EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 PROVA 435/9 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos Duração da prova: 120 minutos Época Especial 2000 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA Primeira Parte As sete questões desta primeira parte são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. O conjunto dos zeros de uma função 1, de domínio, é Ö"ß. Seja 2 a função, de domínio, definida por 2ÐÑ œ 1ÐÑÞÐ$Ñ Quais são os zeros da função 2? ", e $ () "%, e * ", $ e % (D) $, ", $ e 2. Indique o valor de lim Ä! ln sen ()! " (D) 435/1

2 3. Na figura estão representados, em referencial o. n. SCD : o ponto E, de coordenadas Ð!ß!ß%Ñ a superfície esférica de equação C D œ * a circunferência que resulta da intersecção dessa superfície esférica com o plano SC Um ponto T percorre essa circunferência, dando uma volta completa. Considere a função 0 que faz corresponder, à abcissa do ponto T, a distância de T a E. Qual dos seguintes é o gráfico da função 0? () (D) 435/2

3 4. Na figura está parte da representação gráfica de uma certa função 1, de domínio. Em qual das figuras seguintes está parte da representação gráfica da função em por 2ÐÑ œ 1ÐÑ "? 2, definida () (D) 435/3

4 5. Admita que, numa certa escola, a variável «altura das alunas do 12.º ano de escolaridade» segue uma distribuição aproximadamente normal, de média 170 cm. Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do 12.º ano dessa escola. Relativamente a essa rapariga, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável? A sua altura é superior a 180 cm () A sua altura é inferior a 180 cm A sua altura é superior a 155 cm (D) A sua altura é inferior a 155 cm 6. Seja W o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam E e F dois acontecimentos, contidos em W, nenhum deles impossível, nem certo. Sabe-se que E F. Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira ( T designa probabilidade e E e F designam os acontecimentos contrários de E e de F, respectivamente). T ÐEÑ T ÐFÑ () T ÐE FÑ œ! TÐE FÑœ" (D) TÐEÑ TÐFÑ 7. Seja D œ C 3, com C ÏÖ!, um número complexo ( 3 designa a unidade imaginária). Qual dos quatro pontos representados na figura junta ( E, F, G ou H) pode ser a imagem geométrica de D %? O ponto E () O ponto F O ponto G (D) O ponto H 435/4

5 Segunda Parte Nas questões desta segunda parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. O AUTO-HEXÁGONO é um stand de venda de automóveis Efectuou-se um estudo sobre as vendas de automóveis neste stand, o qual revelou que: 15% dos clientes compram automóvel com alarme e com rádio; 20% dos clientes compram automóvel sem alarme e sem rádio; 45% dos clientes compram automóvel com alarme (com ou sem rádio). Um cliente acaba de comprar um automóvel A Marina, empregada do stand, que nada sabia das preferências desse cliente e não tomou conhecimento do equipamento do automóvel que ele tinha comprado, apostou que esse automóvel estava equipado com rádio, mas não tinha alarme. Qual é a probabilidade de a Marina acertar? Apresente o resultado na forma de percentagem Alguém informou depois a Marina que o referido automóvel vinha equipado com alarme. Ela apostou, então, que o automóvel também tinha rádio. Qual é a probabilidade de a Marina ganhar esta nova aposta? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível Este stand, de forma hexagonal, tem uma montra que se situa num dos lados do hexágono (ver figura). Pretende-se arrumar seis automóveis diferentes (dois utilitários, dois desportivos e dois comerciais), de tal forma que cada automóvel fique junto de um vértice do hexágono. Supondo que se arrumam os seis automóveis ao acaso, qual é a probabilidade de os dois desportivos ficarem junto dos vértices que se encontram nas extremidades da montra? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 435/5

6 2. Em Malmequeres de aixo, povoação com cinco mil habitantes, ocorreu um acidente, que foi testemunhado por algumas pessoas. Admita que, > horas depois do acidente, o número (expresso em milhares) de habitantes de Malmequeres de aixo que sabem do ocorrido é, aproximadamente, & 0Ð>Ñ œ ß >! " "% /!, $ > 2.1. Sabendo que o acidente ocorreu às sete e um quarto da manhã de um certo dia, mostre que, à meia-noite desse mesmo dia, mais de metade da população de Malmequeres de aixo já sabia do ocorrido Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, estude a função 0 quanto à monotonia e quanto à existência de assimptotas ao seu gráfico. Interprete as conclusões a que chegou, no contexto do problema. 3. Considere a função 1, de domínio, definida por 1ÐÑ œ " " sen se se se! œ!! 3.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: Estude a função 1 quanto à continuidade no ponto!. (Deve indicar, justificando, se a função 1 é contínua nesse ponto, e no caso de não ser, se se verifica a continuidade à esquerda, ou à direita, nesse mesmo ponto.) " Considere a função 2, de domínio ÏÖ!, definida por 2ÐÑ œ $ Mostre que, no intervalo Ò " ß "!!! 1 Ó, os gráficos de 1 e de 2 se intersectam em "!!" pontos Dos "!!" pontos referidos na alínea anterior, seja E o que tem menor abcissa positiva. Utilizando a sua calculadora, determine as coordenadas desse ponto (apresente os valores na forma de dízima, arredondados às décimas). 435/6

7 4. Em, conjunto dos números complexos, considere D " œ(%3 (3 designa a unidade imaginária) 4.1. Um certo ponto T é a imagem geométrica, no plano complexo, de uma das raízes quadradas de D ". Sabendo que o ponto T tem abcissa %, determine a sua ordenada. $ Seja D œ-3= α α % ß 1 com Ó Ò Indique, justificando, em que quadrante se situa a imagem geométrica de D D " FIM 435/7

8 COTAÇÕES Primeira Parte Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo nesta parte da prova vale 0 (zero) pontos. Segunda Parte TOTAL /8

9 Formulário Áreas de figuras planas Losango: H < H /89< Regras de derivação Trapézio: F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Ð?Þ@Ñ œ? Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Prisma: Área da base Altura Cilindro: Área da base Altura Pirâmide: " $ Área da base 8 8" Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Ð cos?ñ œ?þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Cone: " $ Área da base Altura? Ð ln?ñ œ? Esfera: % $ $ 1 < ( < raio)??þ ln + Ð log +?Ñ œ Ð+ Ï Ö" Ñ Trigonometria sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" /" œ" ln Ð"Ñ œ" / : œ Ð: Ñ 8 3 ) 8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 " 435/9