Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2002/03 Mais funções polinomiais 10.º Ano

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1 Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 00/0 Mais funções polinomiais 0º Ano Nome: Nº: Turma: Tem-se uma folha rectangular de cartolina com as dimensões de 0 cm por 0 cm Para construir uma caia sem tampa, vão ser cortados quatro cantos quadrados como é indicado na figura a) Entre que valores pode variar o lado do quadrado a cortar? b) Construam, por dobragem, uma caia sem tampa Tenham em consideração o seguinte: Lado do quadrado a cortar Grupo (em cm) A B C,5 D E 5 F 6 G 7,5 H 9 c) Agora que as caias dos diversos grupos estão construídas, pela comparação (sem fazer qualquer cálculo) que fizerem dos seus volumes, disponham-nas por ordem crescente de volume d) Determine agora o volume de cada uma das caias construídas pelos diferentes grupos e compare a ordenação crescente dos seus volumes com a que fizeram na alínea anterior Alguém acertou com a caia construída de maior volume? e) Relativamente à caia construída com maior volume: e) Qual é a sua área eterior? e) Qual é o número máimo de cubos com cm de aresta que cabem dentro dessa caia, sabendo que as faces dos cubos têm de estar paralelas às paredes da caia? e) Qual é o comprimento do maior lápis que cabe nessa caia? f) Pode estar a pensar que a caia de maior volume possível de construir é a referida na alínea anterior, mas isso não corresponde à verdade! Na folha de cálculo dinâmica pode calcular o volume da caia com outros valores para o lado do quadrado ( Qual é o valor (com aproimação à décima de milímetro) para o comprimento do lado do quadrado que origina o volume máimo para a caia? g) Eecute a Aplicação JavaSketchpad Que relação eiste entre o cubo e a caia representados? ( ( (ficheiro GSP) Considere as funções assim definidas: f : + ; g : + e h : + a) Verifique (analiticamente) se alguma das funções é par b) Resolva a equação h ( =

2 Considere a função polinomial f : + 6 a) Prove que f é uma função par b) Determine os zeros de f Sugestão: Faça uma mudança de variável considerando = t e resolva a equação t t + 6 = 0, tendo o cuidado de determinar depois os valores de a partir dos valores de t encontrados As equações do tipo da equação dada chamam-se equações biquadradas As representações seguintes são de uma função real f definida por um polinómio de º grau Tendo em atenção os valores registados, escreva a epressão de f ( sob a forma de um polinómio reduzido e ordenado a) b) c) 5 Comente, justificando, cada uma das afirmações: Uma função polinomial com quatro zeros reais não é necessariamente de grau quatro Há um e um só polinómio de grau três cujos zeros são, e e que dividido por dá resto Se α é raiz de f ( e de g (, então α é raiz de f ( + g( Se ( a) divide f ( g(, então ( a) divide f ( ou divide g ( 6 As representações gráficas das funções polinomiais f e g, tais que: f ( = + e g ( = + têm três pontos de intersecção, A, B e C a) Determine as coordenadas desses pontos b) Os pontos A, B e C são colineares? Porquê? 7 Considere as funções assim definidas: f : ( ) e g : ( ) a) Obtenha os gráficos das funções no mesmo referencial, considerando os rectângulos de visualização: [-0, 0] por [-000, 000] [-0, 0] por [-0, 0] [, 5] por [-, ] b) Graficamente, determine as soluções da condição ( ) > ( ) c) Confirme algebricamente a solução encontrada na alínea anterior

3 8 Considere a família de funções: h : + m a) Sabendo que é zero ou raiz de h (, calcule m e em seguida determine os restantes zeros b) Faça m = e determine, aplicando a regra de Ruffini, o quociente e o resto da divisão de h ( por Considere uma folha rectangular de papel de dm de largura Dobra-se o canto B de modo que coincida com o ponto E do lado oposto Mostre que a área A ( do triângulo [ECF] é dada por Qual o seu valor máimo? Eplore a animação: A( = 0, A figura representa uma caia em forma de paralelepípedo, cujas dimensões, em centímetros, estão epressas na figura a) Mostre que o volume da caia é dado por V( a) = a + 0a + 75a b) Construa um quadro de valores e represente a V(a) no intervalo [0, 5] c) Recorrendo ao gráfico, determine um valor de a, aproimado às décimas, para o qual o volume da caia é máimo, e indique o valor desse volume O cubo da figura tem cm de aresta Uma formiga desloca-se de A para I, ponto médio da aresta [MN], passando sempre por um ponto (Q) da aresta [BM] e percorrendo segmentos rectilíneos Designando BQ por e por D ( a distância percorrida pela formiga: a) Escreva uma epressão de D ( b) Entre que valores pode variar? c) Recorrendo a uma calculadora gráfica, represente a função D e apresente um valor aproimado de a menos de 0,0 para o qual a distância percorrida pela formiga seja mínima Eplore a animação: Numa aula de Física, dois jovens depositaram num recipiente cilíndrico de 0 cm de diâmetro interior uma esfera metálica com cm de raio Seguidamente deitaram água no recipiente até que a água ficasse tangente à esfera a) Que quantidade de água tiveram de deitar no recipiente? b) Um dos jovens sugeriu que se substituísse aquela esfera por outra maior de modo que, sem variar a quantidade de água, a superfície desta ficasse tangente à nova esfera Será isto possível? Caso afirmativo, determine um valor aproimado do raio da nova esfera a menos de 0, cm Eplore a animação: Tente agora resolver o problema graficamente (funções V e V ), utilizando a calculadora gráfica

4 Pretende-se construir uma caia a partir de um quadrado de cartão com 0 cm de lado, cortando nos cantos quadrados, conforme se ilustra na figura Quais devem ser as dimensões da caia, construída pelo processo descrito, de forma que ela encerre um volume máimo? Numa empresa, a capacidade máima de produção mensal está limitada a,5 toneladas e a venda total da produção mensal está assegurada Sabe-se que o custo total de produção (C) e o preço de venda (V), em milhares de contos, são dados por: C( = + e V ( =, representando o número de toneladas a) No referencial ao lado, os gráficos A e B são representativos das funções C e V Identifique-os, justificando b) Mostre que o lucro mensal é definido por: L ( = ( V C)( = ( + ) Construa, em IR, uma tabela de sinal da função L Entre que valores deve ser mantida a produção mensal da empresa por forma a ser garantido lucro? 5 A figura representa duas caias (A e B) em forma de paralelepípedos rectângulos, cujas dimensões, em dm e em função de, estão epressas na figura a) Mostre que os volumes das caias, em dm, são dados por: A v A ( = + 0 v B ( = B b) Mostre que a diferença de volumes entre as caias A e B é definida por: d( = ( v A vb )( = ( 8) + Construa, em IR, uma tabela de sinal da função d 8 - Será correcto afirmar que a caia A tem maior volume que a caia B para todo o ],0[ ] 7, + [? Justifique

5 SOLUÇÕES f) Designando por o comprimento (em centímetros) do lado dos quadrados cortados nos cantos, o volume da caia pode ser epresso por: V( = (0 (0 (porquê?) A função considerada modela a situação apresentada para 0 < < 0, em centímetros (porquê?) Utilizando a calculadora gráfica, podemos obter: De acordo com a calculadora, o volume é máimo para, 9 cm, sendo o seu valor 056 cm aproimadamente (Os valores eactos são = e V má = ) 7 a) Ora, f ( = ( + ( = Como é falsa a proposição f ( = f (, D, então f não é uma função par (f é uma função ímpar, pois f ( = f (, Df ) Ora, g( = ( + ( = Como é falsa a proposição g( = g(, Dg, então g não é uma função par f Ora, h( = ( ( + = + = h(, Dh Logo, h é uma função par b) Ora, h ( = + = = 0 Fazendo = t, vem: ± + 8 ± t t = 0 t = t = t = t = Logo, h ( = = = = = a) Ora, f ( = ( ( + 6 = + 6 = f (, Df Logo, f é uma função par b) Fazendo = t em f ( = 0, vem: ± 69 ± 5 t t + 6 = 0 t = t = t = t = 9 Logo, f ( = 0 = = 9 = = = = a) f é uma função do tipo f ( = a( + )( 0)( ) Como o ponto de coordenadas (-, ) é um ponto do seu gráfico, então f ( ) = a( + )( 0)( ) = a = Logo, f ( = ( 9 9 ) = b) f é uma função do tipo f ( = a( + )( + )( ) Como o ponto de coordenadas (0, ) é um ponto do seu gráfico, então f ( 0) = a(0 + )(0 + )(0 ) = a = + Logo, f ( = ( )( ) = ( ) = + c) f é uma função do tipo f ( = a( + )( ) ( é um zero duplo, porquê?) Como, por eemplo, o ponto de coordenadas (0, -8) é um ponto do seu gráfico, então f ( 0) = 8 a(0 + )(0 ) = 8 a = Logo, f ( = ( + )( + ) = ( ) =

6 5 A afirmação é verdadeira Por eemplo, f é uma função polinomial do 7º grau, com zeros reais: f ( = ( )( + ) ( ) A afirmação é verdadeira Ora, o polinómio é do tipo P ( = a( + )( )( ) Como dividido por dá resto, então P ( 0) = a = a = + Logo, P ( = ( + )( )( ) = é o único polinómio do º grau que satisfaz as condições enunciadas A afirmação é verdadeira Se α é raiz de f ( e de g (, então f ( = ( α ) q( e g( = ( α ) q( Assim, h ( = f ( + g( = ( α ) q( + ( α ) q( = ( α )( q( + q( ) Como h ( α ) = ( α α )( q ( α ) + q( α )) = 0, então α é raiz de f ( + g( A afirmação é verdadeira Se ( a) divide f ( g(, então f ( a) g( a) = 0 Logo, f ( a) = 0 ou g ( a) = 0, pelo que a é raiz de f ( ou a é raiz de g ( Consequentemente, ( a) divide f ( ou divide g ( 6 a) Ora, f ( = g( + = = 0 ( ) = 0 ± 9 = 0 = = 0 = = + Portanto, A (, g( )) = (, ), B ( 0, g(0)) = (0, ) e C (, g()) = (, ) b) Ora, AB = (, ) e BC = (, ) Logo os vectores são colineares, pois BC = AB Como os vectores são colineares e B é ponto comum desses vectores, os pontos A, B e C são colineares 7 a) Os gráficos pedidos são os seguintes: b) Portanto, ( ) > ( ) ], [ \ {} c) Ora, ( ) > ( ) ( ) ( ) > 0 ( ) ( ( ) ) > 0 ( ) ( ( ))( + ( )) > 0 ( ) ( ( ) > 0 Construindo uma tabela de variação de sinal, vem: 6

7 + ( ) ( ) ( ( ) Portanto, ( ) > ( ) ], [ ], [, o que confirma a solução encontrada na alínea anterior 8 a) Como é raiz de h (, então h () = 0 + m = 0 m = Aplicando a regra de Ruffini, vem: ± 5 Logo, h( = 0 ( )( 6) = 0 = = = = = b) Fazendo m =, será h ( = Dado que d ( = + 6 = ( + ), o resto procurado é igual ao resto da divisão de h ( por + e o quociente q é metade do encontrado nesta divisão (note que D = d q + r D = d + r ): Logo, o resto procurado é r ( = e o quociente é q ( = 5 9 Dado que BF + FC = AD =, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo [ECF], vem: FC Logo, 9 + = ( FC) FC + = 9 6 FC + FC FC = A( = = = = 0,75, cqm 6 Considerando DC DA, a função modela a situação apresentada para 0 < <, em decímetros (porquê?) Utilizando a calculadora gráfica, podemos obter: 0 De acordo com a calculadora, a área é máima para, 7 dm, sendo o seu valor 0, 866 dm, aproimadamente (Os valores eactos são = e A ( ) =, como poderá confirmar no próimo ano lectivo) a) Ora, V( a) = a(5 a)(5 + a) = a(75 + 0a a ) = a + 0a + 75a, cqm b) 7

8 c) O volume é máimo para, cm, sendo esse volume aproimadamente 758 cm (Os valores eactos são = e V ( ) = ) 7 a) Ora, D( = AQ + QI = + + ( + = ( b) Dado que o cubo tem cm de aresta, 0 (em centímetros) c) Utilizando a calculadora gráfica, podemos obter: Para que a distância percorrida pela formiga seja mínima, o valor de deve ser aproimadamente, cm (Os valores eactos são = e D ( ) = ) a) Designado por V, V e e V a, respectivamente, o volume ocupado pela água conjuntamente com a esfera, o volume da esfera e o volume da água, temos: 68 V a = V Ve = π 5 π = 00π π = π 68 Tiveram de deitar π cm (aproimadamente 80,6 cm ) de água b) Designado por r o raio da nova esfera, será: V 5 68 = π r ; V a = π e V e = π r Como Va = V Ve, então 68 π = π 5 r π r 68 = 50r r r 75r + = 0 Sabemos da alínea anterior que r = é uma solução do problema, logo também será raiz da equação anterior Aplicando a regra de Ruffini, vem: ± 55 ± 8 Logo, r 75r + = 0 ( r )(r + r 67) = 0 r = r = r = r = + 8 Sim, essa situação é possível, sendo o raio da nova esfera r =, 9 cm Designando por o comprimento (em centímetros) do lado dos quadrados cortados nos cantos, o volume da caia pode ser epresso por: V( = (0 (porquê?) A função considerada modela a situação apresentada para 0 < < 0, em centímetros (porquê?) Utilizando a calculadora gráfica, podemos obter: 8

9 De acordo com a calculadora, o volume é máimo para, cm, sendo o seu valor 59, 6 cm, aproimadamente (Os valores eactos são = e V ( 0 ) = ) 7 cm cm cm Portanto, a caia de ter aproimadamente as seguintes dimensões:,,, a) Em IR, o gráfico de V é uma recta, pois é uma função afim Logo, os gráficos de C e V são, respectivamente B e A b) L ( = V( C( = ( + = + = ( + ) ± 9 8 Como + = 0 = = = e como + define uma parábola com concavidade voltada para baio, podemos construir a tabela de sinal da função L: L ( Por forma a ser garantido lucro, a empresa deve manter uma produção compreendida entre e toneladas, eclusive a) Ora, v A ( = (0 ( ) = ( + 0) = + 0 v B ( = (8 ( + ) = ( ) = , cqm b) Ora, d( = ( v A v B )( = + 0 ( = 8 = ( 8) ± 9 + Como 8 = 0 = = 7 = e como 8 define uma parábola com concavidade voltada para cima, podemos construir a tabela de sinal da função d: d ( No conteto do problema, D V A = ], 0[ e V B = ] 0, 8[ valores positivos Logo, D d = DV A DV B = ], 8[ apenas para todo o ] 7, 8[ D, pois, 0,, 8 e + representam Consequentemente, a caia A tem maior volume que a caia B O Professor 9