TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A RESOLUÇÃO - VERSÃO 1

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1 TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A RESOLUÇÃO - VERSÃO 1 Grupo I 1. Se uma recta é paralela ao eixo SD, qualquer vector director dessa recta tem primeira e segunda coordenadas iguais a zero. Resposta B 2. Um plano divide uma esfera em dois sólidos com o mesmo volume se, e só se, contém o centro da esfera centro da esfera definida por é o ponto. O B C ÐD Ñ Ÿ % Ð!ß!ß Ñ. Das quatro equações indicadas, a única que define um plano que contém este ponto é a equação B œ!. Resposta A 3. O ponto de coordenadas Ðß ß!Ñ é o ponto E. O ponto de coordenadas Ð!ß %ß!Ñ é o ponto G. O plano mediador do segmento de recta ÒEGÓ é o plano FHL. Resposta C 4. Se, num prisma, cada uma das bases tem 8 vértices, então cada uma das bases é um polígono com 8 lados. Por isso, o prisma tem 8 faces laterais. Assim, o prisma tem 8 faces (as 8 faces laterais, mais as duas bases). Como cada base tem 8 arestas e como existem arestas laterais, o prisma tem, ou seja,, arestas $8 Resposta D 5. A distância do ponto T ao ponto I começa por ir aumentando com o decorrer do tempo e atinge o máximo quando o ponto T coincide com o ponto F. Tal permite excluir as alternativas A e C. No trajecto de F até G, a distância do ponto T ao ponto I não se mantém constante. Tal permite excluir a alternativa B. Resposta D Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 1

2 Grupo II 1. Na figura está o gráfico da função 0, bem como a recta de equação C œ. Da análise da figura, resulta que o conjunto solução da condição Ò ß " Ò Ó "ß % Ò 0ÐBÑ é 2.1. O ponto F tem coordenadas Ð'ß $Ñ. Uma vez que a circunferência tem raio 3, o ponto G tem coordenadas Ð$ß!Ñ. Vamos agora apresentar três processos para resolver o problema. Primeiro processo: A mediatriz do segmento é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes do ponto F e do ponto G. Portanto, um ponto T, de coordenadas ÐBß CÑ, pertence à mediatriz do segmento se, e só se, T F œ T G. T F œ T G ÈÐB 'Ñ ÐC $Ñ œ ÈÐB $Ñ ÐC!Ñ ÐB 'Ñ ÐC $Ñ œ ÐB $Ñ C B "B $' C 'C * œ B 'B * C "B $' 'C œ 'B 'C œ "B 'B $' 'C œ 'B $' C œ B ' Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 2

3 Segundo processo: A mediatriz do segmento é a recta perpendicular a este segmento que contém o seu ponto médio. Como a recta FG é paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares, a mediatriz do segmento é paralela à bissectriz dos quadrantes pares, pelo que tem declive. " C œ B, Portanto, a mediatriz do segmento tem equação reduzida da forma. Determinemos o valor de., O ponto médio do segmento tem coordenadas Œ ' $ ß $!, ou seja, tem * $ coordenadas Œ ß. Substituindo estas coordenadas na equação, C œ B, vem: $ * * $ " œ,, œ, œ, œ ' Portanto, uma equação da mediatriz do segmento é C œ B ' Terceiro processo: Para mostrar que C œ B ' é uma equação da mediatriz do segmento, basta mostrar que qualquer ponto da recta de equação C œ B ' está a igual distância dos pontos e. F G Qualquer ponto T desta recta tem coordenadas da forma ÐBß B 'Ñ Vamos então verificar que, para qualquer B, se tem T F œ T G T F œ T G ÈÐB 'Ñ Ð B ' $Ñ œ ÈÐB $Ñ Ð B '!Ñ ÈÐB 'Ñ Ð B $Ñ œ ÈÐB $Ñ Ð B 'Ñ B Esta igualdade é verdadeira para qualquer. Portanto, para qualquer ponto T da recta de equação C œ B ', tem-se œ T F T G 2.2. A região sombreada é limitada pela circunferência de centro na origem do referencial e raio 3 e pela recta FG. Comecemos por determinar a equação reduzida da recta. Como, o declive da recta é FG œ G F œ Ð$ß!Ñ Ð'ß $Ñ œ Ð $ß $Ñ FG $ $ œ ". Como a recta FG contém o ponto H, de coordenadas Ð!ß $Ñ, a recta FG tem ordenada na origem igual a $. Portanto, a equação reduzida da recta FG é C œ B $. FG Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 3

4 Tal como a figura ao lado ilustra, a região em causa é a intersecção de duas regiões: A região definida pela condição C Ÿ B $ A região definida pela condição B C Ÿ * Portanto, uma condição que define a região sombreada, incluindo a fronteira, é C Ÿ B $ B C Ÿ * 2.3. A área da região tracejada é igual à diferença entre a área do trapézio ÒEFGSÓ e a quarta parte da área do círculo de raio 3. Portanto, tem-se: ' $ $ Área da região tracejada œ $ % ',%$ Como a base da pirâmide está contida no plano BSC, a cota do ponto I é a altura da pirâmide. Como a aresta do cubo é igual a, o volume do cubo é igual a ). Portanto, o volume da pirâmide é igual a "! ) œ O volume de uma pirâmide é igual a " $ Área da Base Altura A base da pirâmide é um quadrado de lado È, pelo que a sua área é igual a. Designando por Donde vem: 2 a altura da pirâmide, tem-se 2 $ œ 2 œ ' 2 œ $ Assim, a cota do ponto I é igual a $ " $ 2 œ Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 4

5 3.2. O raio da superfície esférica é a distância do ponto X ao ponto G. Atendendo a que o ponto X tem coordenadas Ðß!ß Ñ e o ponto G tem coordenadas Ð"ß ß!Ñ, tem-se < œ È Ð "Ñ Ð! Ñ Ð!Ñ œ È* œ $ Uma equação da superfície esférica é, portanto, ÐB Ñ C ÐD Ñ œ * 3.3. A secção produzida no cubo pelo plano J UH é o trapézio representado na figura. 4. Tem-se: œ EG EF FG EF œ HF FG œ FI Vem, então: EG œ EF FG œ HF FI œ Š HF FI œ HI Portanto, EG œ HI. Daqui resulta que os vectores EG e HI são colineares, pelo que as rectas e são paralelas. EG HI Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 5