosto de 2017 Direitos reservados. Reprodução autorizada desde
Leia mais4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios
Leia maisMatemática. Questão 1. 3 a série do Ensino Médio Turma. 2 o Bimestre de 2016 Data / / Escola. Aluno RESOLUÇÃO: AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO
EM AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO Matemática 3 a série do Ensino Médio Turma GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DA EDUCAÇÃO 2 o Bimestre de 2016 Data / / Escola Aluno Questão 1 Dada a equação
Leia maisPolinómios. Integração de Fracções Racionais
Polinómios. Integração de Fracções Racionais Escola Superior de Tecnologia e de Gestão, Instituto Politécnico de Bragança. Mário Abrantes 2016 1 / 17 Índice de Matérias 1. Polinómios Denição Factorização
Leia maiso) (V) a) D (6) = 6, 3, 2, 4. a) D (220) = 220, 110, 55, 44, 22, 20, 11, 10, 5, 4, 2, 16q 1 = 18q 2 8q 1 = 9q 2 (I) 9q 1 + 9q 2 = 9 68
Matemática 5 aula. DIVISIBILIDADE a) N = 0 = 8. 9. 5 =.. 5 Seja n o número de divisores positivos, n = ( + )( + )( + ) = 4 b) Se n é o número de divisores negativos, n 4. Logo, a quantidade total é 48.
Leia maisO problema proposto possui alguma solução? Se sim, quantas e quais são elas?
PROVA PARA OS ALUNOS DE 3º ANO DO ENSINO MÉDIO 1) Considere o seguinte problema: Vitor ganhou R$ 3,20 de seu pai em moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos. Se recebeu um total de 50 moedas, quantas
Leia maisPolinómios. Integração de Funções Racionais
Polinómios. Integração de Funções Racionais Escola Superior de Tecnologia e de Gestão, Instituto Politécnico de Bragança. Mário Abrantes 2016 1 / 17 Índice de Matérias 1. Polinómios Denição Factorização
Leia maisO espião que me amava
Reforço escolar M ate mática O espião que me amava Dinâmica 2 3ª Série 4º Bimestre DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO Matemática Ensino Médio 3ª Algébrico-Simbólico. Polinômios e Equações Algébricas. Aluno
Leia maisa) Falsa. Por exemplo, para n = 2, temos 3n = 3 2 = 6, ou seja, um número par.
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 01 a) Falsa. Por exemplo, para n =, temos 3n = 3 = 6, ou seja, um número par. b) Verdadeira. Por exemplo, para n = 1, temos n = 1 =, ou seja, um
Leia maisCoeficientes Reais. Jorge J. Delgado Maria Lúcia Torres Villela
Pré-Cálculo, Vol. 3: Polinômios com Coeficientes Reais Jorge J. Delgado Maria Lúcia Torres Villela IM-UFF 2007 2 Conteúdo 3 Polinômios com coeficientes reais 7 1. Polinômios e operações...................
Leia maisPLANO DE AULA POLINÔMIOS
Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal Catarinense - Campus avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática PLANO DE AULA POLINÔMIOS 1 Identificação
Leia mais3ª série do Ensino Médio Turma. 2º Bimestre de 2018 Data / / Escola Aluno
AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO Matemática 3ª série do Ensino Médio Turma 2º Bimestre de 2018 Data / / Escola Aluno 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Avaliação da Aprendizagem em Processo
Leia maisRREGUOJMatemática Régis Cortes. Matemática Régis Cor POLINÔMIOS PROPRIEDADES E RELAÇÕES DE GIRARD
POLINÔMIOS PROPRIEDADES E RELAÇÕES DE GIRARD 1 Propriedades importantes: P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes. Exemplo: a equação x 3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0
Leia maisMatemática 1 INTRODUÇÃO 1 TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS 3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 2 TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS. Exercício Resolvido 2
Matemática Frente II CAPÍTULO 22 EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1 INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores, durante o estudo de polinômios, já estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as raízes de polinômios.
Leia maisPolinômios e equações algébricas 2. Fascículo 12. Unidade 38
Polinômios e equações algébricas 2 Fascículo 12 Unidade 38 Polinômios e equações algébricas 2 Para início de conversa... Conforme vimos na unidade Geometria Espacial: pirâmides e cones, que tratava das
Leia maisPolinômios e Equações Polinomiais
Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação Cecierj/Consórcio CEDERJ Matemática 3 ano - 4 Bimestre/ 2012 Avaliação da Implementação do Plano de Trabalho I Polinômios e Equações Polinomiais Tarefa 3: Avaliação
Leia maisMatemática E Extensivo V. 7
Matemática E Etensivo V. 7 Eercícios ) B ) A P() = ³ + a² + b é divisivel por. Pelo teorema do resto, = é raiz de P(). P() = ³ + a. ² + b a + b = Da mesma maneira, P() é divisível por. Pelo teorema do
Leia maisparciais primeira parte
MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Técnicas de integração frações parciais primeira parte Objetivo Aprender a técnica de integração conhecida como frações parciais. Introdução A técnica que você aprenderá agora lhe
Leia mais(UCSAL) Sejam os números reais x e y tais que 12 - x + (4 + y)i = y + xi. O conjugado do número complexo z = x + yi é:
APOSTILAS (ENEM) VOLUME COMPLETO Exame Nacional de Ensino Médio (ENEM) 4 VOLUMES APOSTILAS IMPRESSAS E DIGITAIS Questão 1 (UCSAL) Sejam os números reais x e y tais que 12 - x + (4 + y)i = y + xi. O conjugado
Leia maisDefinição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c.
Divisores Definição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c. Quando a é múltiplo de d dizemos também que a é divisível
Leia mais. Determine os valores de P(1) e P(22).
Resolução das atividades complementares Matemática M Polinômios p. 68 Considere o polinômio P(x) x x. Determine os valores de P() e P(). x x P() 0; P() P(x) (x x)? x (x ) x x x P()? 0 P() ()? () () 8 Seja
Leia maisCRITÉRIO DE EISENSTEIN. Marília Martins Cabral Orientador: Igor Lima
CRITÉRIO DE EISENSTEIN 1 Marília Martins Cabral Orientador: Igor Lima NOTAÇÕES a b a divide b. a b a não divide b x n a variável x elevado a potência n. a n coeficiente de x n 2 INTRODUÇÃO: POLINÔMIOS
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 3
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisNúmeros Primos, Fatores Primos, MDC e MMC
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17,
Leia maisMódulo de Equações do Segundo Grau. Relações entre coeficientes e raízes. Nono Ano
Módulo de Equações do Segundo Grau Relações entre coeficientes e raízes. Nono Ano Relações entre Coeficientes e Raízes. Exercícios Introdutórios Exercício. Fazendo as operações de soma e de produto entre
Leia mais1 Funções quadráticas para ajudar nas contas
Funções quadráticas e polinômios Carlos Shine No que segue na parte teórica, f(x) = ax 2 +bx+c, a 0, a,b,c R. Seja também = b 2 4ac o discriminante de f. 1 Funções quadráticas para ajudar nas contas (Equação
Leia mais2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações
Capítulo 2 2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações Como exposto no tópico 1.3, uma expressão algébrica é uma a expressão matemática na qual se faz uso de letras, números e operações aritméticas.
Leia maisFICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA A 10.º ANO FUNÇÕES POLINOMIAIS
FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA A 10.º ANO FUNÇÕES POLINOMIAIS Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei 1. Para que valores reais de m, GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA p x x mx 0 dividido
Leia maisMATEMÁTICA. Aula 4. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1
MATEMÁTICA Aula 4 Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Divisibilidade Critérios de divisibilidade São critérios que nos permite verificar se um precisarmos efetuar grandes divisões. número é divisível
Leia maisUniversidade Federal do Espírito Santo Prova de Álgebra II Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Data: 07/05/2015
Universidade Federal do Espírito Santo Prova de Álgebra II Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Data: 07/05/2015 Aluno: Matrícula. Nota: : :.Observações: I A prova tem duração de 100 min; não é permitido
Leia maisPOLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 2016
POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 06. (Unicamp 06) Considere o polinômio cúbico p() a, onde a é um número real. a) No caso em que p() 0, determine os valores de para os quais a matriz A abaio não é invertível.
Leia maisUm polinômio com coeficientes racionais é uma escrita formal
Polinômios. Um polinômio com coeficientes racionais é uma escrita formal P (X) = a i X i = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 +... + a n X n onde a i Q para todo i {0, 1,..., n}. Isso nos dá uma função f : N Q definida
Leia maisPOLINÔMIOS. x 2x 5x 6 por x 1 x 2. 10 seja x x 3
POLINÔMIOS 1. (Ueg 01) A divisão do polinômio a) x b) x + c) x 6 d) x + 6 x x 5x 6 por x 1 x é igual a:. (Espcex (Aman) 01) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A x B x x x x 1. Sabendo-se que 1 é raiz
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental
Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio
Leia maisUniversidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros
3. Poliômios Defiição: Um poliômio ou fução poliomial P, a variável x, é toda expressão do tipo: P(x)=a x + a x +... a x + ax + a0, ode IN, a i, i = 0,,..., são úmeros reais chamados coeficietes e as parcelas
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão 4 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisConteúdo. 2 Polinômios Introdução Operações... 13
Conteúdo 1 Conjunto dos números complexos 1 1.1 Introdução.......................................... 1 1.2 Operações (na forma algébrica).............................. 2 1.3 Conjugado..........................................
Leia maisXIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 3. Polinômios em Z[x] Matheus Secco
XIX Semana Olímpica de Matemática Nível 3 Polinômios em Z[x] Matheus Secco O projeto da XIX Semana Olímpica de Matemática foi patrocinado por: Polinômios em Z[x] N3 Professor Matheus Secco 1 Ferramentas
Leia maisSendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível por Q(x) = x 3, o resto de sua divisão por D(x) = x 5 é
Questão 01) O polinômio p(x) = x 3 + x 2 3ax 4a é divisível pelo polinômio q(x) = x 2 x 4. Qual o valor de a? a) a = 2 b) a = 1 c) a = 0 d) a = 1 e) a = 2 TEXTO: 1 Para fazer um estudo sobre certo polinômio
Leia maisIntegração por frações parciais - Parte 1
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Integração por frações parciais - Parte Neste pequeno texto vamos desenvolver algumas ideias para integrar funções racionais, isto é, funções
Leia maisMATEMÁTICA CADERNO 3 SEMIEXTENSIVO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. n Módulo 9 Sistemas Lineares II
MATEMÁTICA CADERNO SEMIEXTENSIVO E Assim: A tem R$,, B tem R$ 8,, C tem R$ 9, e D tem R$ 6,. FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 9 Sistemas Lineares II x + y + z = x + y + z = ) y + z = y + z = 6z = 8 z = ) x + y
Leia maisPROJETO SEEDUC SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DO RIO DE JANEIRO - CECIERJ. Plano de Trabalho 1 Polinômios e Equações Algébricas
PROJETO SEEDUC SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DO RIO DE JANEIRO - CECIERJ Plano de Trabalho 1 Polinômios e Equações Algébricas 3º ano do Ensino Médio da Rede Pública do Rio de Janeiro Formação Continuada
Leia maisASSUNTO:POLINÔMIOS. a) Do 3º grau resp: m ±6 b) Do 2º grau resp: m=6 c) do 1 º grau m=-6
ASSUNTO:POLINÔMIOS 1) Identifique as expressões abaixo que são polinômios: a) 3x 3-5x 2 +x-4 b) 5x -4 -x -2 +x-9 c) x 4-16 d)x 2 3 +2x+6 e) x 2 4 resp: a, c,d 2) Dado o polinômio P(x)= 2x 3-5x 2 +x-3.
Leia mais