PROVA 435/11 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 PROVA 435/11 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado Prova Modelo Duração da prova: 120 minutos 2001 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. 435.V1/1 v.s.f.f.

2 A Prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de doze. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário. 435.V1/2

3 Grupo I As sete questões do primeiro grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. Na figura está representada parte de uma parábola, que é o gráfico de uma certa função 1, de domínio. Seja 2 a função, de domínio, definida por 2ÐÑ œ 1ÐÑÞÐ $Ñ Qual pode ser o conjunto dos zeros da função 2? Öß$ß% () Ö $ ß "ß% Ö $ß ß $ß & (D) Ö "ß &ß * 2. Indique o valor de lim Ä! ln sen ()! " (D) 435.V1/3 v.s.f.f.

4 3. Na figura estão representados, em referencial o. n. SCD : o ponto E, de coordenadas Ð!ß!ß%Ñ a superfície esférica de equação C D œ * a circunferência que resulta da intersecção dessa superfície esférica com o plano SC Um ponto T percorre essa circunferência, dando uma volta completa. Considere a função 0 que faz corresponder, à abcissa do ponto T, a distância de T a E. Qual dos seguintes é o gráfico da função 0? () (D) 435.V1/4

5 4. Na figura está parte da representação gráfica de uma certa função 1, de domínio. Em qual das figuras seguintes está parte da representação gráfica da função em por 2ÐÑ œ 1ÐÑ "? 2, definida () (D) 435.V1/5 v.s.f.f.

6 5. Admita que, numa certa escola, a variável «altura das alunas do 12.º ano de escolaridade» segue uma distribuição aproximadamente normal, de média 170 cm. Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do 12.º ano dessa escola. Relativamente a essa rapariga, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável? A sua altura é superior a 180 cm. () A sua altura é inferior a 180 cm. A sua altura é superior a 155 cm. (D) A sua altura é inferior a 155 cm. 6. Seja W o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam E e F dois acontecimentos, contidos em W, nenhum deles impossível, nem certo. Sabe-se que E F. Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira ( T designa probabilidade, e E e F designam os acontecimentos contrários de E e de F, respectivamente). T ÐEÑ T ÐFÑ () T ÐE FÑ œ! TÐE FÑœ" (D) TÐEÑ TÐFÑ 7. Seja D œ C 3, com C ÏÖ!, um número complexo ( 3 designa a unidade imaginária). Qual dos quatro pontos representados na figura junta ( E, F, G ou H) pode ser a imagem geométrica de D %? O ponto E () O ponto F O ponto G (D) O ponto H 435.V1/6

7 Grupo II Nas questões do segundo grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. O AUTO-HEXÁGONO é um stand de venda de automóveis Efectuou-se um estudo sobre as vendas de automóveis nesse stand, o qual revelou que: 15% dos clientes compram automóvel com alarme e com rádio; 20% dos clientes compram automóvel sem alarme e sem rádio; 45% dos clientes compram automóvel com alarme (com ou sem rádio). Um cliente acaba de comprar um automóvel A Marina, empregada do stand, que nada sabia das preferências desse cliente e não tomou conhecimento do equipamento do automóvel que ele tinha comprado, apostou que esse automóvel estava equipado com rádio, mas não tinha alarme. Qual é a probabilidade de a Marina acertar? Apresente o resultado na forma de percentagem Alguém informou depois a Marina de que o referido automóvel vinha equipado com alarme. Ela apostou, então, que o automóvel também tinha rádio. Qual é a probabilidade de a Marina ganhar esta nova aposta? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível O stand, de forma hexagonal, tem uma montra que se situa num dos lados do hexágono (ver figura). Pretende-se arrumar seis automóveis diferentes (dois utilitários, dois desportivos e dois comerciais), de tal forma que cada automóvel fique junto de um vértice do hexágono. Supondo que se arrumam os seis automóveis ao acaso, qual é a probabilidade de os dois desportivos ficarem junto dos vértices que se encontram nas extremidades da montra? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 435.V1/7 v.s.f.f.

8 2. Em, conjunto dos números complexos, considere D " œ( %3 (3 designa a unidade imaginária) 2.1. Um certo ponto T é a imagem geométrica, no plano complexo, de uma das raízes quadradas de D ". Sabendo que o ponto T tem abcissa %, determine a sua ordenada. $ Seja D œ-3= α α % ß 1 com Ó Ò Indique, justificando, em que quadrante se situa a imagem geométrica de D D " 3. Considere a função 2, de domínio, definida por Ú Ý 2ÐÑ œ Û Ý Ü " " sen se se se! œ!! 3.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: Estude a função 2 quanto à continuidade no ponto!. (Deve indicar, justificando, se a função 2 é contínua nesse ponto e, no caso de não ser, se se verifica a continuidade à esquerda, ou à direita, nesse mesmo ponto.) " Considere a função 4, de domínio ÏÖ!, definida por 4ÐÑ œ $ Mostre que, no intervalo Ò " ß "!!! 1 Ó, os gráficos de 4 e de 2 se intersectam em "!!" pontos Dos pontos referidos na alínea anterior, seja o que tem menor abcissa "!!" E positiva. Determine as coordenadas desse ponto (apresente os valores na forma de dízima, com aproximação às décimas). 435.V1/8

9 4. Considere a função 0, de domínio, definida por 0ÐÑ œ $ sen ln Ð/ %Ñ 4.1. Sabe-se que existe lim 0ÐÑ e que o seu valor é um número inteiro. Ä Recorrendo à sua calculadora, conjecture-o. Explique como procedeu Será conclusivo, para a determinação d o valor de lim 0ÐÑ, um método que se Ä baseie exclusivamente na utilização da calculadora? Justifique a sua resposta. 5. Malmequeres de aixo é uma povoação com cinco mil habitantes Num certo dia, ocorreu um acidente em Malmequeres de aixo, que foi testemunhado por algumas pessoas. Admita que, > horas depois do acidente, o número (expresso em milhares) de habitantes de Malmequeres de aixo que sabiam do ocorrido era, aproximadamente, & 0Ð>Ñ œ ß >! " "% /!, $ > Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, estude a função 0 quanto à monotonia e quanto à existência de assimptotas do seu gráfico. Interprete as conclusões a que chegou, no contexto do problema Alguns dias depois, ocorreu outro acidente no mesmo local, testemunhado pelas mesmas pessoas. No entanto, neste segundo acidente, a notícia propagou-se mais depressa, no sentido em que, decorrido o mesmo tempo após o acidente, mais pessoas sabiam do ocorrido. Admita que, > horas depois deste segundo acidente, o número (expresso em milhares) de habitantes de Malmequeres de aixo que sabiam do ocorrido era, aproximadamente, & 1Ð>Ñ œ ß >! (para certos valores de + e,). " +/,> Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, refira o que pode garantir sobre os valores de + e de,, comparando cada um deles com o valor da constante correspondente da expressão analítica de 0. FIM 435.V1/9 v.s.f.f.

10 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V1/10

11 Formulário Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? 8 Volumes 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Prisma: Área da base Altura Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Cone: " $ Esfera: Área da base Altura Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " ln Ð "Ñ / œ" œ" : œ Ð: Ñ 435.V1/11