FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 6

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 10.º Ano de escolaridade Versão 6 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 01/0/017 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 1/8 Versão 6

2 1. Num referencial ortonormado xoy, a equação y define uma elipse com centro na origem do referencial e vértices nos eixos coordenados. QT GAPlano (10) 1.1. Diga, justificando, qual das seguintes representa a equação reduzida da elipse. (A) (C) x y 1 (B) y (D) Passemos à equação reduzida: y y 100 x y y 5 y x y 1 opção B 0 5 (10) 1.. Determine as coordenadas dos vértices e dos focos da elipse. Temos a 0, portanto o semieixo horizontal é a. Assim, os vértices associados ao eixo menor são A 5, 0 e 5 0 Como b. b 5, o semieixo maior (vertical) é 5 5 Portanto, os vértices associados ao eixo maior são 0 5 B,. C, e 0 5 D,. Para descobrir as coordenadas dos focos, determinemos o valor de c (semidistância focal) Como b a c, vem 5 0 c c 5 c 5 Assim, os focos têm coordenadas F 1 0, 5 e 0 5 F,. (10) 1.. No referencial ortonormado xoy da figura do lado está representada a elipse dada. F 1 e F são os focos e P e Q são dois pontos da elipse. 1 Indique, justificando, o perímetro do quadrilátero PFQF. (A) 10 (B) 0 (C) 10 5 (D) 0 5 Perímetro PFQF PF PF QF QF. Temos, Como se trata de uma elipse de eixo maior vertical, e P e Q são pontos da elipse, sabemos que PF1 PF b 5 10, assim como QF1 QF b 10 Portanto, Perímetro PFQF opção B Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /8 Versão 6

3 (10) 1.. Considere a condição: y xy 0 Diga, justificando, qual das opções seguintes corresponde à representação desta condição num referencial ortonormado. A condição y xy 0 representa os pontos do plano que verificam simultaneamente (conjunção) as condições y e xy 0. Ora, Já 0 y xy x 0 y 0 x 0 y 0 x y 1 representa os pontos interiores à elipse. 0 5, isto é, pontos com as duas coordenadas de sinais iguais ou nulas, quer dizer, 1.º Quadrante e semieixos ou.º Quadrante e semieixos. Assim, só a opção D representa a condição dada.. Num referencial ortonormado xoy, considere o trapézio [ABCD]. p0 (15).1. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições. p : Se CE AB, então AC BE q : k : AB kcd r : A condição PA PB representa o semiplano fechado definido pela mediatriz de [AB] e que contém o ponto B. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /8 Versão 6

4 p : Se CE AB, então AC BE é VERDADEIRA Sendo E um ponto tal que CE q : k : AB kcd é VERDADEIRA AB, temos AC AB BC CE BC BC CE BE Os vetores AB e CD são colineares (as bases do trapézio são paralelas), mas têm sentidos opostos, pelo que k. r : PA PB representa o semiplano fechado definido pela mediatriz de [AB] e que contém o ponto B, pois tal semiplano é formado pelos pontos que estão mais próximos de B. Logo, q é VERDADEIRA. (10).. De acordo com o valor lógico encontrado para cada uma das proposições anteriores, Como p indique, apresentando os raciocínios efetuados, o valor lógico da proposição: ~ p q ~ p r V, q V e r V, temos: ~ V V ~ V V ~ V F V F F V (10).. Seja M o ponto médio de [BC]. Usando cálculo vetorial, mostre que MA MD BA CD Temos: MA MD MB BA MC CD = BA CD MB MC = BA CD MB BM pois MC BM (M é o ponto médio de [BC]) = BA CD 0 pois MB BM 0 (vetores simétricos) = BA CD c.q.m.. Num referencial ortonormado xoy, os pontos A, 1 um losango. e 1 B, são vértices opostos de (10).1. Escreva a equação reduzida da circunferência com centro em A e que passa por B. A circunferência tem centro no ponto A, 1. Assim, o seu raio r AB A equação da circunferência é x y 1 0 x y 1 0 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /8 Versão 6

5 (15).. Justifique que os restantes vértices do losango pertencem à reta de equação y x. Como A e B são vértices opostos do losango, sabemos que os outros dois vértices pertencem à mediatriz de [AB], pois estão à mesma distância dos vértices A e B (o losango é um quadrilátero com os lados iguais). NOTA: Um esboço do losango ajuda a perceber o problema. Portanto, os outros vértices estão na reta de equação x y 1 x y 1 Simplificando, x x y y x x y y 1 1 x y x y y 8x y x c.q.m. (15).. Sabendo que o losango tem 0 unidades de perímetro, determine as coordenadas dos restantes vértices do losango. Sendo Plosango 0, cada lado do losango tem 5 unidades de comprimento. Assim, pretendemos os pontos da reta y x que distam 5 unidades de A e de B. Sendo P um ponto de y x Como PA 5 ou 5, sabemos que as suas coordenadas são da forma AP, vem, x x1 5 x x P x, x. 1 5 Assim, para x x x x x temos o ponto para C, ; x temos o ponto D,, x x sendo estas as coordenadas dos restantes vértices do losango. k (10).. Considere o ponto E 1 k,. Indique, justificando, o valor de k para o qual os vetores AB e AE são colineares. (A) k (B) k (C) k (D) k Temos: AB B A, 1, 1, k k 1 1 AE E A, k,, k k k Assim, AB e AE são colineares se e só se k k k k 8 8 k k 8 6k 8 k 8 6 k opção A Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 5/8 Versão 6

6 5. Considere o polinómio x x x x x x B. QT1 Polinómios 10A (10).1. Indique, justificando, qual é o resto da divisão de B x por x. (A) 0 (B) (C) 10 0 (D) 10 O resto da divisão de B x por x é, pelo Teorema do Resto, 5 Temos B = = = B = 9 0 = 10 0 Opção C (10).. Mostre que é uma raiz simples de B x é um zero simples de B x se e só se divisão de B x por x, Ou, é um zero simples de x e não é divisível por x B 0 e Q 0, sendo B x se e só se Q x o quociente da B x é divisível por Vamos aplicar a Regra de Ruffini, para, simultaneamente, determinarmos o resto e o quociente = R Como o segundo resto é diferente de zero, Assim, x é uma raiz simples de B x. B x não é divisível por x. (15).. Decomponha o polinómio B x em fatores do menor grau possível. Da questão anterior ficamos a saber que Bx x x x Q x x x tem zeros: Vejamos se x x 0 x x 0 é uma equação biquadrada x x x x 1 x 1 uma fatorização: Bx x x 1 x x eq. impossível x 1 x 1 Q x x x tem apenas dois zeros reais: -1 e 1 são zeros do binómio O polinómio Como x não tem zeros reais, a fatorização de B x é x x 1 x 1 x x 1 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 6/8 Versão 6

7 (15).. Resolva, em, a inequação Bx 0. Da questão anterior ficamos a saber que B x x x 1 x 1 x Construamos uma tabela para estudar o sinal de cada um dos fatores que compõem como do seu produto: B x, assim x 1 1 x 0 + x x x B x Assim, Bx 0 x 11,, (10).5. Escreva um polinómio C x, de grau, tal que: Resolução QT Polinómios1 seja divisível por x ; - e 1 sejam raízes de C x; o termo independente seja. Como C x é divisível por x, temos Portanto, as raízes de C x são -, 1 e. C 0, isto é, é uma raiz de x Assim, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o nosso polinómio é da forma: 1, com a \ 0 C x a x x x Como o pretendemos que o termo independente seja, temos C 0. C. Assim, C 0 a a 1 a a Portanto, C x x x 1 x Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 7/8 Versão 6

8 (15) 5. Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 5.A. Um polinómio O resto da divisão de P x dividido por x 1 tem quociente Q x por x é. Q x e resto. Qual é o resto da divisão de P x por x 1 x? 1p16 Do algoritmo da divisão sabemos que Px x Qx Assim, como Qx x T x, 1, Substituindo Q x na primeira igualdade, vem, Px x x T x 1 Ou seja, Px x x T x x 1 P x x 1 x T x x P x x 1 x T x x 1 Portanto, o resto da divisão de P x por x1 x é Rx x 1 5.B. Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero são os vértices de um paralelogramo. Seja [ABCD] um quadrilátero qualquer e sejam P, Q, R e S os pontos médios dos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], respetivamente, tal como sugere a figura. Pretendemos de mostrar que os lados opostos de [PQRS] são paralelos. Usando vetores, isto equivale a mostrar que PQ PS QR, portanto é suficiente mostrar que PQ SR. Traçando a diagonal [AC] do quadrilátero dado temos: PQ = PB BQ = 1 AB 1 BC Da forma análoga, mostra-se que Assim, PQ 1 = AB BC SR 1 AC SR e [PQRS] é um paralelogramo. 1p01 SR e PS QR. Mas, se PQ SR então = 1 AC Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 8/8 Versão 6