TESTE DE AVALIAÇÃO MATEMÁTICA A. Versão A

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1 E S C O L A S E C U N D Á R I A A F O N S O L O P E S V I E I R A Escola Secundária Afonso Lopes Vieira TESTE DE AVALIAÇÃO MATEMÁTICA A Nome:... Data: //9 Duração da prova 9 min Nº:... º Ano Turma A Versão A Grupo I As cinco questões do Grupo I são de escolha múltipla. Para cada uma das questões são apresentadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na folha de prova apenas a letra correspondente à alternativa que considerar certa para cada questão. Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos nem justificações. pág.

2 Grupo I. Na figura está representado, em referencial O, um cubo, em que os pontos A, B e C são três dos seus vértices, cada um sobre um dos eios coordenados. O plano que intersecta o cubo, criando a secção [ABC], tem por equação. Qual é a medida do volume do cubo? [A] [B] [C] 8 [D] 6 A C O B. A hipérbole da figura seguinte representa parte do gráfico da função f, tendo por assimptotas as rectas e, e cuja ordenada na origem é o ponto (, ). Qual das epressões seguintes poderá definir a função f? [A] [B] [C] [D] f Considere a recta definida por. Qual dos seguintes vectores pode ser o vector director da recta dada? [A] u r (,, ) [B] v r (,, ) [C] r (,, ) [D] w r (,, ). Considere a recta de equação (,, ) (,, ) k(, m, ), k IR Para que valor de m a recta é paralela ao plano? [A] [B] [C] [D]. A forma linear F está sujeita às restrições. Qual das seguintes respostas apresenta o máimo desta forma linear e a respectiva recta de nível? [A] F 9 e 9 [B] F 9 e 9 [C] F 7 e 7 [D] F 7 e 7 pág.

3 Grupo II Nas questões deste grupo, apresente o raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos efectuados e ou justificações que considerar necessárias. As aproimações que tiver de efectuar devem ser apresentadas com três casas decimais. Quando para um resultado não for pedido aproimação deve apresentar o valor eacto.. Considere o ponto, a recta e o plano assim definidos: A (,,) r: α:. Mostre que a recta r pode ser definida por (,, ) (,, ) k(,, ), k IR. Sugestão: comece por considerar dois pontos que verifiquem as equações cartesianas.. Determine ( r α), ou seja, as coordenadas do ponto de intersecção da recta com o plano.. Defina por uma equação cartesiana o plano que contém o ponto A e a recta r.. Considere as funções racionais f() e g(). Caracterie a função f g, apresentando a sua epressão simplificada e o domínio.. Determine o domínio da função f /g.. Apresente uma epressão de g, equivalente à dada, sob a forma e estude-a quanto à eistência de assimptotas. c a b, d. Admita que num estudo de viabilidade económica, sobre uma fábrica de baterias para telemóveis, os custos de produção podem ser calculados recorrendo à seguinte epressão: P(b) b, b > em que P representa o preço de venda, em euros, de cada unidade, e b o número de baterias fabricadas.. Indique a que preço deverá ser vendida cada bateria se forem fabricadas unidades.. Atendendo ao conteto do problema, e interpretando o gráfico da função P na calculadora, indique: o domínio da função, considerando que cada bateria é indivisível; para que valor tende o custo de cada unidade quando a produção tende para infinito.. Calcula a quantidade de baterias que é necessário fabricar para que possam ser vendidas ao preço unitário de 7, euros (tenha em conta que o preço de cada unidade é dado por P). FIM pág.

4 COTAÇÕES Grupo I... Cada resposta certa... Cada resposta errada... Cada questão não respondida ou anulada... Grupo II TOTAL... O Professor: pág.

5 Versão A E S C O L A S E C U N D Á R I A A F O N S O L O P E S V I E I R A Escola Secundária Afonso Lopes Vieira FICHA SUMATIVA MATEMÁTICA A Proposta de resolução Nome:... Data: //9 Nº:... º Ano Turma A I. [C] Para e temos ; para e temos OA OB OC e volume 8.. [B] Das assimptotas b/( ). Contém (, ), logo: b /( ) <> b. [B] <>, logo v r (,, ). [C] Para ser paralela, (, m, )(,, ) <> m <> m. [A] Conforme gráfico, para (, ) F 9 e F <> F II. Se r pode ser definida pela equação (,, ) (,, ) k(,, ), k IR, então o ponto (,, ) tem que verificar. Efectivamente, é uma proposição verdadeira. Conhecendo outro ponto da recta podemos determinar o seu vector director e, por eemplo, para, temos ou seja, (,, ) r e (,, ) r, logo Equação vectorial da recta: (,, ) P k u r, k IR sendo u r (,, ) (,, ) (,, ) Assim confirma-se r: (,, ) (,, ) k(,, ), k IR Processo <> <> <> <> <> <> k k k,k IR <> (,, ) (,, ) k(,, ), k IR. ] [ <> <> ] [ <> <> <>. Considere-se o ponto A (,,), o ponto da recta B(,, ), o vector da recta u r (,, ) e o vector normal ao plano n r (a, b, c) AB B A (,, ) (,, ) (,, ), sendo que n r e AB são perpendiculares. Logo, 6

6 r n AB r r n u <> ( a, b, c) (,, ) <> a b c [] <> b c <> ( a, b, c) (,, ) a b c a b c b c <> b c a c c a, sendo a e faendo c, temos n r (,, ) Um vector do plano é AP P A (,, ) (,, ) (,, ) e como AP _ _n r, temos que AP. n r <> (,, ). (,, ) <> equação do plano:. (fg)() f()g() ( )( ) ( ), (eros em.) ( ) D fg D f D g { IR: } { IR: } D fg IR:\ {, }. D f/g (D f D g )\ { IR: g() } D f/g { IR: } c. a. <> v D f/g IR:\ {,, } 8. g() c. a. O gráfico de g não tem assimptota horiontal Assimptota oblíqua Assimptota vertical 6 8. P(b) Para saber o preço de baterias, basta determinar P( ) e calcular P b P( ),6 P 6 R: cada bateria custa 6. O número de baterias b não pode ser negativo, e deve ser inteiro com b, logo o domínio é IN. O gráfico de / tende para ero quando tende para, logo / / tende para /, ou seja,,. Portanto, quanto a produção b tende para infinito o preço P tende para,, ou seja,. O mesmo se pode concluir observando que P(b) tem uma assimptota horiontal / Tendo em conta que o valor unitário é dado por P, temos P 7, <> P,7. Versão A Pretende-se, assim, determinar P(b),7 P(b),7 <>,7 <>,,7 <>,7, <> b b b, b b > <> b /, b > <> b b > R: Seria necessário fabricar baterias para que fossem comercialiadas a 7,.

7 E S C O L A S E C U N D Á R I A A F O N S O L O P E S V I E I R A Escola Secundária Afonso Lopes Vieira TESTE DE AVALIAÇÃO MATEMÁTICA A Nome:... Data: //9 Duração da prova 9 min Nº:... º Ano Turma A Versão B Grupo I As cinco questões do Grupo I são de escolha múltipla. Para cada uma das questões são apresentadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na folha de prova apenas a letra correspondente à alternativa que considerar certa para cada questão. Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos nem justificações. pág.

8 Grupo I. A hipérbole da figura seguinte representa parte do gráfico da função f, tendo por assimptotas as rectas e, e cuja ordenada na origem é o ponto (, / ). Qual das epressões seguintes poderá definir a função f? [E] [F] [G] [H] 6 f Na figura está representado, em referencial O, uma pirâmide triangular regular recta, em que os pontos A, B e C são três dos seus vértices, cada um sobre um dos eios coordenados. O plano da face [ABC], tem por equação. Qual é a medida do volume da pirâmide? [E] 9 [F], [G] [H]. Considere a recta de equação (,, ) (,, ) k(, m, ), k IR Para que valor de m a recta é paralela ao plano? [E] [F] [G] [H] A C O B. Considere a recta definida por. Qual dos seguintes vectores pode ser o vector director da recta dada? [E] u r (,, ) [F] v r (,, ) [G] r (,, ) [H] w r (,, ). A forma linear F está sujeita às restrições. Qual das seguintes respostas apresenta o máimo desta forma linear e a respectiva recta de nível? [E] F 9 e 9 [F] F 9 e 9 [G] F 7 e 7 [H] F 7 e 7 pág.

9 Grupo II Nas questões deste grupo, apresente o raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos efectuados e ou justificações que considerar necessárias. As aproimações que tiver de efectuar devem ser apresentadas com três casas decimais. Quando para um resultado não for pedido aproimação deve apresentar o valor eacto.. Considere o ponto, a recta e o plano assim definidos: A (,, ) r: α:. Mostre que a recta r pode ser definida por (,, ) (,, 6) k(,, ), k IR. Sugestão: comece por considerar dois pontos que verifiquem as equações cartesianas.. Determine ( r α), ou seja, as coordenadas do ponto de intersecção da recta com o plano.. Defina por uma equação cartesiana o plano que contém o ponto A e a recta r.. Considere as funções racionais f() e g(). Caracterie a função f g, apresentando a sua epressão simplificada e o domínio.. Determine o domínio da função f /g.. Apresente uma epressão de g, equivalente à dada, sob a forma e estude-a quanto à eistência de assimptotas. c a b, d. Admita que num estudo de viabilidade económica, sobre uma fábrica de baterias para telemóveis, os custos de produção podem ser calculados recorrendo à seguinte epressão: P(b) b, b > em que P representa o preço de venda, em euros, de cada unidade, e b o número de baterias fabricadas.. Indique a que preço deverá ser vendida cada bateria se forem fabricadas unidades.. Atendendo ao conteto do problema, e interpretando o gráfico da função P na calculadora, indique: o domínio da função, considerando que cada bateria é indivisível; para que valor tende o custo de cada unidade quando a produção tende para infinito.. Calcula a quantidade de baterias que é necessário fabricar para que possam ser vendidas ao preço unitário de euros (tenha em conta que o preço de cada unidade é dado por P). FIM pág.

10 COTAÇÕES Grupo I... Cada resposta certa... Cada resposta errada... Cada questão não respondida ou anulada... Grupo II TOTAL... O Professor: pág.

11 Versão B E S C O L A S E C U N D Á R I A A F O N S O L O P E S V I E I R A Escola Secundária Afonso Lopes Vieira FICHA SUMATIVA MATEMÁTICA A Proposta de resolução Nome:... Data: //9 Nº:... º Ano Turma A I. [G] Das assimptotas, b/( ). Contém (, /), logo: / b /( ) <> b. [F] Para e temos ; para e temos OA OB OC e volume,.. [H] Para ser paralela, (, m, )(,, ) <> m <> m. [G] <>, logo r (,, ). [F] Conforme gráfico, para (, ) F 9 e F <> F II. Se r pode ser definida pela equação (,, ) (,, 6) k(,, ), k IR, então o ponto (,, 6) tem que verificar. Efectivamente, 6 ) ( é uma proposição verdadeira. Conhecendo outro ponto da recta podemos determinar o seu vector director e, por eemplo, para, temos <> ou seja, (,, ) r e (,, 6) r, logo Equação vectorial da recta: (,, ) P k u r, k IR sendo u r (,, ) (,, 6) (,, ) Assim confirma-se r: (,, ) (,, 6) k(,, ), k IR Processo <> <> <> <> 6 <> 6 <> k k k 6,k IR <> (,, ) (,, 6) k(,, ), k IR. ] [ <> <> ] [ <> <> <>. Considere-se o ponto A (,, ), o ponto da recta B(,, 6), o vector da recta u r (,, ) e o vector normal ao plano n r (a, b, c) AB B A (,, 6) (,, ) (,, ), sendo que n r e AB são perpendiculares. Logo, 6

12 r n AB r r n u <> ( a, b, c) (,, ) ( a, b, c) (,, ) <> a b c [] <> b c <> a b c a b c c b <> c b a bb a b, faendo a, temos b e c, n r (,, ) Um vector do plano é AP P A (,, ) (,, ) (,, ) e como AP _ _n r, temos que AP. n r <> (,, ). (,, ) <> equação do plano:. (fg)() f()g() ( )( ) ( ), (eros em.) ( ) D fg D f D g { IR: } { IR: } D fg IR:\ {, }. D f/g (D f D g )\ { IR: g() } D f/g { IR: } c. a. <> v D f/g IR:\ {,, } 8. g() c. a. O gráfico de g não tem assimptota horiontal Assimptota oblíqua Assimptota vertical 6 8. P(b) b P( ) Para saber o preço de baterias, basta determinar P( ) e calcular P, P R: cada bateria custa. O número de baterias b não pode ser negativo, e deve ser inteiro com b, logo o domínio é IN. O gráfico de / tende para ero quando tende para, logo / / tende para /, ou seja,,. Portanto, quanto a produção b tende para infinito o preço P tende para,, ou seja,. O mesmo se pode concluir observando que P(b) tem uma assimptota horiontal / Tendo em conta que o valor unitário é dado por P, temos P <> P,. Pretende-se, assim, determinar P(b), P(b), <>, <>,, <>,, <> b b b, b b > <> b /, b > <> b R: Seria necessário fabricar baterias para que fossem comercialiadas a. Versão B