TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A. 15 de Março de 2007 RESOLUÇÃO - VERSÃO 1. Grupo I. Ð Ñ Resposta C 0ÐBÑ. œ! Resposta B

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1 TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A 15 de Março de 2007 RESOLUÇÃO - VERSÃO 1 Grupo I " " 1. / Í / / Í " Í " / Resposta 2. log + ˆ + È + log + + log + ˆ È + " " % Resposta 1ÐÑ 3. lim Ä 1ÐÑ Ð 1ÐÑ lim lim 1ÐÑ ' Ä Ä Ñ Ð Ñ Resposta C 4. Tem-se que: lim Ä " " 0ÐÑ lim " " " " 0ÐÑ lim 0ÐÑ Resposta Ä" 5. Número de casos possíveis: O número de casos possíveis é G (número de maneiras de escolher três bolas, de entre vinte). Número de casos favoráveis: O maior dos números saídos é 10 se, e só se: for escolhida a bola número 10; as outras duas bolas forem escolhidas de entre as bolas numeradas de 1 a 9. para a bola número 10, existe apenas uma hipótese, para as outras duas bolas, existem * G hipóteses. O número de casos favoráveis é, assim, " * G * G A probabilidade pedida é * G ' Resposta D G G Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 1

2 6. Como TÐE FÑ TÐEÑTÐFÑ, resulta que TÐE FÑ TElFÑ ( TÐE FÑ TÐFÑ TÐFÑ Resposta A 7. Com duas das seis moedas, não é possível obter 40 cêntimos, na opção A; não é possível obter 20 cêntimos, na opção. Estas duas opções estão, assim, excluídas. Relativamente às opções C e D, os valores que a variável \ pode tomar são os que constam da tabela. Para escolher uma destas opções, calculemos, para cada uma delas, por exemplo, T Ð\ Ñ. No caso da opção C, tem-se T Ð\ Ñ G " ' ' G G No caso da opção D, tem-se T Ð\ Ñ G ' ' G G Resposta D Grupo II 1. Tem-se que: ˆ Ð Ñ lim 0ÐÑ lim lim lim Ð "Ñ " lim 0ÐÑ lim ln Ð"Ñ ˆ ln Ð "Ñ ln Ð "Ñ lim lim " Como lim 0ÐÑ lim 0ÐÑ, podemos concluir que lim0ðñ. Como 0ÐÑ, resulta que lim0ðñ 0ÐÑ, pelo que a função é contínua em. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 2

3 2. (,% 2.1. Tem-se: log ÐÑ(%, Í log ÐÑ (%, Í " " " Logo, % " ) a concentração de iões LS, no sangue arterial humano é, aproximadamente, de % " ) 796Î De acordo com a sugestão, designemos por l a concentração de iões LS no leite. Então, a concentração de iões LS no café é dada por 6(pois, de acordo com o enunciado, a concentração de iões LS no café é tripla da concentração de iões LS no leite). Assim, a diferença entre o :L do leite e o :L do café é igual a Tem-se que: ðóóóñóóóò log Ð6Ñ log Ð6Ñ " ðóóóóñóóóóò " :L do leite :L do café log Ð6Ñ log Ð6Ñ log Ð6Ñ log Ð6Ñ " " " " log Ð6Ñ log ÐÑ log Ð6Ñ log ÐÑ,& " " " " a diferença entre o :L do leite e o :L do café é igual a,& Dizer que a recta < intersecta a curva G em pelo menos um ponto equivale a dizer que existe pelo menos um elemento do domínio de 0 que é solução da equação 0ÐÑ &. A função 0 é contínua no intervalo Òß "Ó, pois é soma de duas funções contínuas. Como 0ÐÑ ", tem-se que 0ÐÑ &. Como 0Ð"Ñ/ (&(,, tem-se que 0Ð"Ñ& Como a função 0 é contínua no intervalo Òß "Ó, e como 0ÐÑ & 0Ð"Ñ, podemos concluir, pelo Teorema de olzano, que, no intervalo Óß"Ò, existe pelo menos uma solução da equação 0ÐÑ &, pelo que a recta < intersecta a curva G em pelo menos um ponto. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 3

4 3.2. Representa-se a seguir o referencial, a curva G e a recta <, visualizados na calculadora. Representa-se também o triângulo ÒST UÓ, onde S é a origem do referencial, T é o ponto de coordenadas Ð ß /Ñ e U é o ponto de intersecção da curva G com a recta <. Indica-se ainda, com duas casas decimais, a abcissa de recurso às ferramentas adequadas da calculadora. U, determinada com Na figura seguinte está apenas representado o triângulo ÒST UÓ. Determinemos a área deste triângulo. Tomando para base o segmento ÒST Ó, a altura correspondente é o segmento em que: um dos extremos é o vértice oposto a essa base, ou seja, o ponto U; o outro extremo é o ponto de intersecção da recta que contém a base com a recta que lhe é perpendicular e que passa por U. A área do triângulo é, portanto,,+=/ +6>?<+ / )(, ", Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 4

5 4. Tem-se que 0ÐÑ/ -"- pelo que o ponto F tem coordenadas Ðß"-Ñ. Tem-se também que 0ÐÑ Í / - Í / - Í 68Ð-Ñ pelo que o ponto E tem coordenadas Ð68Ð-Ñß Ñ. EF F E Ðß " -Ñ Ð68Ð-Ñß Ñ Ð 68Ð-Ñß " -Ñ O declive da recta EF é, portanto, "- 68Ð-Ñ -" 68Ð-Ñ Tem-se, então, -" 68Ð-Ñ - " Í 68Ð-Ñ " Í - / Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 5