ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II

Transcrição

1 Tarefa Intermédia nº 6 1. No referencial da figura está representada graficamente uma função h, de domínio IR, e as assímptotas do gráfico. Dê eemplo de uma sucessão ( u n ) tal que: 1.1. lim( h( un 1.. ( ( n lim h u. Calcule os limites seguintes: 8 lim.. lim ( ) e 1 lim ln lim e +. Considere a família de funções f, tais que: log se 4 f( ) + k se < 4, k IR..1. Mostre que qualquer função da família é contínua em 8... Determine o valor de k para o qual se obtém uma função que seja contínua em 4 4. Demonstre, utilizando o Teorema de Bolzano Cauchy, que o gráfico da função f definida por ( ) π tem, no intervalo ] [ f g. definida por ( ),1, pelo menos um ponto comum com o gráfico da função g Professora: Rosa Canelas 1 8-9

2 Proposta de Resolução da Tarefa Intermédia nº 6 1. No referencial da figura está representada graficamente uma função h, de domínio IR, e as assímptotas do gráfico. Vamos dar eemplo de uma sucessão ( u n ) tal que: 1.1. lim( h( un. Então lim( un ) 1 1 direita, por isso, un 1+, por eemplo. n 1.. lim( h( un. Então lim( u n ) eemplo., mas por valores à sua + e por isso un n, por. Calculemos os limites seguintes: 8 ( ) lim lim lim 6 ( ).. ( ) ( ( )( ) ) lim + lim lim lim lim lim R e 1 e 1 lim lim ln ln lim lim e + e. Consideremos a família de funções f, tais que: log se 4 f( ) + k se < 4, k IR..1. Mostremos que qualquer função da família é contínua em 8. O domínio de f é IR pelo que 8 pertence ao domínio. f 8 log 8 log ( ) lim f lim log 8 8 Professora: Rosa Canelas 8-9

3 Logo f é contínua no ponto de abcissa 8... Determinemos o valor de k para o qual se obtém uma função que seja contínua em 4 Como f( 4) log 4 lim f lim log lim f lim + k 8 + k 4 4 f é contínua em 4 sse f ( 4) lim f ( ) lim f ( ) Logo, 8+ k k Demonstremos, utilizando o Teorema de Bolzano Cauchy, que o gráfico da função f definida por f( ) π tem, no intervalo ] [ definida por g( ).,1, pelo menos um ponto comum com o gráfico da função g Pretendemos demonstrar que eiste uma solução da equação f( ) g( ) π, no intervalo ],1 [. Consideremos a função f, ou seja da equação g, esta função é contínua no referido intervalo pois é a diferença entre duas funções contínuas no intervalo [,1 ], porque uma é uma função polinomial e a outra é uma função eponencial. f g () π então Como ( ) 1 ( f g )() π 1< e ( ) π O que significa que está entre 1 eπ. f g (1) 1 π > Verificadas as condições do Teorema de Bolzano, podemos concluir que a função tem pelo menos um zero no intervalo ],1 [. Ou seja, eiste pelo menos um valor no intervalo ],1 [ tal que π, o que significa que os gráficos têm pelo menos um ponto comum Professora: Rosa Canelas 8-9

4 lim( un ) lim( u n ) CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO TAREFA DE AVALIAÇÃO INTERMÉDIA Nº 6 1 Pontos 1 mas por valores à sua direita, por isso, un 1+, n + e por isso un n, 45 Pontos 1 Pontos Identificar a indeterminação Pontos 8 ( ) lim lim lim ( ) 6 8 Pontos.. 1 Pontos Identificar a indeterminação Pontos ( ) ( ( )( ) ) lim + lim Pontos + lim lim lim lim Pontos Identificar a indeterminação Pontos 4 4 e 1 e 1 lim lim 4 8 Pontos.4. 1 Pontos Identificar a indeterminação Pontos ln ln lim lim + e + e 1 Pontos.1. 1 Pontos f ( 8) log 8 log Pontos lim f lim log 8 8 Concluir que f é contínua no ponto de abcissa 8 Pontos.. 15 Pontos f( 4) log 4 lim f ( ) lim ( log ) e f é contínua em 4 sse f ( 4) lim f ( ) lim f ( ) Pontos lim f lim + k 8 + k Pontos Logo, 8+ k k 6 6 Pontos Pontos Pretendemos demonstrar que eiste uma solução da equação f( ) g( ), Pontos ou seja da equação,1. π, no intervalo ] [ Apliquemos o teorema de Bolzano à função f g definida por Pontos Professora: Rosa Canelas 4 8-9

5 ( f g )() π à função f g é contínua no referido intervalo pois é a diferença entre duas funções contínuas no intervalo [,1 ], porque uma é uma função polinomial e a outra é uma função eponencial. f g () π 1 1 ( ) < e ( ) f g (1) π 1 π > 6 Pontos Verificar as condições do Teorema de Bolzano Professora: Rosa Canelas 5 8-9