ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO MATEMÁTICA 11º ANO FICHA DE TRABALHO Nº 2 (Trigonometria)

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1 ESCOL SECUNDÁRI DE LBERTO SMPIO MTEMÁTIC º NO FICH DE TRBLHO Nº (Trigonometria) ESCOLH MÚLTIPL. De um ângulo α sabe-se que sen( α) é positivo e que cosα é negativo. Então α pertence a: º quadrante B º quadrante C º quadrante D º quadrante. O valor da expressão sen( x) cos x é: - B 0 C D. O valor da expressão cos sen + tg0 é: - B 0 C D. Das seguintes afirmações 7 I- α º Q : senα = II- α º Q : senα. cosα < 0, podemos dizer que: I e II são ambas verdadeiras B I e II são ambas falsas C I é falsa e II é verdadeira D I é verdadeira e II é falsa. O valor da expressão: cos(900º ) sen(80º ) + tg(0º ) é: B 0 C D - 6. Qual das seguintes equações tem uma única solução em ] 0, [? 7. Se cos x = 0 B tg x = 0 C sen x = D cos x = cos x = e x [ 0, [ o valor de sen( + x) + tg é: ) B) C) D) k 8. Os valores de k para os quais a condição cosβ = é possível são: B k [,] C k, [ ] k, D k, 9. Os valores de m que verificam simultaneamente as condições: senθ = m e cosθ = m são: 0, { 0, } B { 0 } C { } D { } Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página de

2 0. O valor exacto de + B 7 sen cos tg + 6 é: C + D. expressão geral das raízes da equação cos x = é: x=± + k, k Z B x= + k, k Z C x=± + k, k Z D x= + k, k Z. O valor da expressão sen( x) cos( x), sendo B 7 C tg x = e º Q, é: D 7. Os valores de x [ 0, ] tais que sen x + = 0 são: 7 7 x, B x, C x, D x,. No triângulo [ BC ], B = 0cm, C 0cm área do triângulo [ BC ] em função de α é: = 00senα B = 00cosα C = + 0senα D = 0senα = e α amplitude do ângulo BC. Dos quatro ângulos seguintes um deles tem radiano de amplitude. Qual poderá ser? x B x C x D x 6. Na figura abaixo, está representado um triângulo rectângulo [ BC ], cuja a hipotenusa mede m. Qual das expressões dá a área, (em m ) do triângulo [ BC ], em função da amplitude α, do ângulo BC sinα cosα B sinα tanα C sinα cosα D sinα tanα Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página de

3 7. Na figura estão representados, em referencial o. n. xoy: um quarto de círculo com centro na origem e raio uma semi-recta paralela a Oy, com origem no ponto (,0) um ponto pertencente a esta semi recta um ângulo de amplitude α, cujo lado origem é o semieixo positivo Ox, e cujo lado extremidade é a semi recta O Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de α? C + tg α B tg α + D + tg α tg α + 00 C F 8. Na figura está representado um trapézio rectângulo [ BCD ], cujas bases têm 0 e 0 unidades de comprimento e a altura tem 0 unidades de comprimento. Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [ B ]. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo PD. Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [ ] com a mesma área. Qual das equações seguintes traduz este problema? PD divide o trapézio em duas figuras 0 sen x 0 tg x = 00 B = sen x 0 0 tg x C = 0 D = 0 9. área da parte colorida da figura, com duas casas decimais, é: 00 F B C D 00,0cm 98,0cm 00,cm 0,90cm Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página de

4 0. Na figura estão representados o círculo trigonométrico e BCD. um rectângulo [ ] O lado [ CD ] está contido no eixo das abcissas. Os vértices e B pertencem à circunferência. Seja α a amplitude do ângulo BOC. área do rectângulo [ BCD ] é igual a: sin x cosx B sin x tan x C sinx D tanx. Considere uma circunferência de centro C e raio, tangente a uma recta r. Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente o ponto P encontra-se à distância de unidades da recta r. a distância de P a r, após uma rotação de amplitude α. Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo α? d ( α ) = + cosα B d ( α ) = + senα C d ( α ) = cosα D d( α ) = senα Seja d ( α ) 00 F. Sendo α,, só uma das seguintes expressões é falsa. Qual? cosα 0 senα > B cos α tgα> 0 C senα + cosα > 0 D senα cosα > 0. Seja g uma função definida por g( x) = tg x. Qual dos seguintes conjuntos poderá ser o domínio de g?, B,, C ] 0, [ D ] [ Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página de

5 . Na figura está representada uma circunferência de centro em O e raio. Os pontos e B são extremos de um diâmetro da circunferência. Considere que um ponto P, partindo de, se desloca sobre o arco B, terminando o seu percurso em B. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo OP. Seja f a função que, a cada valor de x [ 0, ], faz corresponder o produto escalar O OP. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função f? a B a C a D a. Na figura está representada, em referencial o. n. xoy, uma recta r paralela ao eixo Oy. Considere que um ponto P se desloca ao longo de toda a recta r. Sejam: x a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semi-recta OP; f a função que dá, para cada x, a distância de P à origem do referencial Dos gráficos seguintes apenas um pode ser o da função f. Qual? a B a C a D a Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página de

6 6. Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica. Qual dos valores poderá ser o período da função? B C 9 9 D 7. Indique qual das seguintes figuras pode ser parte da representação gráfica da função definida por: s( x) = senx a B a C a D a 8. Qual é o limite da sucessão de termo geral Un = tg + n? B + C 0 D 9. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? lim sen x = 0 B lim sen x = + x + x + C lim sen x = D não existe lim sen x x + x + 0. Qual das expressões seguintes define uma função injectiva, de domínio R? cos x B x x C x + D x Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página 6 de

7 . Seja D o domínio de uma função g tal que g( x) = tg x. Indique qual das afirmações seguintes é necessariamente falsa. 0 D B D C D D D. profundidade da água do mar, à entrada de um certo porto de abrigo, varia com a maré. dmita que, num certo dia, a profundidade é de metros, na maré alta, e de 7 metros, na maré baixa. dmita ainda que o tempo que decorre entre cada maré baixa e cada maré alta é de 6 horas, sendo igualmente de 6 horas o tempo que decorre entre cada maré alta e cada maré baixa. Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a função que dá a profundidade, em metros, da água do mar, à entrada desse porto, t horas após a maré baixa. Qual é a expressão correcta? 9 cos t B 9 cos 6 t C cos t D 9+ cos t 6. Quantas são as soluções da equação sen x = que pertencem ao intervalo [ 0, ]? B 0 C D 0. Considere, em R, a equação sen x + cos x =. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? equação é impossível B equação tem exactamente uma solução C equação tem exactamente duas soluções D equação tem uma infinidade de soluções Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página 7 de

8 EXERCÍCIOS DE DESENVOLVIMENTO. verigúe se existe algum ângulo, tal que:.. senα = e cosα =.. cosα =. Determine o valor exacto das expressões: tg sen( ) 6 0 tg + sen + cos 6 sen tg(6 ) + cos 6. Simplifique as seguintes expressões:.. tg( θ) + cos( + θ) tg( θ) + sen θ.. sen + θ. cos θ ( senθ + cosθ). Considere o ângulo α º Q tal que cosα =. Calcule:.. tgα.. sen( α) sen + + α. Sabendo que sen( x) =+ e < x <, calcule:.. tg( + x).. sen x 6. Considere a expressão x ( ) senx cosx =. 6.. Sabendo que sen x = e x º Q, determine o valor de ( x ) 6.. Calcule o valor de x tal que x ( ) + cosx= 7. Prove que, para x R, ( cos x + sen x) + ( cos x sen x) = Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página 8 de

9 8. Simplifique as expressões: 8.. ( cos x sen x). tg x sen x 8.. sen α tgα. cosα + senα 9. Determine os valores de k que satisfazem simultaneamente cada uma das condições: k 9.. senα = e α, k + k 9.. senα = e cosα = 0. Determine, em R, o conjunto-solução das seguintes equações trigonométricas: 0.. sen ( x ) = 0.. tg x = sen x sen x = 0. Resolva, em R, as seguintes equações:.. sen x(cos x + ) = sen x sen x = cos x cos x = tg( x) = 0. Resolva, em [ 0, [, as equações trigonométricas..... sen x = cos x tg + tg x = +. Defina, em extensão, o seguinte conjunto: = x, :. cosx = 0. s marés são fenómenos periódicos, que podem ser modelados por uma função do tipo Y = a + b sen ( c t + d ) em que Y é o nível da água, em metros, e t o tempo em horas. Numa praia da costa Portuguesa, em determinado dia foram feitas várias medições que permitiram t chegar à função Y = + sen.. Com o auxílio da calculadora gráfica, esboça o gráfico da função, durante o período de um dia... Às oito horas da tarde, qual era o nível da água?.. Em que momentos a água atingiu o nível m? Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página 9 de

10 . Um painel publicitário é suportado por duas colunas e B, distanciadas de m, como mostra a figura. m B f(x) Férias na Neve x O recorte superior do Painel foi feito recorrendo à função f definida por x f ( x) = + sen cos x. dmite que f (x) é a altura em metros, do ponto do recorte superior do painel situado x metros à direita da coluna... Mostra que a diferença da alturas do painel nos extremos, ligação com as colunas, é de aproximadamente, de 80 cm... Determina a diferença entre o ponto mais alto e o ponto mais baixo do painel. presenta o resultado arredondado às décimas. Nota: Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais..um ponto P situa-se na base do painel e dista da parte superior do mesmo,8 m é possível localizar o ponto P? Justifica. (recorre à calculadora para justificares a resposta, apresentando todos os elementos recolhidos, nomeadamente o gráfico ou gráficos, bem como as possíveis coordenadas do ponto P). 6. Quando, há muito tempo atrás o David esteve com uma virose benigna, a temperatura do seu corpo evoluiu, num certo dia, de acordo com a função F () t = 8, sen t + com F em gruas Celcius e t em horas. Responde às perguntas com a temperatura aproximada às décimas e o tempo ao minuto. 6. O Guilherme foi visitá-lo às h 0m. Qual era a temperatura do David? 6. Qual foi a temperatura máxima que ele teve nesse dia? 6. febre do David repete-se com um certo período. Qual é esse período? 6. Usando a calculadora diz quantas vezes nesse dia, a febre foi de 0 graus e indica dois desses momentos. Explica muito claramente como respondeste a esta questão. Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página 0 de

11 SOLUÇÕES Escolha Múltipla - B - B - B - C - D C 8 - C B - - D - C - - C C 8 - B C D D 0 - D - D - - B - Exercícios de desenvolvimento. existe. não existe cosθ x= + k90, k cos x 8. tg x ( sen x 0 cos x 0) 8. sen x + 9. k, sen x 9. k =± 0. x= + k, k R 0. x= + k, k R 0. x= k x= + k x= + k, k R 6 6. x= k x=± + k, k R. x= + k x= + k x= + k, k R x= k x= + k, k R. x= + k, k R.., ,.... :0, :, :6; 7:8 f f 0 = 0,8m= 80cm.,8m. Sim. Em x =,0 e x = 0,76. ( ) ( ) 6. 7, 6. 0, 6. 8 horas 6. 6 vezes. P. e. h 8 e às 8 Ficha de Trabalho Nº - º no ESS Página de