PROVA 435/11 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 PROVA 45/11 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos Duração da prova: 120 minutos ª FASE PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Deve indicar claramente na sua folha de respostas a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de toda a primeira parte da prova. V.S.F.F. 45.V1/1

2 45.V1/2 Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha.

3 Primeira Parte As sete questões desta primeira parte são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. Seja 0 uma função polinomial de terceiro grau, cujo gráfico se encontra parcialmente representado na figura. Quantas são as soluções da equação 0ÐÑ œ? (A) uma () duas (C) três (D) quatro 2. Considere a função 2 definida em por 2ÐÑ œ sen Qual das seguintes equações pode definir uma recta tangente ao gráfico de 2? (A) (C) Cœ 1 () Cœ Cœ * (D) Cœ V.S.F.F. 45.V1/

4 . O coeficiente de ampliação E de uma certa lupa é dado, em função da distância. (em decímetros) da lupa ao objecto, por EÐ.Ñ œ & &. Indique a que distância do objecto tem de estar a lupa para que o coeficiente de ampliação seja igual a &. (A) (C).7 () %.7 '.7 (D) ).7 4. Sejam 0 e 1 duas funções de domínio. Sabe-se que: o gráfico de 1 é uma recta, que designamos por = lim Ð0ÐÑ 1ÐÑÑ œ! Ä Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) A recta = é tangente ao gráfico de 0 () A recta = é secante ao gráfico de 0 (C) A recta = não intersecta o gráfico de 0 (D) A recta = é uma assimptota do gráfico de 0 5. Três rapazes e duas raparigas vão dar um passeio de automóvel. Qualquer um dos cinco jovens pode conduzir. De quantas maneiras podem ocupar os cinco lugares, dois à frente e três atrás, de modo a que o condutor seja uma rapariga e a seu lado viaje um rapaz? (A) $' () "! (C) " (D) ( 45.V1/4

5 6. Lança-se duas vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Seja \ o número de vezes que sai a face 6 nos dois lançamentos. Qual é a distribuição de probabilidades da variável \? (A)! " TÐ\œÑ & " & " ' ' ' ' ()! " TÐ\œÑ " " & & ' ' ' ' (C)! " TÐ\œÑ & " & " ' ' ' ' (D)! " TÐ\œÑ " " & & ' ' ' ' 7. Qual das seguintes condições define uma recta no plano complexo? (A) (C) D " œ% () +<1ÐDÑœ 1 $D œ! (D) D " œ D V.S.F.F. 45.V1/5

6 Segunda Parte Nas questões desta segunda parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Considere a função 0, de domínio, definida por 0ÐÑ œ cos 1.1. Recorrendo ao Teorema de olzano, mostre que a função 0 tem, pelo menos, um zero, no intervalo Ó!ß1Ò Seja 0 a função derivada de 0. Mostre que 0 ÐÑ!, a, e justifique que o zero de 0, cuja existência é garantida pelo enunciado da alínea anterior, é o único zero desta função. 1.. Na figura abaixo estão representadas: parte do gráfico da função 0 parte de uma recta <, cuja inclinação é %&, que contém o ponto EÐ $ß!Ñ e que intersecta o gráfico da função 0 no ponto F Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo ÒESFÓ, onde S designa a origem do referencial. Apresente o resultado arredondado às unidades. Nota: sempre que, nos valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma casa decimal. 45.V1/6

7 2. A pressão atmosférica de cada local da Terra depende da altitude a que este se encontra. Admita que a pressão atmosférica T (medida em quilopascal) é dada, em função da altitude 2 (em quilómetros), por T Ð2Ñ œ "!" /!ß" A montanha mais alta de Portugal é o Pico, na ilha do Pico - Açores. A altitude do cume do Pico é $&! metros. Qual é o valor da pressão atmosférica, nesse local? Apresente o resultado em quilopascal, arredondado às unidades. " 2.2. Determine tal que, para qualquer 2, TÐ2 Ñ œ TÐ2Ñ Apresente o. resultado arredondado às décimas. Interprete o valor obtido, no contexto desta igualdade.. Seja o conjunto dos números complexos, e sejam D e D dois elementos de. " Sabe-se que: 1 D tem argumento " ' % D œ D " E e E são as imagens geométricas " de e de, respectivamente D D ".1. Justifique que o ângulo ESE é recto ( Sdesigna a origem do referencial). ".2. Considere, no plano complexo, a circunferência C definida pela condição ldl œ ld l. Sabendo que o perímetro de " C é % 1, represente, na forma algébrica, o número complexo D " V.S.F.F. 45.V1/7

8 Seja W o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam I" e I dois acontecimentos possíveis ( I " W e I W). Prove que TÐI I Ñœ" TÐIÑ TÐI liñ " " " ( T designa probabilidade, I" e I designam os acontecimentos contrários de I e de I, e T ÐI li Ñ designa a probabilidade de I, se I ). " " " 4.2. Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. De um baralho completo extraem-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Qual é a probabilidade de pelo menos uma das cartas extraídas não ser do naipe de espadas? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. Nota: se o desejar, utilize a igualdade referida na alínea anterior; neste caso, deverá começar por caracterizar claramente os acontecimentos I" e I, no contexto da situação apresentada. 4.. Num certo jogo de cartas, utiliza-se um baralho completo e dão-se treze cartas a cada jogador. Imagine que está a participar nesse jogo. Qual é a probabilidade de, nas treze cartas que vai receber, haver exactamente seis cartas do naipe de espadas? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. FIM 45.V1/8

9 COTAÇÕES Primeira Parte... 6 Cada resposta certa Cada resposta errada... - Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo nesta parte da prova vale 0 (zero) pontos. Segunda Parte TOTAL V.S.F.F. 45.V1/9

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11 Áreas de figuras planas Losango: H < H /89< Formulário Regras de derivação Trapézio: F+=/ 7+9< F+=/ 7/89< E6>?<+ Ð?Þ@Ñ œ? Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+9) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Prisma: Área da base Altura Cilindro: Área da base Altura Pirâmide: " $ Área da base 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Ð cos?ñ œ?þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Cone: " $ Área da base Altura? Ð ln?ñ œ? Esfera: % $ $ 1 < ( < raio)??þ ln + Ð log +?Ñ œ Ð+ Ï Ö" Ñ Trigonometria sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, -= ) Þ -= ) œ -= ) ) -=) -= ) œ -= ) ) -= ) 8 œ 8 -= Ð8 ) Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " œ" ln Ð "Ñ œ" / : œ Ð: Ñ 8 ) 8 ) 5 1 -= œ -= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 " 45.V1/11