Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. 2º Teste de avaliação.

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II º Teste de avaliação Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox. Em qual das figuras esse ângulo pode ter radianos de amplitude? (A) (B) (C) (D). De dois vectores p e q sabe-se que têm ambos norma igual a e que p q = 9 (p q designa o produto escalar de p por q ). Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira. (A) p + q = 0 (C) p q (B) p q = 0 (D) O ângulo dos vectores p e q é agudo. Considere, num referencial o. n. xoy, a recta r de equação 1 y = x + 5 Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( 1,4 ). Professora: Rosa Canelas 1

2 Qual é a equação reduzida da recta s? (A) y = x + (B) y = x + 6 (C) 5 y = x + (D) y = x Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α, de equação x + y = 4 O plano α é (A) paralelo ao plano xoy (B) perpendicular ao plano xoy (C) paralelo ao eixo Ox (D) perpendicular ao eixo Ox 5. Considere, num referencial o.n. xoy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por: r : ( x,y) = ( 1, ) + k (,0 ),k R e s :y = x Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades)? (A) 7º (B) 9º (C) 41º (D) 4º Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. A figura representa a determinação da altura de uma árvore cuja base é inacessível. Observe a figura e calcule essa altura com aproximação às décimas.. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] de lado. Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D. Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do π π ângulo BAP x, 4. Resolva as questões seguintes usando valores exactos. Professora: Rosa Canelas

3 .1. Mostre que a área da região sombreada é dada em função de x, por ( ) A x = 4 tgx.. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é 1.. Para um certo valor de x, sabe-se que x, a área da região sombreada. π 15 cos x + =. Determine, para esse valor de 17. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. O vértice O é a origem do referencial. O vértice P pertence ao eixo Oz. O vértice R pertence ao plano xoy O vértice V tem coordenadas (,11,5 ) Uma equação vectorial da recta que contém a altura da pirâmide é ( x, y, z) = ( 7, 1,5 ) + k ( 6, 8,0 ),k R..1. Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação x 4y = 0... Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas ( 4,,5 )... Determine o volume da pirâmide. 4. Seja [AB] um diâmetro qualquer da circunferência de centro O e R R um ponto fixo, exterior à circunferência Exprima RA em função de RB e BA e mostre que: RA RA = RA RB 4.. Identifique o conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vectorial PB AB = 0 A A' O B FIM Professora: Rosa Canelas

4 Cotações Questão Cotação Professora: Rosa Canelas 4

5 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II º Teste de avaliação Proposta de resolução Grupo I 1. (B) Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox. É na figura (B) que está representado um ângulo que pode ter radianos de amplitude porque r 17º. (A) De dois vectores p e q sabe-se que têm ambos norma igual a e que p q = 9 ( p q designa o produto escalar de p por q ). Ora como p q = p q cos p,q ɵ 9 = 9cos p,q ɵ cos p,q ɵ = 1 p,q ɵ = 180º ( ) ( ) ( ) A afirmação que é verdadeira é (A) p + q = 0. (A) Considere, num referencial o. n. xoy, a recta r de equação 1 y = x + 5 Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( 1,4 ). A equação reduzida da recta s é da forma y = x + b porque uma recta perpendicular a outra tem declive igual ao simétrico do inverso do declive da recta dada. Porque passa em ( 1,4 ) será 4 = 1+ b b =. A equação da recta é y = x + 4. (B) Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α, de equação x + y = 4 O plano α é normal ao vector de coordenadas ( 1,1,0 ) que pertence ao plano xoy pelo que é perpendicular ao plano xoy 5. (A) Considere, num referencial o.n. xoy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por: r : ( x,y) = ( 1, ) + k (,0 ),k R e s :y = x Professora: Rosa Canelas 5

6 A amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades) é dado r.s por cos( r ɵ,s ) = onde r = (,0 ) e s = ( 4,). Então r s + ( ) ( ) ( ) cos r,s ɵ = cos r,s ɵ = cos r,s ɵ = pelo que r,s ɵ = cos 5 e 1 4 r,s ɵ 7º Grupo II 1. A figura representa a determinação da altura de uma árvore cuja base é inacessível. Observemos a figura e calculemos essa altura com aproximação às décimas. Comecemos por chamar x à distância do rapaz à árvore e por h a distância da linha de medição ao cimo da árvore. h tg( 4º ) = x h = xtg( 4º ) h = xtg( 4º ) h h = ( ) ( x + 0) tg(,5º ) xtg( 4º ) = xtg(,5º ) + 0tg(,5º tg,5º = ) x + 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0tg,5º tg 4º h = h = xtg( 4º ) tg 4º tg,5º x ( tg( 4º ) tg(,5º )) = 0tg(,5º ) 0tg,5º x = tg 4º tg,5º A altura da árvore é ( ) ( ) ( ) ( ) 0tg,5º tg 4º tg 4º tg,5º + 1,6 16,5m. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] de lado. Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D. Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do π π ângulo BAP x, 4. Vamos resolver as questões seguintes usando valores exactos..1. Mostremos que a área da região sombreada é dada em função de x, por ( ) A x = 4 tgx Professora: Rosa Canelas 6

7 Pela expressão dada verificamos que esta área é a área do quadrado menos a área do triângulo [ADP]. A área do quadrado é 4. π o triângulo [ADP] é um triângulo rectângulo com um ângulo igual a x e outro a x. Sendo x a amplitude do ângulo APD podemos tirar que tgx = DP =. DP tgx A área do triângulo é tgx A = A = tgx A área da região sombreada é em função de x, ( ) A x = 4 tgx.. Determinemos o valor de x para o qual a área da região sombreada é = 4 1tgx tgx = 1tgx 6 tgx = 6 tgx = tgx π π π tgx = tgx = x =, considerando que x, Para um certo valor de x, sabe-se que valor de x, a área da região sombreada. π 15 cos x + =. Determinemos, para esse 17 Ora π cos x + = senx = senx = A partir de senx calculemos cosx. + cos x = 1 cos x = 1 cos x = ± cos x = 17 π π e como x, 4 será Sabendo senx e cos x podemos calcular A área da região sombreada é neste caso tgx = tgx = A = 4 A = 4 A = Professora: Rosa Canelas 7

8 . Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. O vértice O é a origem do referencial. O vértice P pertence ao eixo Oz. O vértice R pertence ao plano xoy O vértice V tem coordenadas (,11,5 ) Uma equação vectorial da recta que contém a altura da pirâmide é ( x, y, z) = ( 7, 1,5 ) + k ( 6, 8,0 ),k R..1. Mostremos que a base da pirâmide está contida no plano de equação x 4y = 0. Temos já um vector normal ao plano que é o vector director da recta e tem coordenadas ( 6, 8,0) e sabemos que o plano passa na origem. Então = D D = 0 e a equação do plano é 6x 8y = 0 x 4y = 0 como queríamos provar... Justifiquemos que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas ( 4,,5 ). o centro da base da pirâmide é o ponto de intersecção da recta que contém a altura com o plano da base. Verifiquemos que o ponto dado pertence aos dois: ( 4,,5 ) pertence à recta: 4 = 7 + 6k k = 6 1 4,,5 = 7, 1,5 + k 6, 8,0 = 1 8k k = = k = 8 ( ) ( ) ( ) Isto significa que para k 1 = obtemos como ponto da recta o ponto ( ) 4,,5. ( 4,,5 ) pertence ao plano: 4 4 = 0 0 = 0 PV o que significa que o ponto pertence ao plano... Determinemos o volume da pirâmide. O plano que contém o vértice da pirâmide e é paralelo ao plano xoy tem equação z = 5 pelo que a cota de P é 10 o mesmo acontecendo à aresta da base. A altura da pirâmide é a distância entre o vértice e o centro da base: ( ) ( ) ( ) h = = = 10 Professora: Rosa Canelas 8

9 O volume da pirâmide é V = V = 4. Seja [AB] um diâmetro qualquer da circunferência de centro O e R um ponto fixo, exterior à circunferência Comecemos por: exprimir RA em função de RB e BA. RA = RB + BA mostremos que: RA RA = RA RB RA RA = RA RB + BA = RA RB + RA BA = RA RB Ora ( ) porque RA BA = 0 por os vectores serem perpendiculares. 4.. O conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vectorial PB AB = 0 é a recta tangente à circunferência no ponto B R P A' A O B Professora: Rosa Canelas 9

10 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II º Teste de avaliação Critérios de correcção Grupo I B A A B A Grupo II 1. 0 Representar por uma letra a distância do rapaz à árvore Representar por uma letra (h) a distância da linha de observação à árvore Escrever h em função do triângulo com ângulo de 4º Escrever h em função do triângulo com ângulo de,5º Calcular o valor de h 10 Calcular a altura da árvore Identificar a expressão como diferença entre a área do quadrado e a do triângulo Calcular a área do quadrado Exprimir DP em função da tgx 5 Calcular a área do triângulo 4 Calcular a área da região sombreada.. 15 Escrever a equação 5 Resolver a equação 8 Apresentar a solução.. 15 π Simplificar cos x + 4 Calcular cos x 4 Calcular tgx 4 Calcular a área pedida Professora: Rosa Canelas 10

11 Identificar o vector director da recta como vector normal ao plano 5 Escrever a equação do plano Identificar o ponto como intersecção da recta com o plano 5 Mostrar que o ponto pertence à recta 5 Mostrar que o ponto pertence ao plano Identificar a cota de P para concluir sobre a medida da aresta da base 5 Calcular a altura da pirâmide 5 Calcular o volume da pirâmide Exprimir RA em função de RB e BA 10 Mostrar que: RA RA = RA RB Identificar o lugar geométrico 10 Justificar 10 Total 00 Professora: Rosa Canelas 11