EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

Transcrição

1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos PROVA 435/11 Págs. Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE ª CHAMADA VERSÃO 1 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1

2 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2

3 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra seleccionar para responder a cada questão. correspondente à alternativa que Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico de uma função par, de domínio e contradomínio Ó ß!Ó? (A) () (C) (D) V.S.F.F. 435.V1/3

4 2. Na figura está representado, em referencial o.n. SC, um arco de circunferência EF, de centro na origem do referencial. O ponto U move-se ao longo desse arco. Os pontos T e V, situados sobre os eixos S e SC, respectivamente, acompanham o movimento do ponto U, de tal forma que o segmento de recta ÒT UÓ é sempre paralelo ao eixo SC e o segmento de recta ÒUVÓ é sempre paralelo ao eixo S. Para cada posição do ponto U, seja a amplitude do ângulo ESU e seja 2ÐÑ a área da região sombreada. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função 2? (A) () (C) (D) 3. Indique o valor de lim Ä! log / " (A)! () " (C) (D) 435.V1/4

5 4. Na figura junta está representada parte do gráfico de uma função 0 de domínio, contínua em todo o seu domínio. A bissectriz dos quadrantes pares e a bissectriz dos quadrantes ímpares são assimptotas do gráfico de 0. Indique em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função 1 definida por 1ÐÑ œ 0ÐÑ (A) () (C) (D) 5. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é "* '!!. A soma dos quatro primeiros números dessa linha é! )('. Qual é o terceiro número da linha seguinte? (A) " (& () " &)" (C) "*$ (D) '$% V.S.F.F. 435.V1/5

6 6. Um saco contém bolas azuis, brancas e pretas. Tira-se, ao acaso, uma bola do saco. Sejam os acontecimentos: E a bola retirada é azul F a bola retirada é branca Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) (C) E e F são contrários () E e F são contrários E e F são incompatíveis (D) E e F são incompatíveis 7. Considere, em, a condição: 1 ldlÿ$!ÿ+<1d Ÿ % V/D " Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por esta condição? (A) () (C) (D) 435.V1/6

7 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. é o conjunto dos números complexos; 3 designa a unidade imaginária Sem recorrer à calculadora, determine apresentando o resultado na forma algébrica. Ð È$3Ñ 1 Š -3= * $ 1-3= $ 1.2. Seja α um número real. Sejam D" e D dois números complexos tais que: D " œ-3= α D œ -3= α1 Mostre que D" e D não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número complexo. 2. Considere a expressão 0ÐÑ œ +, sen Sempre que se atribui um valor real a + e um valor real a,, obtemos uma função de domínio Nesta alínea, considere +œ e,œ &. Sabe-se que tg ) œ ". Sem recorrer à calculadora, calcule 0Ð) Ñ 2.2. Para um certo valor de + e um certo valor de,, a função 0 tem o seu gráfico parcialmente representado na figura junta. Conforme essa figura sugere, tem-se: o contradomínio de 0 é Ò$ß"Ó! e 1 são maximizantes 1 e 1 são minimizantes Determine + e,. V.S.F.F. 435.V1/7

8 3. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, E e F, distanciadas de 10 metros, como se mostra na figura. Considere a função 2 definida por 2ÐÑ œ "& % ln Ð "! ""Ñ ( ln designa logaritmo de base /) Admita que 2ÐÑ é a altura, em metros, do ponto da rampa situado metros à direita da parede E Determine a altura da parede EÞ Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais Sem recorrer à calculadora, estude a função 2 quanto à monotonia e conclua daí que, tal como a figura sugere, é num ponto equidistante das duas paredes que a altura da rampa é mínima Mostre, analiticamente, que 2Ð& Ñ œ 2Ð& Ñ. Interprete esta igualdade no contexto da situação descrita. 4. De uma função 0, de domínio, sabe-se que a sua derivada é dada por 0ÐÑœÐ"Ñ / "! Seja E o único ponto de inflexão do gráfico de 0. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto E, arredondada às décimas. Explique como procedeu. Inclua, na sua explicação, o(s) gráfico(s) que obteve na calculadora. 435.V1/8

9 5. O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos: E, F, EF e S. Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o factor Rhésus. Se o sangue de uma pessoa possui este factor, diz-se Rhésus positivo (Rh ); se não possui este factor, diz-se Rhésus negativo (Rh ). Na população portuguesa, os grupos sanguíneos e os respectivos Rhésus estão repartidos da seguinte forma: E F EF S Rh %! % ',* %,* % $&,% % Rh '&, % ", %!%, % '(, % 5.1. Escolhido um português ao acaso, qual é a probabilidade de o seu grupo sanguíneo não ser o S? Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às unidades Escolhido um português ao acaso, e sabendo que é Rhésus negativo, qual é a probabilidade de o seu grupo sanguíneo ser o E? Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às unidades. 6. Considere o seguinte problema: Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá, verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos em cada uma delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente, cinco jovens irão ficar sem bilhete. Qual é a probabilidade de uma das filas ficar ocupada só com rapazes e a outra só com raparigas? Uma resposta correcta para este problema é: " "$ "! "! & G! G G "! x "! x!x Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique esta resposta. Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: referência à Regra de Laplace; explicação do número de casos possíveis; explicação do número de casos favoráveis. FIM V.S.F.F. 435.V1/9

10 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V1/10

11 Áreas de figuras planas Losango: H < H /89< Formulário Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Trapézio: F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Prog. Aritmética:?"? 8 8 "< Prog. Geométrica:? " "< Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? @ œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8" Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" /" œ" ln Ð"Ñ œ" / : œ Ð: Ñ 435.V1/11