FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS

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1 FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Na figura está representado um paralelepípedo ABCDEFGH. H G E F x 7x 6 x D C A 4 B x 1 Tal como a figura sugere, AB 4, BC x 1 e CG x 7x 6 x, com x. O volume do paralelepípedo é dado, em função de x, por: A 1x 1x 6x 6 B 1x 0x 44x 1 C x 5x 11x D 1x 6x 1. Sejam A, B e C três polinómios de graus n, p e q, respectivamente, com 0 q p n tais que o polinómio A B é divisível por C. Qual é o grau do polinómio AB C? A n p q B n p q C n p q D n p q 1. Considere o polinómio px x x 1. Qual é o resto da divisão inteira de p por x 4? A 76 B 79 C 85 D 88 Ficha de Trabalho n.º 4 Matemática A 10.º Ano 1

2 4. Seja k um número real tal que o polinómio p, definido por 4 p x k x 4k x x é sempre de grau 4. Qual é o valor de k de modo que o resto da divisão inteira de p por x seja 4? A 0 B 1 C D 5. Sejam a e b dois números reais distintos e S o conjunto de todos os polinómios de grau três em que a e b são as suas duas únicas raízes. Qual das seguintes proposições é falsa? p é divisível por x a x b A p S, B p S, p é divisível por x ax b C p S, p é divisível por x a D p S, p é divisível por x b 6. Seja p um polinómio de grau 4 tais que: p p p é raiz de multiplicidade o resto da divisão inteira de p por x é 16 Qual é a expressão analítica do polinómio p? A 4 x x x x B 4 x 8x 6x 8x 8 C 4 x x x x D x 4x x 4 7. Sejam a e b dois números reais tais que o polinómio p x x ax bx 9 é divisível por x. Qual é o valor de a b? A 64 B 7 C 7 D 64 Ficha de Trabalho n.º 4 Matemática A 10.º Ano

3 8. Considere o polinómio p definido por px mx x nx 1, com, \ 0 mn e m n. Qual das seguintes afirmações é falsa? A p é divisível por x 1 B p é divisível por x 1 C p é divisível por n mx D p é divisível por m nx n n 9. Considere o polinómio p definido por px k x x x, com \ 0,1 k e n. Qual é o valor de n de modo que o resto da divisão inteira de p por x seja igual a 64k 57? A 1 B C 4 D Considere o polinómio p definido por n n n p x x 6x x 1, n. Qual pode ser o resto da divisão inteira de p por x 1? A B 1 C 9 D Considere um polinómio p tais que o resto da divisão inteira de p por x 4 é e o resto da divisão inteira de p por x é 1. Qual é o resto da divisão inteira de p por x 4x? A x 5 4x 1 5x 1 x 4 B C D Sejam a e b dois números reais e A, B e C três polinómios definidos por: 5 4, Bx x a e A x x ax bx ax bx b Sabe-se que A B C. Quais podem ser o valores de a e de b? C x x b a x b A a e b B a 4 e b C a e b 4 D a 4 e b 4 Ficha de Trabalho n.º 4 Matemática A 10.º Ano

4 1. Qual é o conjunto solução da inequação x 4x? 5 A, 0, B,0, C,0, D 0, 14. Considere um polinómio p, de grau, tal que px 0 x. Qual é o conjunto solução da inequação x x px ? A 5, 1, B, 1, 5, C, 5,1, D, 1,5 GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA 15. Considere o polinómio p definido por p x x 4x x Utilizando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de p pelo polinómio x 4. *15.. Utilizando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de p pelo polinómio x Verifique se é raiz de multiplicidade de p e decomponha-o num produto de polinómios irredutíveis Resolva a inequação px Resolva em a inequação px x. 16. Seja p o polinómio cujo quociente e o resto da divisão inteira por x 1 é, respectivamente, 17 x e 17x Calcule p 7 e interprete o resultado obtido Determine os zeros de p e decomponha-o num produto polinómios irredutíveis Resolva a inequação px Determine o conjunto solução da inequação px x 9 0. Ficha de Trabalho n.º 4 Matemática A 10.º Ano 4

5 17. Considere o polinómio p definido por p x x x 7x Utilizando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de p pelo polinómio x Mostre que o resto da divisão inteira de p por x é zero, determine os zeros de p e decomponha-o num produto de polinómios irredutíveis Resolva a inequação px 0. *17.4. Considere o polinómio q definido por por x 1 é igual. Qual é o conjunto solução da inequação px qx q x x 11x 18. Sabe-se que o resto da divisão inteira de p e q? 18. Sejam m e n dois números reais não nulos. Considere o polinómios A, B e C definidos por: 4, Bx x 1 e A x x mx nx mx n nx C x x 4m Utilizando o método dos coeficientes indeterminados, determine m e n de modo que Ax Bx Cx Considere agora que o resto da divisão inteira de A por x 1 é a) Mostre que m n b) Sabe-se também que 1 é raiz de multiplicidade do polinómio A. Mostre que m 8 e n 4. c) Decomponha A num produto de polinómios irredutíveis. d) Resolva a inequação Ax Determine Bx e e C um polinómio de grau inferior a. Cx de modo que Ax xbx x Bx Cx Determine o conjunto solução da equação Ax 8xx x 1, sendo B um polinómio de grau. 19. Seja B um polinómio de grau. Sabe-se que o gráfico de B intersecta o eixo Ox nos pontos de abcissas, 1 e e o eixo Oy no ponto de ordenada Determine o conjunto solução da inequação Bx Bxx x 0. Ficha de Trabalho n.º 4 Matemática A 10.º Ano 5

6 19.. Escreva a expressão analítica do polinómio B, apresentando-a na forma reduzida e ordenada. 0. Considere o polinómio p definido por 4 p x x 5x Determine os zeros de p. 0.. Resolva a inequação px Seja q o polinómio definido por q x x x x 1 x. O polinómio p q m, n, p. m n p p, com ab,, a b e pode ser escrito na forma x a x b x a x b Determine a, b, m, n e p. 1. Sejam a e b dois números reais. Considere os polinómios p e q definidos por: px x x bx b e qx x x ax a *1.1. Seja a b. Sabe-se que: o resto da divisão inteira do polinómio p por x a é 6 o resto da divisão inteira do polinómio q por x b é Qual é o valor de a b? 1.. Suponha que o resto da divisão inteira de p e q por x é igual. Qual é o conjunto solução da inequação px qx 0? n n n1. Considere o polinómio q definido por qx x x x, com n..1. Determine o resto da divisão inteira de q por x 1, no caso de n ser par... Considere n 1. a) Decomponha q num produto de polinómios irredutíveis. b) Resolva a inequação qx 0. Ficha de Trabalho n.º 4 Matemática A 10.º Ano 6

7 . Considere um polinómio B de grau. Sabe-se que B é divisível por respectivamente. x e que o resto da divisão inteira de B por x e por x 5 é 0 e 8,.1. Mostre que B é divisível por x 4 e escreva a sua expressão analítica, apresentando-a na forma reduzida e ordenada... Seja C um polinómio de grau 4 com três zeros, um deles o 1, tal que Cx 0 x x 5. Determine o conjunto solução da inequação Bx Cx 0. *4. Considere o polinómio p, definido por 4 p x x 7x 9x Sem determinar todos os zeros de p, decomponha-o num produto de polinómios irredutíveis. Sugestão: coloque x em evidência e repare que x 7x 9 x 6x x Determine Ax e B um polinómio de grau inferior a. B x de modo que px x 1 Ax Bx, sendo A um polinómio de grau e Resolva o exercício por dois métodos distintos, sendo um deles o método dos coeficientes indeterminados. 4.. Resolva a inequação p x 4x 18x 18. Sugestão: decomponha 4x 18x 18 num produto de polinómios irredutíveis. *5. Sejam p um polinómio de grau n, com n, e a, b e c três números reais distintos, raízes do polinómio p, de multiplicidades n 1, n e n, respectivamente, com n1, n, n Considere n 9, n1 e n. Indique, justificando, o(s) valor(es) que n, multiplicidade de c, pode tomar, quando: a) não há restrições além das do enunciado. b) p é divisível por x 1 e 1 c. c) a, b e c são as únicas raízes reais de p. d) p é divisível por x e a, b e c são números reais não nulos. Ficha de Trabalho n.º 4 Matemática A 10.º Ano 7

8 5.. Considere agora que p x x 7x 60x 6x 111x 81x 168x 144. Sabe-se que a 4 e b 1, eventualmente com multiplicidades superiores a 1. a) Determine o valor de c e decomponha p num produto de polinómios irredutíveis. b) Determine o conjunto solução da inequação px 0. *6. O sinal de um polinómio p, de grau, é dado pela tabela seguinte: x a 0 b p x Considere o polinómio q, definido por q x x x 6. Sabe-se que o conjunto solução da condição da inequação pxqx 0 é,0 1, Mostre que a e b Decomponha o polinómio B p q num produto de polinómios irredutíveis, tendo em conta que o resto da divisão inteira de B por x 4 é 18. n1 *7. Considere o polinómio p, definido por n p x x x x 1, com n Determine o valor de n de modo que p p 7.. Mostre que 1 n n p x x x 1 x Considere que n é um número natural par. Determine o conjunto solução da inequação px 0. Adaptado do Caderno de Apoio do 10.º Ano 8. Considere os polinómios A, B e C tais que: A x x 6x 8x 16x 48x B x x x x 4 C é um polinómio de grau 4, cujos seus zeros são, 1, e 5 e o resto da divisão inteira por x 1 é 8. Ficha de Trabalho n.º 4 Matemática A 10.º Ano 8

9 *8.1. Decomponha o polinómio A num produto de polinómios irredutíveis. Sugestão: repare que x 5 6x 4 8x x x x Resolva a inequação Bx 0. Apresente o resultado na forma de intervalo ou união de intervalos de números reias. 8.. Escreva a expressão analítica de C, apresentando-a na forma reduzida e ordenada Determine os zeros do polinómio AB C, indicando as respectivas multiplicidades. *8.5. Determine o conjunto solução da inequação Cx Bx. SOLUCIONÁRIO GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. B. C. D 4. C 5. A 6. B 7. A 8. D 9. B 10. A 11. D 1. C 1. B 14. C x 4x Quociente: ; Resto: GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA 15.. não é raiz de raiz de multiplicidade de p; px x x ,0 1, p7 0 ; 7 é raiz de p, ou seja, 15.. Quociente: x 4; Resto: 19x , px é divisível por x 7. 1 p x x x x , 7, 1, 7,, Quociente: x 1 7 ; Resto: Zeros de p:,,1 x 7 1 ; p x x x x , 1, , 1, m 1 e n 18.. c) Ax x 1 x 1 x 18.. d) 1, \ Bx x 10x 14 ; Cx 6x , 19.1., 1 1,, 19.. x x 5x B x Zeros de p:, 1,1, 0.., 1 1, Ficha de Trabalho n.º 4 Matemática A 10.º Ano 9

10 0.. a 1, b, m, n e p , a) qx x 1 x 1 x 1.. b), 1 1,.1. Bx x 4x x 1.., 4,1 1,5 A x x x x x x 7x 4.. Ax ; 9 0x B x 9 4..,, 1, 5.1. a) 1,, ou b) 1 ou 5.1. a) ou a) a) c ; px x 4 x 1 x x B x 4x x 1 x x 5.. b), 4 n 7.., Ax x 1 x x 4x x ,0 0, 4 x x 15x 19x 15 C x Zeros de AB C : 1 e ambas de multiplicidade ; 0 de multiplicidade ;, 4 e 5 as três de multiplicidade , Ficha de Trabalho n.º 4 Matemática A 10.º Ano 10