TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A. 10 de Maio de 2007 RESOLUÇÃO - VERSÃO 1

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Isabel Fragoso Carvalhal
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1 TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A 10 de Maio de 2007 RESOLUÇÃO - VERSÃO 1 Grupo I 1. As assimptotas do gráfico da função definida por 0ÐBÑ + B, são as rectas de equações C+ e B,. Tem-se, assim, que +!,! Resposta B B 2. Na fracção o numerador é positivo, para qualquer real, B B pelo que a fracção é negativa quando o denominador o for. Ora, B! B B Resposta D 3. 0 ÐÑ 1 2 Ð È Ñ$ 12Ð Ò È ÑÓ $ 1ÐÑ$ $' Resposta C w 4. Tem-se que 0ÐBÑ B, pelo que 0 w Š O declive da recta > é, portanto,, pelo que a sua inclinação é )! %& $& Resposta C 5. EH Þ EI ½EH ½ ½EI ½ cos Œ EH s EI % & & %% Resposta D 6. & cos B ' cos B No intervalo Ò!ß 1Ó, as soluções desta equação são & 1 e, ou seja, e $ 1 $ $ $ Resposta B Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 1

2 7. O valor máximo da função objectivo de um problema de Programação Linear é atingido num vértice da região admissível. Os vértices da região representada são: Ð!ß!Ñ Ð!ß 'Ñ Ä intersecção do eixo SC com a recta de equação C ' Ð$ß'Ñ Ä intersecção das rectas de equações C' e B C Ð&ßÑ Ä intersecção das rectas de equações B& e B C Ð&ß!Ñ Ä intersecção do eixo SB com a recta de equação B& Calculemos o valor da função objectivo, pontos: Ð!ß!Ñ Ä D!!! Ð!ß'Ñ Ä D! '' Ð$ß'Ñ Ä D$ '* Ð&ßÑ Ä D& ( Ð&ß!Ñ Ä D&!& DB C, em cada um destes Assim, o valor máximo que a função objectivo pode alcançar na região representada é *. Resposta B Grupo II 1. w 1.1. $ > $!> '$ $ > $!> '$! >!>!! È!! %! % > > > $ > ( >! $ ( ) ß ) à %* ß &' Portanto, a velocidade máxima atingida, nos primeiros oito minutos da experiência, foi de 81 centenas de rotações por minuto. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 2

3 1.2. Comecemos por observar que '!!! (rotações por minuto) é igual a 60 centenas (de rotações por minuto). Temos, assim, de começar por resolver a '!. Na figura está representado o gráfico da bem como a recta de equação C'!. Assinalaram-se os pontos de intersecção do gráfico com a recta, bem como as respectivas abcissas, com duas casas decimais, conforme era pedido no enunciado. Portanto, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a '!!! rotações por minuto durante &% $%,, minutos, ou seja, durante %!), minutos. Atendendo a que!!) '! &,, podemos concluir que a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a '!!! rotações por minuto durante 4 minutos e 5 segundos Comecemos por determinar uma equação do plano α. Um vector normal ao plano α é o vector de coordenadas Ðß!ßÑ. Portanto, o plano α pode ser definido por uma equação do tipo B D. Como o plano α contém o ponto T Ð!ß %ß $Ñ, vem! $., ou seja,.'. Uma equação do plano α é, portanto, B D'. O centro da esfera é o ponto de coordenadas Ð ß ß %Ñ. Substituindo estas coordenadas na equação B D' vem %', o que é verdade, pelo que o plano α contém o centro da esfera. Assim, a secção produzida pelo plano α na esfera é um círculo cujo centro coincide com o centro da esfera e cujo raio é igual ao da esfera. Como a área de um círculo é dada por 1 <, a área da secção é igual a $ 1. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 3

4 O perímetro do triângulo ÒST UÓ é igual a ST SU T U Tem-se que: ST $ %, pelo que ST & SU D TU ½TU½ lu Tl lð!ß!ß DÑ Ð!ß %ß $Ñl lð!ß %ß D $Ñl È! ' ÐD $Ñ È' D 'D * ÈD 'D & Portanto, o perímetro do triângulo ÒSTUÓ é igual a D & È D 'D & Tem-se: D & ÈD ' D & ' ÈD ' D & ' D & ÈD ' D & D Ê Š ÈD ' D & D D ' D & D D D 'D & 'D*' D' Como, num passo da resolução, se elevaram ambos os membros da equação ao quadrado, não é possível garantir que 6 é solução da equação inicial. Temos de verificar se assim é: ' & È ' ' ' & ' '', o que é verdade. Portanto, 6 é solução da equação inicial. Assim, o ponto U deve ter cota 6, de modo que o perímetro do triângulo ÒSTUÓ seja igual a '. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 4

5 Resulta da figura que tg α È) 1 Pretende-se saber & sen Š α cos $ 1 α 1 Ora, & sen Š α cos $ 1 α & cos α cos α $ cos α Portanto, sabemos que Tem-se: tg α tg α È ) e queremos saber o valor de $ cos α cos α Vem, então: Š È ) cos α * cos α cos α * Como α é um ângulo cujo lado extremidade está no terceiro quadrante, tem-se que cos α!. Portanto, cos α $ Vem então que $ cos α 3.2. Apresentamos a seguir três possíveis processos de resolução: 1º Processo: Seja a amplitude do ângulo UST. Por um lado, tem-se que cos < Por outro lado, tem-se que cos ST SU SU Portanto, <, donde SU SU < Portanto, a recta > intersecta o eixo SB no ponto de abcissa < Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 5

6 2º Processo: Seja B a abcissa do ponto U. Como este ponto pertence ao eixo SB, a sua ordenada é zero. Tem-se assim que U tem coordenadas ÐBß!Ñ. Como a recta > é tangente à circunferência no ponto T, os vectores ST e TU são perpendiculares, pelo que ST Þ TU!. Como TUU T ÐBß!Ñ Ð<ßÑÐB <ß Ñ, vem: STÞTU! Ð<ßÑÞÐB <ß Ñ! <B <! <B< <B B < 3º Processo: Tem-se que ST Ð<ßÑ, pelo que um vector director da recta > é o vector Ä? Ð ß<Ñ O declive da recta > é, portanto, igual a < < A equação reduzida da recta > é, assim, da forma C B, < Como o ponto TÐ<ßÑ pertence a esta recta, tem-se que <,, < < < donde vem, < A equação reduzida da recta < > é C B A abcissa do ponto de intersecção da recta > com o eixo SB é a solução da equação <! B (onde B é a incógnita). Ora,! < < B B B < B B < < Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 6

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