FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 2

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 1. Considere a função f, polinomial do quarto grau, definida por 4 3 (10) 1.1. Estude, analiticamente, f quanto à paridade. f é par f x f x, x Df f x x 3x 4x 1x f x x 3 x 4 x 1 x x 3 x 4x 1x x 3x 4x 1x f x f x, portanto f não é par f é ímpar f x f x, x Df f x x 3x 4x 1x x 3x 4x 1x f x f x, logo f não é ímpar (15) 1.. Calcule o quociente e o resto da divisão de f x por x. O que pode concluir? Podemos usar: Algoritmo da divisão, o Método do C. Indeterminados ou a Regra de Ruffini Como o divisor é do 1.º grau, a Regra de Ruffini é o processo mais simples = Resto - é zero de f 3 Assim, q x x 5x 6x e Resto f 0 Como R 0, podemos concluir que é um zero (ou raiz) de f, isto é, f é divisível por x, ou, x é um fator da decomposição de f. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 1/6 Versão

2 (15) 1.3. Prove que é um zero simples de f. é um zero duplo de f x aparece apenas uma vez na decomposição de f f é divisível por x (apenas uma vez) Podemos continuar a aplicar a Regra de Ruffini, agora com o zero, até obtermos resto = Resto - é zero de f = Resto é zero de f = Resto não é zero duplo de f Portanto, é apenas um zero simples de f, pois só é divisível por x uma vez. (15) 1.4. Partindo dos resultados obtidos nas questões anteriores, decomponha f em fatores do menor grau possível. Para decompor f precisamos de conhecer todos os seus zeros. Das questões anteriores sabemos que f xx x 3 5x 6x x x x 3x questão 1.. questão 1.3. x x x x 3 Como já temos 4 fatores do 1.º grau, esta é a decomposição de f. Portanto, f x x x x x 3 pondo x em evidência. A figura do lado mostra uma representação gráfica de uma função f, polinomial do quinto grau, onde estão assinalados os seus três zeros e um máximo relativo. (15).1. Escreva a expressão algébrica de f na forma de um polinómio fatorizado. Como 1, 0 e são os três zeros de f, sendo 1 e zeros duplos. Portanto, a expressão algébrica da função é da forma 0 1 f x a x x x, sendo a o coeficiente do monómio de maior grau. Sabemos também que Ora, f 1 4. f 1 4 a a a 1 Portanto, f x1 x 0 x 1x x x 1x Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /6 Versão

3 (15).. Determine o conjunto solução da condição x x f x 0. Para resolver esta inequação recorremos a uma tabela de sinais, para estudar o sinal de cada fator e o sinal do produto. Zeros de x x : x x 0 x 1 O sinal de f x é conhecido através do gráfico dado. x 1 3 x x1 x x -1 0 x f x x x f x Portanto, S, 1 0, (10).3. Diga, justificando, para que valor(es) de k a equação f x k tem três soluções. (A) O gráfico de 4, (B) 04, (C) 4 (D) 0, 83; 4 f x obtém-se do gráfico de f mantendo os pontos de ordenada não negativa e transformando os de ordenada negativa nos seus simétricos em relação a Ox. Assim, o gráfico de f x passa a ter apenas imagens não negativas, tal como sugere a representação do lado. Portanto, para a equação f x k ter exatamente três soluções k só pode tomar os valores 0 e 4 (opção B). (10).4. Os gráficos seguintes foram obtidos a partir de transformações do gráfico de f. Diga, justificando, qual dos gráficos representa a função g definida por g x f x 1 O gráfico de g x f x 1. obtém-se do gráfico de f efetuando uma translação de 1 unidade para a direita, seguida de uma simetria de eixo Ox. Assim, só o gráfico C representa a função g. Por exemplo, os zeros deslocam-se uma unidade para a direita (passando a 0, 1 e 3) e depois todas as imagens passam às suas simétricas, mantendo apenas os zeros. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 3/6 Versão

4 3. No referencial ortonormado Oxyz, da figura seguinte, está representado um cubo com centímetros de aresta, cujo centro da face [ABCD] coincide com a origem do referencial. I e J são os pontos médios das arestas [DA] e [AB], respetivamente, e K é o ponto da face [EFGH] que pertence ao eixo Oz. (10) 3.1. Diga, justificando, qual das condições seguintes representa a aresta AB. (A) y 1 z 0 (B) y 1 z 0 (C) 1 x 1 y 1 z 0 (D) 1 x 1 y 1 A aresta AB está no plano xoy, cuja equação é z 0. Também está no plano que contém a face [ABFE], cuja equação é y 1. A interseção destes dois planos origina a reta AB, cuja condição é y 1 z 0. Contudo, a aresta AB é a parte desta reta (paralela a Ox) cuja abcissa varia de -1 até 1. Portanto, a aresta AB é definida pela condição (C) 1 x 1 y 1 z 0 Processo mais rápido: Usar as coordenadas dos extremos A 11,, 0 e B 11,, 0 Assim, vemos que 1 y 1 y 1 z 0. (15) 3.. Determine a equação da superfície esférica circunscrita ao cubo e tangente a todos os seus vértices. A superfície esférica tem centro no centro do cubo, que corresponde ao ponto L 0, 0, 1. Assim, o seu raio é r LA e A 11,, 0 Portanto, a equação da superfície esférica é x 0 y 0 z 1 3 Ou seja, x y z 1 3 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 4/6 Versão

5 (10) 3.3. Escreva uma equação vetorial da reta BH. Uma equação vetorial de DF é da forma P B k BH,k. B 11,, 0 H 1, 1, Temos, e Portanto BH H B 1, 1, 11,, 0,, Assim, uma equação de BH é 11 0 x,y,z,, k,,,k. (0) 3.4. Indique, justificando, o valor lógico das afirmações seguintes: (A) A secção produzida no cubo pelo plano BDE é um triângulo equilátero. Verdadeira, a secção produzida é o triângulo equilátero BDE, pois todos os lados são diagonais faciais (logo iguais). (B) AH AG Falsa, pois AH AH é uma diagonal facial e AG é uma diagonais espacial (C) Os vetores AB e DE são colineares Falsa, pois as retas suporte destes vetores não são paralelas (nem complanares). (D) AB CG FE HD 0 Verdadeira, pois AB BF FE EA AA 0 4. Uma fábrica, produz caixas de cartão sem tampa a partir de folhas retangulares com 30 por 60 centímetros. O fabrico processa-se através de corte, dobragem e colagem, conforme sugerem as figuras seguintes. (10) 4.1. Determine as três dimensões da caixa (comprimento, largura e altura), e o respetivo volume, para x 6. A altura h da caixa corresponde ao valor de x, portanto h 6 cm. O comprimento c é 60 menos quatro vezes o valor de x, portanto c cm. A largura l é 30 menos duas vezes o valor de x, portanto l cm. Assim, o volume V da caixa, para 6 x, é V 4 c l h cm 3. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 5/6 Versão

6 (0) 4.. Depois de exprimir as dimensões da caixa em função de x, mostre que o seu volume é dado por 3 problema. V x 8x 40x 1800x, e determine o domínio da função V no contexto do Temos: altura h x; comprimento c 60 4x; largura l 30 x Assim, o volume V é dado, em função de x por Isto é, V x x x x x V x x x x x 10x 10x 8x 3 8x 40x 1800x c.q.m. O domínio de V no contexto do problema corresponde aos valores de x para os quais é possível construir a caixa. Ora, tal só é possível quando todas as suas dimensões são positivas, ou seja, c 0 l 0 h 0 Assim, 60 4x 0 30 x 0 x 0 4x 60 x 30 x 0 x 15 x 15 x 0 0 x 15 DV 0; 15 Portanto, (10) 4.3. Recorrendo à calculadora, determine o valor de x para o qual o volume da caixa é máximo. Indique o volume máximo e as dimensões da caixa de maior volume assim obtida. Nota: Descreva todos os procedimentos efetuados e faça um esboço da parte do gráfico que tem interesse para o problema. Depois de introduzir a expressão algébrica de V, temos necessidade de ajustar a janela de visualização de modo a incluir o domínio indicado. Uma possível janela 1; 16 0; 5000 O gráfico obtido está representado ao lado. Para descobrir o valor máximo recorremos às opções da calculadora. Assim, pedindo o máximo obtemos x 5 e V Portanto, a caixa de volume máximo (4500 cm 3 ) tem altura de 5 cm, comprimento de 40 cm e largura de 0 cm. Nota: O aluno apenas deve apresentar o esboço do gráfico no domínio do contexto do problema, por exemplo, como apresentado abaixo. BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 6/6 Versão