FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão 4 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão 4

2 . Num referencial ortornormado xoy, a equação 0 define uma elipse com centro na origem do referencial e vértices nos eixos coordenados. (0).. Diga, justificando, qual das seguintes representa a equação reduzida da elipse. (A) (B) (C) (D) 5 0 Passemos à equação reduzida: opção A 0 5 (0).. Determine as coordenadas dos vértices e dos focos da elipse. Temos a 0 b, portanto o semieixo maior é vertical e a 0 5. Assim, os vértices associados ao eixo menor são A 5, 0 e 5 0 Como b. b 5, o semieixo menor é 5 5 B,. Portanto, os vértices associados ao eixo menor são C 0, 5 e 05 D,. Para descobrir as coordenadas dos focos, determinemos o valor de c (semidistância focal) Como b a c, vem 5 0 c Assim, os focos têm coordenadas 0 5 c 5 c 5 F, e 0 5 F,. (0).. No referencial ortonormado xoy da figura do lado está representada a elipse dada. [PQRS] é um retângulo circunscrito à elipse. Indique, justificando, qual é a área do retângulo [PQRS]. (A) 40 5 (B) 40 (C) 0 5 (D) 0 De acordo com a figura, sabemos que Área PQRS ab 4ab, sendo a e b, respetivamente, os eixos menor e maior da elipse. Logo, Área PQRS u. a. Opção A (0).4. Considere a condição: 0 y x Diga, justificando, qual das opções seguintes corresponde à representação desta condição num referencial ortonormado. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão 4

3 A condição 0 y x representa os pontos do plano que verificam simultaneamente (conjunção) as condições 0 e y x. Ora, 0 representa os pontos exteriores à elipse. 0 5 Já y x y x 0 y x y x 0 y x 0 y x 0 y x y x, isto é, retas de coordenadas iguais ou simétricas, quer dizer, as bissetrizes dos quadrantes. Assim, só a opção B representa a condição dada.. Num referencial ortonormado xoy, os pontos A, um quadrado. e 4 B, são vértices opostos de (0).. Escreva a equação reduzida da circunferência de diâmetro [AB]. 4 A circunferência tem centro no ponto médio de [AB] M,, 0 Assim, o seu raio AB r ou r AM MB r MB A equação da circunferência é x y 0 0 x y 0. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão 4

4 (0).. Justifique que os restantes vértices do quadrado pertencem à reta de equação yx. Como A e B são vértices opostos do quadrado, sabemos que os outros dois vértices pertencem à mediatriz de [AB], pois estão à mesma distância dos vértices A e B (o quadrado tem os lados todos iguais). Portanto, os outros vértices estão na reta de equação x y x 4 y Simplificando, vem x y x y x 4 y 8x 6 y x yx c.q.m. (5).. Determine as coordenadas dos restantes vértices do quadrado. Sabemos que tais vértices estão na mediatriz de [AB], reta de equação y x. Mas também são pontos da circunferência de diâmetro [AB], de equação estão à mesma distância do ponto M, centro do quadrado. x y 0, pois Assim, os vértices em falta são os pontos de interseção da mediatriz com a circunferência, que se podem descobrir resolvendo o sistema Substituindo y x na equação x x y x x y 0 x y 0 vem: x x x x x 0x 0 x x x 0 0x 0 x 0 x Portanto, para: x 0 temos 0 y, isto é, o ponto 0, y, ou seja, o ponto, x temos Logo, os restantes vértices do quadrado são os pontos de coordenadas 0 Outro processo: Usar o TPitágoras Sendo, e P x, y um ponto da mediatriz, as suas coordenadas são da forma x, x. Assim, resolvendo a equação PA PB AB descobrem-se os valores de x.,. (5).4. Determine as coordenadas de um vetor v com o mesmo sentido a AB e de norma 8. Um vetor v com o mesmo sentido de AB é da forma v Temos AB B A 4,, 6, Portanto, v k 6, 6k, k v temos k k Como 8 Assim, Portanto, 5 k v 6,, k AB, com k 0. 6k 4k 8 40k 8 8 k 40 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 4/8 Versão 4

5 . Na figura do lado está representado um triângulo [ABC]. P, Q e R são os pontos médios dos lados a que pertencem. (0).. Diga, justificando, qual das igualdades seguintes é falsa. (A) PR QP PC (B) PQ AP PR (C) AR CQ BP 0 (D) AB QR PA Temos: PR QP PR PQ PR RC PC Verdadeira PQ AP PQ PA PQ QR PR Verdadeira AR CQ BP AR RP PA AA 0 Verdadeira AB QR AB BP AP PA FALSA (opção D) (0).. Num referencial ortonormado xoy, os pontos P, Q e R têm coordenadas, R, 0. P,, Q e Usando cálculo vetorial, determine as coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo. A representação geométrica dá-nos as informações necessárias: Como R, P e Q são os pontos médios dos lados sabemos que formam vetores paralelos ao lado oposto e com metade do seu comprimento. Assim: PA QR e A P QR = P R Q PB RQ e B P RQ = P Q R RC PQ e C R PQ = R P =,, 0, =,,, 0 = 4, 0 Q =, 0,, = 0, =, D x x x x. 4. Considere o polinómio 5 4 (0) 4.. Indique, justificando, qual é o resto da divisão de D x por x. (A) 0 (B) (C) 4 (D) 7 O resto da divisão de Temos D = D x por x é, pelo Teorema do Resto, 5 4 D. = 6 8 = 7 Opção D Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/8 Versão 4

6 (5) 4.. Decomponha D x em fatores do menor grau possível. Comecemos por calcular os zeros do polinómio. 5 4 x x x 0 x x x x x x x 0 x x 0 x x O polinómio QT Polinómios e 44.4p4 0 Nota: x x x 4 4 x 0 x 0 0 x 0 x x D x tem apenas dois zeros reais: x 0 é um zero triplo x é um zero duplo. Assim, a sua fatorização é Dx x 0 x x x (5) 4.. Resolva a inequação Dx 0. D x x x tem apenas dois zeros : 0 e. Já sabemos que Construamos uma tabela para estudar o sinal de cada um dos fatores que compõem como do seu produto: D x, assim x 0 x x D x Assim, Dx 0 x,0 5. Considere os polinómios: A x x x x 4 B x x x x C x (5) 5.. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições seguintes: p : é uma raiz de A x com multiplicidade q : não é raiz do polinómio B x r : x : x é raiz de C x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/8 Versão 4

7 p : x está na decomposição de A x, pelo que tem, pelo menos, multiplicidade. Mas também é raiz de x x, pois 0 Ou, x 4 4 x 0 x x x x Portanto, é uma raiz de multiplicidade, pelo que p é VERDADEIRA 0 q : Vejamos se B B = 4 = = = 4 4 = 0 Portanto, q é FALSA r : Vejamos quais são os zeros de C x x 0 x x Portanto, como, r VERDADEIRA (0) 5.. De acordo com o valor lógico encontrado para cada uma das proposições anteriores, Como p indique, apresentando os raciocínios efetuados, o valor lógico da proposição: ~ ~ q r ~ p q V, q F e r V, temos: ~ ~ F V ~ V F ~ V V F F ~ V F F F V (0) 5.. Determine um polinómio P x, de grau, tal que: Como P x seja divisível por x ; - e sejam raízes de O termo independente de P x ; P x é divisível por x, temos Portanto, as raízes de P x seja. P x são -, e. P 0, isto é, é uma raiz de P x. Assim, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o nosso polinómio é da forma:, com a \ 0 P x a x x x Como pretendemos que o termo independente seja, temos Assim, P0 a0 0 0 Portanto, Px x x x P0. a a 6 a Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/8 Versão 4

8 (5) 6. Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 6.A. Mostre que o resto da divisão do polinómio Px x x por x R x D x x é. 6p46 Do algoritmo da divisão sabemos que Px DxQx Rx, isto é, sendo Como D x x x x Q x ax b, Rx ax b, pois tem grau inferior ao grau do divisor. x tem dois zeros, e -, sabemos que: 0 P Q R 0 P Q R a b Assim, a b Portanto, Rx x. ab a b b b a b 4 b a b b a 6.B. Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero definem um quadrilátero cujo perímetro é igual à soma das diagonais do quadrilátero dado..p Seja [ABCD] um quadrilátero qualquer e sejam P, Q, R e S os pontos médios dos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], respetivamente, tal como sugere a figura. Pretendemos de mostrar que: Perímetro PQRS PQ QR RS SP AC BD Usando vetores, isto equivale a mostrar que PQ QR RS SP AC BD. Como AC divide o quadrilátero em dois triângulos, sabemos que, PQ = AC e SR AC, pelo facto de P, Q, R e S os pontos médios dos lados. Assim, PQ SR AC AC AC De forma análoga, conclui-se que Portanto, PPQRS AC BD c.q.m. QR PS BD BD BD Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 8/8 Versão 4