TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA. 17 de Março de 2006 RESOLUÇÃO - VERSÃO 2

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1 TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA 17 de Março de 2006 RESOLUÇÃO - VERSÃO 2 Grupo I 1. Tem-se sucessivamente: Î È / / Í / / Í Í Resposta A 2. Tem-se sucessivamente: log Ð ÑŸ Í Ÿ! Í Ò, Ò 3. lim C lim lnš lim lnš Tendo em conta a continuidade da função logarítmica, tem-se que lim lnš ln limš Prosseguindo, tem-se: ln limš ln / 4. A partir dos dados do enunciado, podemos concluir que a ordenada de E é, logo a ordenada de G é e, portanto, a abcissa de I é / a abcissa de F é, logo a abcissa de H é também e, portanto, a ordenada de H é / Assim, no triângulo ÒFHIÓ, a base ÒFH Ó mede / e a altura correspondente mede / Portanto, a área do triângulo ÒFHIÓ é / ˆ / Resposta A Teste Intermédio de Matemática - Versão 2 - Resolução - Página 1

2 5. Tem-se que: ' Número de casos possíveis: G (número de maneiras de escolher dois dos seis vértices do octaedro). % Número de casos favoráveis: G (número de maneiras de escolher dois dos quatro vértices do octaedro que pertencem ao plano SD). Probabilidade pedida: % ' G G ' & & Resposta 6. Designando por E o acontecimento «o aluno pratica andebol» e por F o acontecimento «o aluno pratica basquetebol», tem-se: Tˆ F E TF E TE Por outro lado, tem-se sempre que TÐE FÑ TÐEÑTÐFÑTÐE FÑ Como todos os alunos da turma praticam pelo menos um dos dois desportos, tem-se TÐE FÑ Donde,!&!,,) TÐE FÑ Portanto, TÐE FÑ!, Tem-se, então, TF E Tˆ F E!, TE!,&!,' Teste Intermédio de Matemática - Versão 2 - Resolução - Página 2

3 7. Em cada lançamento, a probabilidade de sair é Em cada lançamento, a probabilidade de sair é % ' ' Dado que os acontecimentos em causa são independentes, vem: 3 Ð Ñ Ð ou Ñ % Ð Ñ TÐ\ 3Ñ ou seja, 3 % % % TÐ\ 3Ñ * * * Portanto, 5% Grupo II ln Œ ln ' ' Š ' ln ln / ln ln ( / 1.2. ln lim 0ÐÑ lim!! Ä! Ä! Portanto, a recta de equação! é assimptota (vertical) do gráfico de 0. Como a função 0 é contínua em, não existem mais assimptotas verticais. ln ln lim 0ÐÑ lim lim Š Ä Ä Ä ln lim lim!!! Ä Ä Portanto, a recta de equação C! é assimptota (horizontal) do gráfico de 0 Teste Intermédio de Matemática - Versão 2 - Resolução - Página 3

4 2.1. O lucro que a empresa tem em cada litro de azeite que vende é % (diferença entre o preço de venda ao público e a despesa que acarreta um litro de azeite). Assim, o lucro mensal P (em euros), resultante da venda do azeite, é igual ao produto do lucro que aufere em cada litro de azeite pelo número de litros de azeite vendidos num mês. Assim, & PÐÑ Ð % Ñ Z ÐÑ, e portanto, PÐÑ Ð % Ñ / 2.2. Com o objectivo de resolver graficamente a inequação PÐÑ '&!!, obteve-se, na calculadora, o gráfico da função P e a recta de equação C '&!! Da observação do gráfico, podemos concluir que o preço do litro de azeite deve variar entre 4,42 e 5,96 3. Relativamente à função + tem-se +Ð!Ñ ' e lim +Ð>Ñ, o que não está de >Ä acordo com a conclusão, que se tira do enunciado, de que são iguais a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, e o valor para o qual a temperatura tende, com o passar do tempo. Concluímos, portanto, que a função + não é adequada à situação descritaþ Na função, tem-se, & '% e lim,ð>ñ (%, o que traduz um acréscimo >Ä& instantâneo de temperatura, no momento em que o lume é apagado. Esta situação não faz qualquer sentido no contexto da experiência, o que nos permite afirmar que a função, também não é adequada à situação descrita. A função - também não é adequada à situação descrita, pois: é decrescente no intervalo Ò!,&Ó, o que contradiz o facto de a temperatura da água ter aumentado ao longo dos primeiros cinco minutos; é crescente no intervalo Ò&, Ò, o que contradiz o facto de a temperatura da água ter diminuído a partir do instante em que se apagou o lume. (Observação: como é evidente, bastaria apresentar um dos dois argumentos anteriores) A função correcta é, portanto, a.. Teste Intermédio de Matemática - Versão 2 - Resolução - Página 4

5 4. Dado que a recta de equação C é assimptota do gráfico de 1, tem-se lim Ä 1 e lim 1 Ä Tem-se, sucessivamente, 2ÐÑ 1ÐÑ lim lim lim 1 lim 1 Ä Ä Ä Ä e 1ÐÑ lim 2ÐÑ lim Œ 1ÐÑ lim 1ÐÑ Ä Ä Ä 1ÐÑ lim 1ÐÑ lim Š 1ÐÑ 1ÐÑ Ä Ä lim Š 1ÐÑ Ä 1ÐÑ lim 1ÐÑ lim 1ÐÑ Ä Ä Portanto, a recta de equação C é assimptota do gráfico de 2. Teste Intermédio de Matemática - Versão 2 - Resolução - Página 5