ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº 3

Transcrição

1 Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, ecepto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações, que podem ser primeiramente elaboradas a lápis, sendo, a seguir, passadas a tinta. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que necessário. Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos grupos e/ou dos itens, bem como as respectivas respostas. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas, o número do item; a letra identificativa da alternativa correcta. Não apresente cálculos, nem justificações. Nos itens de resposta aberta com cotação igual ou superior a 15 pontos e que impliquem a produção de um teto, o domínio da comunicação escrita em língua portuguesa representa cerca de 10% da cotação. O formulário está na página e as cotações na página 7 Professora: Rosa Canelas 1

2 Professora: Rosa Canelas

3 GRUPO I Os oito itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está correcta. Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. Sendo A e B acontecimentos quaisquer de um espaço S e P(A/B) a probabilidade de ocorrer A sabendo que ocorreu B, podemos afirmar que P(A B) é igual a: (A) P( A) P( B) + (B) 1 (C) P(A) P(B) (D) P(A / B) P(B). Considere as duas curvas de distribuição normal, N 1 e N. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) N 1 e N têm a mesma média. (B) N 1 e N têm o mesmo desvio padrão. (C) O desvio padrão de N 1 é maior do que o de N. (D) A média de N é maior do que a de N 1. N N 1 3. Os quatro primeiros números de certa linha do Triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e 165; então os três últimos números da linha seguinte são: (A) 36, 4 e 1 (B) 66, 1 e 1 (C) 0, 66 e 1 (D) 4, 1 e 1 4. Observe a figura a recta r é tangente ao gráfico da função f, no ponto A ( 3,4 ) e intersecta o eio das abcissas no ponto de abcissa 1. O valor de 3 ( ) ( ) f f 3 lim 3 é: (A) (B) (C) (D) 1 Professora: Rosa Canelas 3

4 5. Considere a equação 3y = log ( > 0) Qual das seguintes condições é equivalente a esta equação? (A) y = (B) = 3y (C) y = 9 (D) y = 3 6. Seja f uma função real de variável real, que satisfaz as seguintes condições: f( a) = 7 ( ) ( ) f f a lim a a = lim f Pode concluir-se que o ( ) a é igual a: (A) + (B) (C) 7 (D) 5 7. Considere os números compleos za π = cis e 4 zb = + 3i, que têm como representações geométricas, no plano compleo, os pontos A e B pertencentes a circunferências de centro no ponto O (origem). A área da região colorida é: (A) 3π (B) 4π (C) 5π (D) 1π π. Em, conjunto dos números compleos, considere w = 3cis θ. Para qual dos valores de θ é que z = i w é um número real negativo? (A) 5π (B) 13π (C) π (D) 9π GRUPO II Na resposta a itens deste grupo, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eacto. Professora: Rosa Canelas 4

5 1. Observe a figura onde se encontram representados os afios dos compleos z 1 = + i e z = + 4i e duas circunferências centradas na imagem geométrica de z3 = + 4i. A recta r é a mediatriz de [ AB ] Verifique se a representação geométrica do ( + ) 5 i 1 4i compleo w = 1+ i pertence à zona sombreada. 1.. Defina, através de uma condição em, a região sombreada.. Na figura estão representadas partes dos gráficos das funções f e g de domínio IR + definidas 1 por: f( ) = ln e g( ) = ln +. I é o ponto de intersecção dos dois gráficos.1. Determine as coordenadas do ponto I... Seja 1 g 1 a função inversa de g. Mostre que g ( ) e.3. Mostre que a função ( f g 1 ) tem pelo menos um zero no intervalo [1,3]..4. Resolva a condição ( ).5. Calcule 1 g () 1 lim. 1 g > e. = e caracterize a função ( f g 1 ) O y g I. f 3. Admita que, num certo dia de Verão, na praia de Santa Cruz, a temperatura do ar e a temperatura do mar, às t horas desse dia, são dadas em graus Celsius (ºC) respectivamente ( t,3) = + e () π por: A () t 0 sen 1 π M t = 10 + cos ( t 17,6) 3.1. Indique em que altura do dia, horas e minutos, a temperatura do ar atingiu o valor máimo. 3.. Determine durante quanto tempo a água do mar esteve, nesse dia, a uma temperatura superior a 11º C Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o instante em que foi máima a diferença entre a temperatura do ar e a temperatura da água, nesse dia, na 1 Professora: Rosa Canelas 5

6 praia de Santa Cruz. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Eplique como procedeu. Na sua eplicação deve incluir o gráfico, ou os gráficos, obtidos na calculadora e assinalar as coordenadas de algum, ou alguns, pontos relevantes (apresente essas coordenadas arredondadas às centésimas) 4. Anagrama duma palavra é outra palavra com as mesmas letras por ordem diferente Quantos anagramas podemos construir a partir da palavra RITA? 4.. Quantos são os anagramas de LISBOA que conservam a ordem das vogais (embora possam mudar de lugar)? A solução para este problema pode ser dada por: 6 C3 P3 ou por 6 A 3. Numa curta composição eplique o raciocínio que justifica cada uma das soluções. 5. Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes (brancas, pretas e vermelhas). Sabe-se que: Eiste, pelo menos, uma bola de cada cor; O número de bolas brancas é 5; O número de bolas pretas é par Etraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é 1 3 Prove que, no saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas. FIM Professora: Rosa Canelas 6

7 COTAÇÕES GRUPO I... ( 5 pontos) pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos. 50 pontos pontos...10 pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos TOTAL pontos Professora: Rosa Canelas 7

8 GRUPO I 1. (D) Sendo A e B acontecimentos quaisquer de um espaço S e P(A/B) a probabilidade de ocorrer A sabendo que ocorreu B, podemos afirmar que P(A B) é igual a P(A / B) P(B) pois ( ) ( B) PB ( ) P A P A/B = P A B = P A/B P B ( ) ( ) ( ) N. (B) Consideremos as duas curvas de distribuição normal, N 1 e N Das seguintes afirmações a que é verdadeira é " N 1 e N têm o mesmo desvio padrão". N 1 3. (B) Os quatro primeiros números de certa linha do Triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e 165; então os três últimos números da linha seguinte são: 66, 1 e Dado que as linhas do triângulo de Pascal são simétricas os 3 últimos números são os 3 primeiros por ordem diversa. 4. (A)Observe a figura a recta r é tangente ao gráfico da função f, no ponto A ( 3,4 ) e intersecta o eio das abcissas no ponto de abcissa 1. Então 3 ( ) ( ) f f 3 4 lim = f ( 3) = mr = = 3 5. (A)Consideremos a equação 3y = log ( > 0) y Vamos provar que 3y = log ( > 0) = ( ) ( ) y 3y 3 y 3y = log > 0 = = = 6. (C) Seja f uma função real de variável real, que satisfaz as seguintes condições: f( a) = 7 f( ) f( a) lim = a a Professora: Rosa Canelas

9 Pode concluir-se que o ( ) lim f = 7 porque se uma função tem derivada finita num ponto é a continua nesse ponto o que significa que lim f ( ) = f ( a) a 7. (A) Considere os números compleos z A π = cis e 4 zb = + 3i, que têm como representações geométricas, no plano compleo, os pontos A e B pertencentes a circunferências de centro no ponto O (origem). Cálculo do módulo dos compleos: za = e zb = 4+ 3 = 7 A área da região colorida é ( ) π 7 π = 3π π. (A) Em, conjunto dos números compleos, considere w = 3cis θ. Determinemos os valores de θ para os quais z = i w é um número real negativo. Ora π π 3π z = iw = 3cis θ + = 3cis θ+, z é real negativo quando π θ= pois fica 5 z = 3cis( π ) = 3 GRUPO II 1. Observe a figura onde se encontram representados os afios dos compleos z 1 = + i e z = + 4i e duas circunferências centradas na imagem geométrica de z3 = + 4i. A recta r é a mediatriz de [ AB ] Verifiquemos se a representação geométrica do compleo sombreada. Calculemos w = ( + ) 5 i 1 4i 1+ i pertence à zona ( ) ( ) ( )( ) 5 i 1+ 4i i 1+ 4i 4 + i 1 i 4+ 4i+ i w = = = = = + i 1+ i 1+ i i 4i = i = + = 3, Professora: Rosa Canelas 9

10 Considerando que o ponto está na coroa circular e atendendo aos valores da parte real e do coeficiente da parte imaginária podemos dizer que o ponto que representa w pertence à zona sombreada 1.. Definamos, através de uma condição em, a região sombreada. z 4i 4 z i z+ 4i. Na figura estão representadas partes dos gráficos das funções f e g de domínio IR + definidas 1 por: f( ) = ln e g( ) = ln +. I é o ponto de intersecção dos dois gráficos.1. Determinemos as coordenadas do ponto I, resolvendo a equação: 1 f( ) = g( ) ln = ln + ln = ln1 ln+ ln = ln = 1 = e Como f( e) = lne= 1. As coordenadas de I são ( e,1 ).. Seja 1 g 1 a função inversa de g. Mostremos que g ( ) = e y = ln y ln e e + = = = = e Daqui concluímos ser ( ) 1 g = e Caracterizemos a função ( f g 1 ). y y+ y O y g I f ( )( ) 1 f g = ln e e 1 = + Df g.3. Mostremos que a função ( f g 1 ) tem pelo menos um zero no intervalo [1,3], aplicando o Teorema de Bolzano. ( f g 1 ) é contínua em + por ser a diferença de duas funções contínuas. 1 1 ( f g )( 1) = ln1 e = e e ( )( ) 1 f g 3 = ln3 e 0,73 Então porque ( f g ) é continua em [1,3] e ( f g )( 1) ( f g )( 3) 0 de acordo com o Teorema de Bolzano que ( f g 1 ) tem pelo menos uma zero em [1,3]..4. Resolvamos a condição ( ) A solução é ],1[. 1 < podemos concluir g > e e > e > > < Calculemos 1 g () 1 lim. Comecemos por calcular ( ) 1 g = e = 1 então o que Professora: Rosa Canelas 10

11 1 1 pretendemos calcular lim = ( g ) ( ) g () 1. 1 ( g ) ( ) = e logo ( ) ( ) 1 0 g = e = 1 e 1 g () 1 lim = Admita que, num certo dia de Verão, na praia de Santa Cruz, a temperatura do ar e a temperatura do mar, às t horas desse dia, são dadas em graus Celsius (ºC) respectivamente ( ) π t,3 π por: A () t = 0 + sen e M() t = 10 + cos 1 ( t 17,6) 3.1. Indiquemos em que altura do dia, horas e minutos, a temperatura do ar atingiu o valor máimo. 1 A temperatura do ar é máima às 14 horas e 1 minutos. 3.. Determine durante quanto tempo a água do mar esteve, nesse dia, a uma temperatura superior a 11º C. Nesse dia a temperatura do mar foi superior a 11º C durante horas. ( 1,6 13,6) 3.3. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determinemos o instante em que foi máima a diferença entre a temperatura do ar e a temperatura da água, nesse dia, na praia de Santa Cruz. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Professora: Rosa Canelas 11

12 Depois de representar as duas funções inserimos a função diferença e calculámos o seu máimo no intervalo [0,4]. Concluímos ser às 13 horas e 7 minutos que a diferença entre as temperaturas foi máima e nessa altura a diferença foi de 16,9 º C. 4. Anagrama duma palavra é outra palavra com as mesmas letras por ordem diferente O número de anagramas podemos construir a partir da palavra RITA é 4! = Quantos são os anagramas de LISBOA que conservam a ordem das vogais (embora possam mudar de lugar)? A solução para este problema pode ser dada por: 6 C3 P3 ou por 6 A 3. Para pensarmos este problema temos de ter em conta que dispomos de 6 lugares onde colocar 3 vogais pela ordem em que figura na palavra original e 3 consoantes dispostas aleatoriamente. Isto significa que para as vogais não interessa a ordem e para as consoantes interessa a ordem A solução 6 C3 P3 resulta de pensarmos em primeiro escolher 3 dos 6 lugares para colocar as vogais sem interessar a ordem (porque é fia) e essa escolha é feita de 6 C3 = 0 maneiras e depois podemos permutar as consoantes nos restantes 3 lugares de P 3 = 3! = 6 maneiras diferentes. Assim 6 C3 P3 é o número de maneiras de colocarmos as 6 letras de maneira a manter a ordem das vogais. A solução 6 A 3 resulta de pensarmos em primeiro lugar em colocar as 3 consoante em 3 dos 6 lugares (interessando a ordem) o que pode ser feito de 6 A3 = 10 maneiras diferentes. Depois ficam livres 3 lugares onde se colocam as 3 variáveis respeitando a ordem em que aprecem na palavra LISBOA e isso só pode ser feito de uma maneira. Assim 6 A3 1= 10 é o número de maneiras de colocarmos as 6 letras de maneira a manter a ordem das vogais. 5. Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes (brancas, pretas e vermelhas). Sabe-se que: Eiste, pelo menos, uma bola de cada cor; O número de bolas brancas é 5; O número de bolas pretas é par Etraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é 1 3 Provemos que, no saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas. Professora: Rosa Canelas 1

13 Comecemos por admitir eistir apenas uma bola vermelha e consideremos p o número de bolas pretas. Assim se ao etrairmos uma bola do saco a probabilidade de a bola ser branca é 1 3 significa que 1 = 5 6+ p = 15 p= 9 o que é impossível por o número de bolas pretas p ter de ser par. Assim por aplicação do Método de Redução ao Absurdo provámos que não pode haver apenas uma bola vermelha pelo que há pelo menos duas bolas vermelhas. FIM Professora: Rosa Canelas 13