1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

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1 1 1 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 11 Funções trigonométricas inversas 111 As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções inversas, se considerarmos uma restrição injectiva dessas funções Definição 11: Chama-se restrição principal da função seno, à restrição do seno ao intervalo π, π, isto é, g : π π, [ 1,1 ] sen Definição 1: Chama-se arco-seno à função inversa de g, definida por: arcsen : π, π arcsen [ 11]

2 Pela definição da função inversa, temos sen y = y = arcsen π π y Gráfico da função g Gráfico da função arco-seno Nota: A função arco-seno é crescente Eemplo 13: Calcule arcsen Eemplo 14: Caracterize a função inversa de 1 f ( ) = arcsen( 3 1) Definição 15: Chama-se restrição principal da função cosseno, à restrição de cosseno ao intervalo [,π ], isto é, g : [, π ] [ 1,1 ] cos

3 3 Definição 16: Chama-se arco-cosseno à função inversa de g, definida por: arccos : [ 11] [, π ] arccos Pela definição da função inversa, temos cos y = y = arccos y π Gráfico da função arco-cosseno Nota: A função arco-cosseno é decrescente Eemplo 17: Calcule arccos Eemplo 18: Caracterize a função inversa de ( ) = cos( 3 + ) 1 f

4 4 11 A função arco-tangente Como a função tangente não é injectiva no seu domínio, só poderemos definir a sua função inversa, se considerarmos uma restrição injectiva dessa funçõe Definição 19: Chama-se restrição principal da função π tangente, à restrição da tangente ao intervalo, π, isto é, g : π IR, π tg Definição 11: Chama-se arco-tangente à função inversa de g, definida por: π arctg IR, π : arctg Por definição, temos y = arctg tg y π < = π y <

5 5 Gráfico da função arco-tangente Nota: A função arco-tangente é crescente Eemplo 111: Calcule ( 3) arctg Eemplo 11: Caracterize a função inversa de ( ) = tg( π ) f 1 Limites e continuidade Definição 1: Seja lim f ( ) = f ( ) a lim e for finito a + a IR Diz-se que lim f ( ) eiste se e só se a Definição : Uma função f diz-se contínua num ponto a se as seguintes condições são satisfeitas: i) f ( a) está definida; ii) f ( ) lim eiste; a iii) lim f ( ) = ( a) a f

6 6 Propriedades 3: 1 Se f e g são funções contínuas, então também são contínuas as funções: f f + g, f g, f g, g com g, n f, n f, com n IN A restrição de uma função contínua é ainda uma função contínua Eercício 4: Estude a continuidade no ponto = da função 1 se < f ( ) = ln( 1 ) cos se 13 Derivada de ordem n 131 Definição de derivada Definição 31: Seja, ao número real ( ) D f Chama-se derivada de f no ponto f definido por f ( ) f ( f ) ( ) = lim Definição 3: A equação da recta tangente ao gráfico da função f é dada por ( ) = f ( )( ) y f

7 7 Definição 33: A equação da recta normal ao gráfico da função f é dada por 1 y f ( ) = f ( ) ( ) Nota: Efectuando a mudança de variável h =, obtém-se a definição equivalente: ( ) f = lim h ( + h) f ( ) f h 1 f = 3 1) Calcule, utilizando a definição, a derivada da função f no Eercício 34: Considere a função ( ) ponto (,1) ) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto (,1) Definição 35: Diz-se que a função f é diferenciável no ponto se tem derivada finita nesse ponto Nota: ( ) ( ) f = + f eiste se e só se f ( ) = ( ) lim f ( ) f ( ) + e ( ) f = lim + f IR, sendo f ( ) f ( )

8 8 Eercício 36: Seja f a função definida por f ( ) e + = 3 se se > Determine, caso eista, f ( ) Definição 37: Chama-se função derivada a função f dada por f : D f IR f ( ) onde f tem derivada finita, onde D f representa o conjunto dos pontos Teorema 38: Toda a função diferenciável é contínua Se f é uma função diferenciável, podemos definir a sua derivada Chama-se derivada de ordem de f, à derivada da função f Notação: f Definição 39: Seja f uma função n vezes diferenciável Chama-se derivada de ordem n de f, à derivada da função f ( n 1) que representa derivada de ordem n-1 de f 13 Regras de derivação Eemplo 31: Calcule a derivada das seguintes funções: 1) f ( ) = e ln ) f ( ) = cos(3) 3) f ( ) = cos 4) (1 tg) f ( ) = 3

9 9 5) f ( ) = e arcsen() 6) f ( ) = arctg + ln + 1 7) f 1 ( ) = 8) f ( ) = arccos( ) arctg Eemplo 311: Determine, usando as regras de derivação, a função derivada de ( ) 3 1 se 1 f = se > Derivada da função composta Definição 31: Sejam f e g duas funções Chama-se função composta de g com f à função { } i) Dg f = IR D f ( ) ii) ( g f )( ) = g[ f ( ) ] : ; g f caracterizada por f D g, D g f Teorema da derivada da função composta: Se f é diferenciável no ponto e g é diferenciável em ( ) f, então g f é diferenciável em e, ( g f ) ( ) = g ( f ( )) f ( ) 3 Eercício 313: Considere as funções f ( ) = sen e ( ) Calcule a derivada da função f g g =

10 1 134 Indeterminações: regra de Cauchy O conceito de derivada é também usado para levantar algumas indeterminações 1341 Levantamento de indeterminações do tipo e Regra de Cauchy ou regra de L Hôpital: Sejam c um ponto do intervalo ( a, b) e f, g duas funções diferenciáveis em ( b) ecepto possivelmente em c Se Então ; (i) g ( ) ( a, b) { c} (ii) desde que f lim ( ) c g( ) f lim ( ) c g( ) f lim ( ) c g ( ) é uma indeterminação do tipo ou f lim ( ) g ( ) = c seja definido ( IR ), a,, Eemplo 314: Calcule lim e e sen 134 Indeterminações do tipo e Se lim ( ) c f = e lim g ( ) = c, então lim ( ) g( ) = c f

11 11 Esta indeterminação pode ser transformada numa indeterminação do tipo ou, escrevendo ( ) ( ) f f ( ) g( ) = 1 g g f = 1 f ou ( ) g( ) ( ) ( ) Eemplo 315: Determine lim+ ln( ) Eemplo 316: Determine lim + 1 tg Para as indeterminações do tipo diferença como uma única fracção, escreve-se a Eemplo 317: Determine lim Derivadas de funções definidas implicitamente Consideremos a relação y 4 = cos Esta relação define y eplicitamente como uma função de De facto, podemos escrever f ( ) cos 4 = sendo f uma função, ou seja, f satisfaz o teste da recta vertical Até agora, as funções que consideramos eram todas definidas desta maneira No entanto, uma função também pode ser definida implicitamente por uma equação que poderá ser ou não resolvida em relação a

12 1 Além disso, como veremos a seguir, uma equação com duas variáveis e y pode definir implicitamente diferentes funções de Consideremos a equação y = Esta equação não pode ser revolvida de modo a que y seja definida como uma função eplícita de De facto, y = ± não representa uma função de Neste caso, diz-se que f ( ) = e g( ) = são definidas implicitamente como funções de pela equação original O gráfico das funções f e g representam o ramo superior e inferior da parábola representada na figura abaio A parábola no seu todo, correspondente ao gráfico da equação y =, ou seja = y que não é o gráfico de uma função Eercício 41: Quantas funções implícitas diferentes são definidas pela equação + y = 1

13 13 Equações como sen( y) = cos y + ou y + y = 3 podem ser difíceis ou até impossíveis de resolver 4 3 Apesar disso, é sempre possível calcular a derivada de uma função definida implicitamente, usando um processo chamado diferenciação implícita que consiste em derivar ambos os membros da equação dada em ordem a dy Notação: y ( ) e representam a derivada de y em ordem a d Eemplo 4: Considere a equação + y = 1 Use o processo de diferenciação implícita para calcular a derivada y ( ) Resolução: Derivando ambos os membros da equação em ordem a, vem d d ( + y ) = dy dy + y = = d d y dy Nota: Em geral, a epressão de depende da variável mas d também de y

14 14 Eemplo 43: Determine a equação da recta tangente a curva definida por + y = 1, no ponto 1 3, Eercício 44: Determine a equação da recta tangente a curva definida por sen( y) = cos y +, no ponto, π Eercício 45: Determine a derivada de ordem da função definida implicitamente por y + y = Notação: ordem a n ( n) d y y e n d representam a derivada de ordem n de y em

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